Диссертация (1145260), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Тогда∇p+ ∇W = 0,ρоткуда ρ = ρ(W ), ∇(p + Q) = 0,ZWQ=−ZWρ(W ) dW,p = p0 +W0ρ(W ) dW.W0Здесь индекс "ноль" означает, что соответствующая величина относится к свободной поверхности, иW0 = gZ −´ω2 ³ 2x + y2 .2Далее рассматривается однородная жидкость: ρ = const. В этом случаеQ = −ρ (W0 − W ) = −ρg (Z − z) .Следовательно,´1ω2 ³ 2x + y 2 + W0 ,pst = ρg (Zst − z) + p0 , Zst =2gg(1.20)где значение W0 определяется из условияZZZst dx dy = 0.Результаты данной главы основаны на публикациях [2–5, 22, 24,38, 62, 63, 68, 69, 158].Глава 2Волны на мелкой воде§ 2.1.Уравнения теории мелкой водыОсвоение шельфовой зоны морей и океанов зависит от динамических процессов на поверхности и в толще воды акваторий, используемых для хождения судов, проектирования, строительства и эксплуатации различного рода гидротехнических сооружений.
Поэтомуактуальна задача изучения характера волнового режима — процессараспространения волн на мелководье и их силового воздействия наоградительные преграды и причальные плавучие сооружения, суда иберега. Хотя эта проблема возникла давно, в настоящее время она ещедалека от полного решения.
Трудности исследования задач теории поверхностных гравитационных волн связаны в первую очередь с существенной нелинейностью граничных условий на свободной поверхности и тем, что сама свободная поверхность есть неизвестная функцияи подлежит определению.
Поэтому нелинейная модель теории волнна воде не получила полного решения, несмотря на усилия выдающихся ученых на протяжении двух столетий. Указанные трудностивыдвинули на первый план математическое моделирование упрощенных волновых моделей, которое ведет свое начало от исследованийЛагранжа [83]. Построение математической теории распространенияповерхностных волн в жидкости конечной глубины было начато во середине XIX века работами Эйри, Грина, Релея, Буссинеска, Стокса,Кортевега и де-Вриза. Полученные ими результаты дают первоначальное представление об основных закономерностях распространения поверхностных волн.– 58 –До середины 60-х годов прошлого столетия исследования распространения волн в идеальной несжимаемой тяжёлой жидкости конечной глубины проводились, главным образом, в рамках линейной теории.
В последние годы значительные результаты достигнуты в теориинелинейных поверхностных волн в рамках уравнений длинноволнового приближения.Полная модель процесса распространения длинных волн на поверхности слоя жидкости с неровным дном приведена в [2]. Обоснование теории мелкой воды впервые было выполнено Л.В. Овсянниковымв работах [81, 82].В ряде работ [84, 139, 270] показано, что модель мелкой воды можетправильно описывать важные стороны океанских движений, поэтомув настоящем исследовании используются глубокие интуитивные соображения первых исследователей в этой области.В данной главе проводится анализ процессов распространения волнв безграничном по горизонтали однородном вращающемся океане переменной глубины и в замкнутых бассейнах переменной глубины.
Основное внимание уделено вопросу существования возможных типовволновых движений, исследованию этих движений и кинематическиххарактеристик пространственных волн.Изучим динамику тонкого вращающегося слоя идеальной несжимаемой жидкости.Рассмотрим слой жидкости постоянной плотности. Высота поверхности жидкости относительно отсчетного уровня z = 0 описываетсянеизвестной функцией Z (x, y, t). Ось вращения жидкости совпадает с осью z, т.
е. ω = ω k. Неподвижное дно задается поверхностьюz = hB (x, y), функция hB (x, y) считается известной.Хотя глубина жидкости Z −hB изменяется в пространстве и во времени, предположим, что характерное значение глубины равно средней глубине слоя. Обозначим это значение через D. Предположим– 59 –также, что характерный вертикальный масштаб движения равен D.Пусть, кроме того, характерный горизонтальный масштаб движенияравен L.Основное условие, характеризующее теорию мелкой воды, состоитв том, что [62]D<< 1.(2.1)LНастоящий параграф посвящен выводу основных уравнений, опиδ=сывающих динамику длинноволновых движений жидкости, находящейся в состоянии равномерного вращения. Кроме того поставленыкраевые условия для этих уравнений.
