Диссертация (1145260), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Для выделения частного решения необходимо иметь добавочные условия на искомые функции. Эти условия могут быть начальными и граничными.Начальные условия характеризуют состояние жидкости во всемобъеме, ею занимаемом, в начальный момент времени t = 0, и, следовательно, задают при t = 0 поле скоростей и ординату свободнойповерхностиvx (x, y, z, 0) = ϕ1 (x, y, z),vy (x, y, z, 0) = ϕ2 (x, y, z),vz (x, y, z, 0) = ϕ3 (x, y, z),ζ(x, y, 0) = f (x, y),где ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , f — известные функции координат точек поля.Граничные условия характеризуют физические явления на границе жидкости в любой момент времени ее движения.Если границей жидкости является твердая поверхность, то граничное условие для поля скоростей идеальной жидкости заключается втом, что жидкость не протекает через твердую поверхность, следовательно, нормальная к поверхности компонента скорости жидкостиvn равна нормальной составляющей скорости твердой поверхностиVn : vn = Vn .

Для неподвижной поверхности vn = 0. Граничное условие для скорости на свободной поверхности заключается в том, чтонормальная компонента скорости жидкости равна нормальной компоненте скорости свободной поверхности. Это граничное условие называется кинематическим условием. На свободной поверхности должновыполняться также и динамическое условие, которое состоит в том,что давление на свободной поверхности задано:p(x, y, z, t) = p0 (x, y, t).(1.5)– 48 –Если жидкость простирается бесконечно, то граничное условие сводится к заданию движения жидкости на бесконечности или ограниченности решения задачи.§ 1.2.Уравнения движения во вращающейся системе координатДля описания океанских движений наиболее естественной являетсявращающаяся с угловой скоростью ω система координат (ωω — угловая скорость вращения Земли).

Хотя сами явления от выбора системы отсчета не зависят, описание явления от такого выбора — зависит.Для наблюдателя во вращающейся системе отсчета предметы, неподвижные в инерциальной системе, будут казаться вращающимися ииз-за кривизны их видимых траекторий ускоряющимися. Эта неопределенность разрешается, если вспомнить, что второй закон Ньютонасправедлив только в инерциальной системе отсчета. Возникает необходимость представить измененную форму уравнений движения, содержащую только величины, непосредственно наблюдаемые во вращающейся системе отсчета.В этом параграфе будет представлена общая постановка задачио волновом движении неоднородной идеальной жидкости с учетомвращения Земли.Уравнения движения (1.1)–(1.3) идеальной несжимаемой неоднородной жидкости относительно неподвижных осей ξ, η, ζ имеют вид∂ρ+ v · ∇ρ = 0,div v = 0,∂t(1.6)∂vv21+ ∇ − v × rotv = F − ∇p,∂t2ρгде ρ = ρ(ξ, η, ζ, t), v = v(ξ, η, ζ, t), p = p(ξ, η, ζ, t) соответственноплотность, скорость и давление, FF — массовая сила.Введем подвижную систему осей координат Oxyz, движение которой характеризуется скоростью полюса V0 (t) и угловой скоростью ω 0 .– 49 –Запишем уравнения для определения абсолютного движения жидкости в подвижных осях.

Для этого прежде всего заметим, что операторы v·∇, div, rot инвариантны относительно преобразований переносаи вращения системы координатных осей. Учитывая выражения частных производных по времени от скалярной и от векторной величин∂ρ ∂ 0 ρ=− ve · ∇ρ,∂t∂t∂v ∂ 0 v=+ ω × v − (ve · ∇)v,∂t∂t∂0где ve = V0 + ω × r, r = (x, y, z), ve — переносная скорость,— сим∂tвол производной по времени в подвижных осях, уравнения (1.6) относительно абсолютного движения жидкости в подвижных осях xyzпринимают вид∂ 0ρ+ (v − ve ) · ∇ρ = 0, div v = 0, ∂t02∂vv1v − ve  × rot v = F − ∇p.+ ∇  − ve · v  − ∂t2ρ(1.7)Здесь использованы равенства∇ (ve · v) = (v · ∇)ve + (ve · ∇)v + v × rot ve + ve × rot v,rot ve = 2 ω ,(v · ∇)ve = (v · ∇)(ωω × r) = ω × v,r = xi + yj + zk,(v · ∇)r = v.Цель, однако, состоит в том, чтобы описать движение в терминахлишь величин, наблюдаемых во вращающейся системе отсчета.