Полученная краевая задача исследуется в последующих параграфах.Оценивая порядок членов в уравнениях движения (1.19) и учитывая условие (2.1), получаем распределение давления по "гидростатическому" законуp = p0 + ρg (Z − z) ,(2.2)поэтому превышение давления над p0 в некоторой точке равно весуединичного столба жидкости над этой точкой в данный момент времени.Из выражения (2.2) для давления p получаем∂p∂Z= ρg,∂x∂x∂p∂Z= ρg,∂y∂yпоэтому горизонтальный градиент давления, следовательно, и горизонтальные ускорения не зависят от z. Предположим, что горизонтальные скорости vx и vy не зависят от z в начальный момент времени. В этом случае из независимости от z горизонтальных ускоренийследует независимость от z величин vx и vy в любой момент времени.Используя представление Z = Zst + η, из выражения (1.20) длядавления получаемω2 2p = p0 + ρ (x + y 2 ) + ρW0 + ρgη − ρgz.2(2.3)– 60 –Уравнения системы (1.19) для vx , vy примут следующий вид∂vx∂vx1 ∂p0∂η∂vx+ vx+ vy= 2ωvy −−g ,∂t∂x∂yρ ∂x∂x∂vy∂vy1 ∂p0∂η∂vy+ vx+ vy= −2ωvx −−g .∂t∂x∂yρ ∂y∂yУчитывая оценку (2.1), выражения (2.2) и (2.3), для определенияфункцийvx = vx (x, y, t),vy = vy (x, y, t),η = η(x, y, t)при p0 = const имеем уравнения∂vx∂vx∂vx∂η+ vx+ vy− 2ωvy = −g ,∂t∂x∂y∂x∂vy∂vy∂vy∂η+ vx+ vy+ 2ωvx = −g ,∂t∂x∂y∂yii∂h∂η∂ hvx (η + Zst − hB ) +vy (η + Zst − hB ) = 0,+∂t ∂x∂y(2.4)(2.5)(2.6)которые являются уравнениями теории мелкой воды [139].Итак, вследствие условия δ ¿ 1 уменьшилось число динамических уравнений, число искомых функций (за счет исключения vz издинамических уравнений системы (1.19)) и число независимых переменных (так как z не входит больше в явном виде в динамическиеуравнения).
Оставшиеся переменные vx , vy и η являются функциямитолько x, y и t.Интегрируя уравнение неразрывности системы (1.19) по z при учете условия отсутствия нормальной компоненты скорости на поверхности z = hB (x, y), получим выражение для вертикальной компонентыскорости vz :Ã!∂hB∂hB∂vx ∂vy++ vx+ vy.vz (x, y, z, t, ) = (hB − z)∂x∂y∂x∂y(2.7)Из выражения (2.7) видно, что в рамках модели мелкой воды компонента скорости vz — линейная по z функция. Жидкость движетсякак набор столбиков, ориентированных параллельно оси Oz.– 61 –Граничным условием к полученным уравнениям (2.4)–(2.6) является условие непротекания через вертикальные поверхности — границыбассейна:vx cos(n, x) + vy cos(n, y) = 0,(x, y) ∈ L,(2.8)где n — нормаль к горизонтальному сечению границы бассейна.Составим уравнение для вихря∂vy ∂vxΩ=−.∂x∂yДля этого продифференцируем уравнение (2.4) для vx по y, а уравнение (2.5) для vy по x, затем вычтем одно из другого.
В результатеполучим равенство!Ã∂Ω∂Ω∂Ω∂vx ∂vy+ vx+ vy+ (Ω + 2ω)+= 0.(2.9)∂t∂x∂y∂x∂yУравнение (2.6) для ординаты свободной поверхности Z = Z(x, y, t)представим в видеÃ!∂Z∂∂∂vx ∂vy+ vx (Z − hB ) + vy (Z − hB ) + (Z − hB )+= 0.∂t∂x∂y∂x∂y(2.10)После исключения горизонтальной дивергенции из уравнения (2.9) спомощью уравнения (2.10) получим равенствоdd(Z − hB ) (Ω + 2ω) − (Ω + 2ω) (Z − hB ) = 0,dtdtкоторое представимо в видеd Ω + 2ω= 0.(2.11)dt Z − hBТаким образом, при движении каждого столбика жидкости величинаΠ=Ω + 2ωZ − hBостается постоянной.Итак, представлены уравнения (2.4), (2.5) для vx , vy и выражение(2.11) для вихря, определяющее ординату свободной поверхности Z,а также равенство нулю нормальной составляющей скорости на контуре области в плоскости xy (2.8).– 62 –§ 2.2.Движения с малой амплитудойНастоящий и последующие параграфы данной главы посвященыисследованию линейных задач нестационарной теории волн, распространяющихся во вращающейся жидкости.Разумеется, для детального описания широкого круга физическихявлений, связанных с динамикой волн, следует исходить из достаточно полных математических моделей, которые, как правило, оказываются весьма сложными нелинейными, многопараметрическими,и для их успешного исследования эффективны, по-видимому, лишьчисленные методы, основанные на использовании современных компьютеров.
Однако в ряде случаев первоначальное качественное представление об изучаемом круге явлений можно получить и на основеболее простых, линейных моделей, поддающихся аналитическому исследованию.В данном параграфе будет сформулирована математическая постановка задачи о волновых движениях с малой амплитудой. Здесьбудут пердставлены уравнение в частных производных для возмущения свободной поверхности, а также — уравнения для определениякомпонент скорости.Если пренебречь конвективной частью горизонтального ускоренияи считать η малой величиной, то относительно vx , vy , η система уравнений (2.4)–(2.6) будет линейной:∂η∂vx− f vy = −g ,∂t∂x³´∂∂ηf+vx H+∂t ∂x∂vy∂η+ f vx = −g ,∂t∂y³´∂fvy H= 0,∂y(2.12)(2.13)fгде H= Zst − hB , f = 2ω, и, кроме того, имеем краевое условие (2.8)vx cos (n, x) + vy cos (n, y) = 0,(x, y) ∈ L.ffПусть u = vx H,v = vy H.Тогда система (2.12)–(2.13) запишется– 63 –следующим образом:∂u∂vf ∂ηf ∂η− f v = −g H,+ f u = −g H,∂t∂x∂t∂y∂η ∂u ∂v++= 0.∂t ∂x ∂y(2.14)Дифференцируя в (2.14) первое уравнение по x, второе уравнение —по y и складывая, получимÃ!Ã!"Ã!Ã∂u ∂v∂ f ∂η∂ ∂u ∂v∂ f ∂η++f−= −gH+H∂t ∂x ∂y∂y ∂x∂x∂x∂y∂y!#.Аналогично, дифференцируя в (2.14) первое уравнение по y, второеуравнение — по x и вычитая, получимÃ!!ÃÃ"!Ã∂ ∂u ∂v∂u ∂v∂ f ∂η∂ f ∂η−−f+= −gH−H∂t ∂y ∂x∂x ∂y∂y∂x∂x∂yИсключая.∂u ∂v−, находим∂y ∂xÃ!#!ff³´∂η ∂ H∂η ∂v∂∂H∂22 ∂uf+f+=−g∇·H∇η−gf−,∂t2∂x ∂y∂t∂x ∂y∂y ∂xоткуда окончательно получаемff³´∂η ∂ H∂η ∂ ∂ 2∂H2f+fη−g∇·H∇η−= 0.−gf∂t ∂t2∂x ∂y∂y ∂x(2.15)Для определения компонент скорости имеем следующие уравнения∂ 2 vx∂ 2η∂η 2+fv=−g+f,x∂t2∂x∂t∂y2∂η∂η∂ 2 vy+ f 2 vy = −g − f .2∂t∂y∂t∂x(2.16)(2.17)Уравнения (2.15)–(2.17) совпадают с соответствующими уравнениями, представленными в монографии [84].С помощью соотношений (2.16), (2.17) граничное условие (2.8) примет вид"#∂ ∂η∂ηcos(n, x) +cos(n, y) =∂t ∂x∂y#"∂η∂ηcos(n, y) −cos(n, x)(x, y) ∈ L.=f∂x∂y(2.18)– 64 –Пусть s — орт касательной, направленной в сторону обхода контурапротив часовой стрелки, n — орт внешней нормали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