Имеяэто в виду, рассмотрим относительное движение. При этом имеемv = vr + ve ,ve = V0 + ω × r,v̇ = w = wr + we + wc ,we = V̇0 + ω̇ω × r + ω × (ωω × r),vr2∂ 0 vr+ ∇ − vr × rot vr ,wr =∂t2где vr — относительная скорость.wc = 2 (ωω × vr ),div ve = 0,– 50 –Уравнения (1.7) для относительного движения жидкости примутвид∂ 0ρ+ vr · ∇ρ = 0, div v = 0,∂t∂ 0 vrv2∇p+ ∇ r − vr × rot vr = F −− we − 2 ω × vr .∂t2ρ(1.8)Заметим, что разность между ускорениями, наблюдаемыми в невращающейся и вращающейся системах отсчета, равна сумме четырехслагаемых: ускорения Кориолиса 2 ω ×vr , центростремительного ускорения ω × (ωω × r) и ускорения, обусловленного изменениями самойскорости вращения ω̇ω × r и скорости полюса V̇0 . Последние два слагаемых ω̇ω × r и V̇0 для большинства океанских явлений можно неучитывать, за исключением явлений с чрезвычайно большими временными промежутками. Для этих целей величина ω предполагаетсяпостоянной.

Центростремительное ускорение we можно выразить через вектор R, перпендикулярный оси вращения и направленный отнее к жидкой частице. В случае системы осей, связанных с поверхностью вращающейся Земли, где ось z направлена по оси вращенияЗемли,ω 2 R2 we = −∇ .2Действительно, так как ω × r = ω × R, то ω × (ωω × r) = −ω 2 R, гдеиспользована формула тройного векторного произведения [61]A × (B × C) = (A · C) B − (A · B) C.Здесь R =√x2 + y 2 — расстояние от рассматриваемой точки до осивращения.

Отсюда следует, что для центростремительного ускоренияможно ввести потенциальную функцию ϕc равенствомω × (ωω × r) = −∇ϕc ,где|ωω × r|2ω 2 R2=.ϕc =22– 51 –Итак,ω 2 R2 we = −∇.2Уравнения движения жидкости (1.8) относительно вращающейсяЗемли примут вид∂ 0ρ+ vr · ∇ρ = 0,∂tdiv vr = 0,(1.9)2 2∂ 0 vrvr2ωR∇p+ ∇ − vr × rot vr = F + ∇− 2 ω × vr .−∂t22ρДалее индекс "r отличающий относительное движение, и индексштрих опускаем: vr = v.

Кроме того, заметим, если F = −∇U , тоω 2 R2 = −∇W,F + ∇2W =U−ω 2 R2.2Таким образом, W является потенциалом силы тяжести, слагающейся из силы притяжения к центру Земли и центробежной силывращения Земли. Заметим, что ускорение Кориолиса явно зависитот скорости жидкости и приводит к изменению структуры уравнений для импульса в равномерно вращающейся системе отсчета.

Учетцентробежной силы изменяет лишь потенциал внешней силы.§ 1.3.Задача о волновых движениях вращающейся жидкости в сферической системе координатПри рассмотрении поля волн в масштабах целого океана перейдемк описанию волн на сфере, используя сферические координаты r, θ, λ,гдеr ≥ 0,0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ λ ≤ 2π.Запишем проекции скорости точки M на оси сферической системыкоординатvr = ṙ,vθ = r θ̇,vλ = r sin θ λ̇.– 52 –Уравнения движения идеальной несжимаемой неоднороднойжидкости относительно вращающейся Земли в сферических координатах имеют вид [63]:´∂vr vθ ∂vrvλ ∂vr 1 ³ 2∂vr+ vr++− vθ + vλ 2 =∂t∂rr ∂θr sin θ ∂λr1 ∂p= Fr −+ 2ωvλ sin θ − ω 2 r sin θ,ρ ∂r∂vθ vθ ∂vθ∂vθvλ ∂vθ 1ctg θ 2+ vr+++ vr vθ −vλ =∂t∂rr ∂θr sin θ ∂λrr1 ∂p=−+ 2ωvλ cos θ − ω 2 r sin 2θ,ρr ∂θ∂vλ∂vλ vθ ∂vλvλ ∂vλ 1ctg θ+ vr+++ vr vλ −vθ vλ =∂t∂rr ∂θr sin θ ∂λrr∂p1=−− 2ω (vλ cos θ + vr sin θ) ,ρr sin θ ∂λ∂ρ vθ ∂ρ∂ρvλ ∂ρ+ vr++= 0,(1.10)∂t∂rr ∂θ r sin θ ∂λ"#1∂1 ∂ ³ 2 ´∂vλr vr +.(vθ sin θ) +r ∂rsin θ ∂θ∂λДругая форма уравнений движения — форма Громеки–Ламба [63]:∂vr∂ v2∂W1 ∂p++ vλ Ωθ − vθ Ωλ − 2ωvλ sin θ = −−,∂t∂r 2∂rρ ∂r∂vθ 1 ∂ v 21 ∂W1 ∂p++ vr Ωλ − vλ Ωr − 2ωvλ cos θ = −−,∂tr ∂θ 2r ∂θρr ∂θ∂ v2∂vλ1++ vθ Ωr − vr Ωθ + 2ω (vθ cos θ + vr sin θ) =∂tr sin θ ∂λ 21∂p=−,(1.11)ρr sin θ ∂λ"#1∂∂vθ2222Ωr =v = vr + vθ + vλ ,(vλ sin θ) −,rsinθ∂θ∂λ"#"#1∂vr∂1 ∂∂vrΩθ =−(rvλ sin θ) ,Ωλ =(rvθ ) −.r sin θ ∂λ∂rr ∂r∂θЗдесь учтено, что приωr = ω cos θ,ωθ = −ω sin θ,ωλ = 0сила Кориолиса имеет видhiFC = −2ωω × vr = 2ω vλ sin θ ir + vλ cos θ iθ − (vθ cos θ + vr sin θ) iλ .– 53 –Граничные условия.

Пусть слой жидкости снизу ограничен поверхностью r = R0 (θ, λ). Условие непротекания через недеформируемоедно имеет вид1 ∂R01 ∂R0vθ +vλ = vr ,R0 ∂θR0 sin θ ∂λr = R0 (θ, λ).На свободной поверхности r = R(θ, λ, t) выполняется кинематическоеусловие∂R 1 ∂R1 ∂R+vθ +vλ = vr ,∂tr ∂θR sin θ ∂λr = R(θ, λ, t).Динамическое условие (1.5) на свободной поверхности состоит в задании давленияp = p0 (θ, λ, t),r = R(θ, λ, t).Относительное равновесие. При этом имеем∇p= −∇W,ρW = W (r, θ),откуда следует, что p = p(r, θ) и∂p∂W= −ρ,∂r∂r∂p∂W= −ρ.∂θ∂θ(1.12)Исключая из равенств (1.12) давление, получим для плотности ρ == ρ(r, θ) условиеÃ∂∂Wρ∂r∂θили, дифференцируя, условие!Ã∂∂W=ρ∂θ∂r!∂ρ ∂W∂ρ ∂WD (ρ, W )−== 0.∂r ∂θ∂θ ∂rD(r, θ)Следовательно, ρ = ρ(W ), и, кроме того,ZWp = −Q + const,Q=ρ(W ) dW.W0Стационарное движение.

Рассмотрим решениеvr = vθ = 0,vλ = vλ (r, θ),ρ = ρ(r, θ),– 54 –не зависящее от времени t. При этом p = p(r, θ) и система (1.11)относительно vλ (r, θ) и p(r, θ) запишется в виде∂ vλ2∂W1 ∂p+ vλ Ωθ − 2ωvλ sin θ = −−,∂r 2∂rρ ∂r1 ∂ vλ21 ∂W1 ∂p− vλ Ωr − 2ωvλ cos θ = −−,(1.13)r ∂θ 2r ∂θρr ∂θ1 ∂1 ∂(rvλ sin θ) ,Ωr =(vλ sin θ) .Ωθ = −r sin θ ∂rr sin θ ∂θПоложим p = −видWRW0ρ(W ) dW + C. Тогда уравнения (1.13) примут∂ vλ 2+ vλ Ωθ − 2ωvλ sin θ = 0,∂r 21 ∂ vλ 2− vλ Ωr − 2ωvλ cos θ = 0r ∂θ 2(1.14)(1.15)и должны быть совместными. Например, функция vλ = αr sin θ удовлетворяет уравнениям (1.14) и (1.15).Проинтегрируем уравнение неразрывности (1.10) по r от дна досвободной поверхности:ZRR0Ã−R vθ"#∂vλ∂∂Rr+(vθ sin θ) dr = −R2sin θ−∂λ∂θ∂t∂Rsin θ +∂θ¯!¯∂R ¯¯¯vλ∂λ ¯¯Ã+ R 0 vθr=R∂R0sin θ +∂θ¯!¯∂R0 ¯¯¯vλ∂λ ¯¯.r=R0(1.16)Вместе с темZRR0#"∂∂ ZR∂vλ∂ ZR+(vθ sin θ) dr =r(rvλ ) dr +rvθ sin θ dr−∂λ∂θ∂λ R∂θ R"−¯¯(rvλ )¯¯¯¯(rvθ sin θ)¯¯0#∂R+r=R ∂θ¯∂R0¯+ (rvθ sin θ)¯¯.r=R0 ∂θ∂R+r=R ∂λ¯¯(rvλ )¯¯0∂R0+r=R0 ∂λ(1.17)В результате сравнения уравнений (1.16) и (1.17) получаем урав-– 55 –нение относительно R = R(θ, λ, t):∂ ZR∂ ZRRsin θ +rvθ sin θ dr +rvλ dr = 0.∂t∂θ R∂λ R2 ∂R0§ 1.4.0Описание процесса распространения волн во вращающемся плоском слоеУравнения движения жидкости (1.9) во вращающемся плоском слое:∂ρ∂v+ v · ∇ρ = 0, div v = 0,+ (v · ∇)v =∂t∂t´∇pω2 ³ 2= −∇W −− 2 ω × v, W = U −x + y2 .ρ2(1.18)Граничные условия:Zt + ∇Z · v = vz ,p = p0 ,∇H · v + vz = 0,z = Z(x, y, t),z = −H(x, y).Здесь z = Z(x, y, t) — уравнение свободной поверхности, z = −H(x, y) —уравнение поверхности дна.Проинтегрируем уравнение неразрывности системы (1.18) от днадо свободной поверхности:ZZ à ∂v−H∂vy+∂x∂yx!dz + Zt + ∇Z ·¯¯v¯¯z=Z+ ∇H ·¯¯v¯¯z=−H= 0.Затем имеем¯¯ZZ ∂v∂ ZZ¯¯x¯,+ Hx vx ¯¯vx dz =dz + Zx vx ¯z=−Hz=Z∂x −H∂x−H¯¯ZZ ∂v∂ ZZ¯¯y¯.+ Hy vy ¯¯vy dz =dz + Zy vy ¯z=−Hz=Z∂y −H∂y−HСледовательно,ZZà ∂v−H!¯¯∂vy∂ ZZ∂ ZZ¯¯+dz =vx dz +vy dz −∇Z ·v¯¯−∇H ·v¯¯.z=Zz=−H∂x∂y∂x −H∂y −Hx– 56 –Окончательно относительно Z = Z(x, y, t) получаем уравнение∂ ZZ∂ ZZZt +vx dz +vy dz = 0.∂x −H∂y −HЗапишем уравнения движения (1.18) в скалярной форме∂vx∂vx∂vx∂vx1 ∂p+ vx+ vy+ vz= ω 2 x + 2ωvy −,∂t∂x∂y∂zρ ∂x∂vy∂vy∂vy1 ∂p∂vy+ vx+ vy+ vz= ω 2 y − 2ωvx −,∂t∂x∂y∂zρ ∂y∂vz∂vz∂vz∂vz1 ∂p+ vx+ vy+ vz= −g −,∂t∂x∂y∂zρ ∂z∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ∂vx ∂vy ∂vz+ vx+ vy+ vz= 0,++= 0.∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z(1.19)При относительном равновесии v = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации