Диссертация (1145260), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Тогдаcos (n, x) = sin θ =dy,dscos (n, y) = − cos θ = −cos (s, x) = − cos (n, y),dx,dscos (s, y) = cos (n, x),где θ — угол наклона касательной к оси x.В этом случае∂∂∂= − cos (n, y) +cos (n, x)∂s∂x∂yи, следовательно, краевое условие (2.18) принимает вид∂ ∂η∂η= −f,∂t ∂n∂s§ 2.3.(x, y) ∈ L.(2.19)Волны в прямолинейном канале переменной глубиныВ этом параграфе продолжим изучение свободных линейных колебаний тонкого вращающегося слоя жидкости.

В частности, исследуем распространение волн малой амплитуды в бассейнах простыхгеометрических очертаний. В такой упрощенной постановке задач часто удается получить аналитические решения и тем самым выяснитьнекоторые общие закономерности движения волн. Перейдем к рассмотрению таких задач. Наиболее простой является задача изучениядвижения волн в узких длинных каналах. Будут указаны особенностикак физического, так и математического характера, которые возникают при учете вращения.fПри H= const уравнение (2.15) для η имеет решениеη = A ei(kx + ly − σt) ,причем дисперсионное уравнение относительно σ имеет видh³σ −σ 2 + f 2 + c20 k 2 + l2´i= 0,fc20 = g H.– 65 –Здесь значение σ = 0 отвечает стационарному движению.

Волновойхарактер движения будет при³hσ = ± f 2 + c20 k 2 + l2´i1/2.ffПри H= H(y)будем искать решение уравнения (2.15) в видеη = A(y) ei(kx − σt) .Для определения A(y) имеем уравнениеff1 ∂Hσ2 − f 2f k ∂H02 A = 0.A − fA +−k + ff∂y∂ygHσHH00(2.20)При движении в канале, ограниченном стенками y = ±b, краевыеусловия (2.19) имеют видA0 +fkA = 0,σy = ±b.(2.21)A00 − 2α(y) A0 + β(y) A = 0,(2.22)Преобразуем уравнение (2.20)гдеf1 ∂Hα(y) = f,2H ∂yПодстановкаfσ2 − f 2f k ∂H2β(y) =−k + f.fgHσ H ∂yRA(y) = γ(y)e α(y) dyприводит уравнение (2.22) и граничные условия (2.21) соответственнок уравнению, не содержащему первой производной,γ 00 + q 2 γ = 0,q 2 = β − α2 + α0 ,(2.23)2fffσ2 − f 21 ∂ 2H3 ∂Hf k ∂H2q =+ f− f2−k + f,fgHσ H ∂y2H ∂y 24H ∂y2и граничным условиямÃ!fkγ = 0,γ + α+σ0y = ±b.(2.24)– 66 –При q 2 = const, получим уравнение для z(h) =dhf, (h = H(y)):dydz3 2fkσ2 − f 222z=z −2z + 2 (q + k ) h − 2.dh 2hσg(2.25)Уравнение (2.25) имеет общий видzz 0 = f2 (h) z 2 + f1 z + f0 (h)(2.26)и является уравнением Абеля второго рода [54].

ПодстановкаR dhR−3/2−fdh2h = zh−3/2u (h) = z e=zeприводит уравнение (2.26) к уравнению2f k −3/2σ 2 − f 2  −3uu0 = −hu + 2 (q 2 + k 2 ) h − 2h ,σgполагая далее,ZÃu = v (h) +!2f k −3/2−hdh,σполучим"#4f k − 1 0 σ 2 − f 2  −322v+h 2 v = 2 (q + k ) h − 2h ,σgили, в общем виде,[v + g (h)] v 0 = f0 (h) .Таким образом,"#4f k − 1 −3/2h 2 hz (h) = v (h) +.σВ частности, при f1 (h) = 0 получим: 1/2´σ2 ³z = 2h  − q 2 + k 2 h 2g,f = 0, k 6= 0, 1/2σ2 − f 2z = 2h− q 2 h 2g,k = 0, f 6= 0.Рассмотрим выражениеqz = bi h − ai h2 ,i = 1, 2,– 67 –где³´2σ 2, a1 = 4 q 2 + k 2при f = 0, k 6= 0,g³´2 σ2 − f 2b2 =,a2 = 4q 2 при k = 0, f =6 0.gb1 =В зависимости от того, какие значения принимают параметры ai и bi(положительные, отрицательные, нулевые), существуют следующиезначения z (далее в выражениях для z параметры ai , bi принимаютположительные значения):qz = b1 h − a1 h2 ;b1 > 0,q 2 > 0,(2.27)qz = b1 h + a1 h2 ; b1 > 0, q 2 < 0, |q 2 | > k 2 , ∨q 2 < 0, | q 2 | < k 2 ,qz = b1 h;qq 2 + k 2 = 0,b1 > 0,(2.28)(2.29)b2 > 0 (σ > f ) ,q 2 > 0,(2.30)b2 > 0 (σ > f ) ,q 2 < 0,(2.31)b2 < 0 (σ < f ) ,q 2 > 0,(2.32)z = −b2 h + a2 h2 ;√z = ±i a2 h;√z = a2 h;b2 < 0 (σ < f ) ,q 2 < 0,(2.33)b2 = 0 (σ = f ) ,q 2 > 0,(2.34)b2 = 0 (σ = f ) ,q 2 < 0,(2.35)z = 0;b2 = 0 (σ = f ) ,q 2 = 0,(2.36)b2 > 0 (σ > f ) ,q 2 = 0,(2.37)b2 < 0 (σ < f ) ,q 2 = 0.(2.38)z = b2 h − a2 h2 ;qz = b2 h + a 2 h 2 ;qz = ±i b2 h + a2 h2 ;qqz = b2 h;qz = ±i b2 h;dh, получим соответствующие дифdyференциальные уравнения с разделяющимися переменными и их реПодставляя в (2.27)–(2.38) z =шения.

В частности,³√´bb2√ sina (y − c) + ,h=4a a2b  bh <√ + 1  ,2a 2 aесли z определяется равенствами (2.27) и (2.30);1  √a y − cb4 − √ a y + cb eh= √ e+−√ ,2 a16 a2a– 68 –если z определяется равенствами (2.28) и (2.31);³√´2by+ch=,4если z определяется равенствами (2.29) и (2.37);b4 ±i √a y + cb 1  ±i √a y − c+−√ ,h= √ ee2 a16 a2aесли z определяется равенством (2.32);³´√b2b√ sin ±i a (y − c) + ,h=4a a2b  bh <√ + 1  ,2a 2 aесли z определяется равенством (2.33);√±iay + c,h=eесли z определяется равенством (2.34);√h = e ay + c,если z определяется равенством (2.35);h = c,если z определяется равенством (2.36);³´2√±i b y + ch=,4если z определяется равенством (2.38).

Здесь c — произвольнаяпостоянная.fКроме того, q 2 = const при H(y) = const, а уравнение (2.25) имеетfрешение H(y) = ceay при σ = f .При σ = f динамические уравнения (2.12)–(2.13) имеют видf ṽx − if ṽy = gkA,(2.39)f ṽx − if ṽy = −gA0 ,(2.40)f−if A + H(ik vfx + vfy ) = 0,(2.41)– 69 –где ṽx (y) и ṽy (y) — комплексные амплитуды выражений vx (y) и vy (y):vx = Re ṽx ei(kx − f t) ,vy = Re ṽy ei(kx − f t) .Из уравнений (2.39) и (2.40) получаем A0 + k A = 0, отсюда A == η0 e−ky . Следовательно, результатом исключения величины vx изуравнения (2.41) является уравнениеif η0 − (k + a) y k 2 g ceay dṽ− (k − a) ṽ =e1−.dycf2(2.42)Уравнение (2.42) имеет общее решениеif η0 − (k + a) y  1k 2 g ceay (k−a)yṽy = v0 e−e+,c2k f 2 (a − 2k)где v0 — произвольно.

Подставляя vfy в граничное условиеvy = 0,y = b,получимif η0 −2kb  1k 2 g ceay v0 =e+.c2k f 2 (a − 2k)Соответствующее частное решение¶µk2g cif η0 −ay  sh kyky+ab−(k−a)ye−ee+ 2ṽy =ckf (a − 2k)удовлетворяет второму граничному условиюvy = 0,y = −bприth ab!.th kb = − Ãf 2 (a − 2k)1+ 2k g c ch abУравнение (2.23) при q 2 = const имеет общее решениеγ = D1 sin qy + D2 cos qy(2.43)с произвольными постоянными D1 и D2 . Подстановка выражения(2.43) в граничные условия (2.24) приводит к линейной однороднойсистеме относительно D1 и D2 :(q cos qy + δ sin qy)D1 + (−q sin qy + δ cos qy)D2 = 0, y = ±b, (2.44)– 70 –гдеfk.σНетривиальные решения для D1 , D2 существуют только приδ(y) = α(y) +¯¯¯¯¯¯¯¯q cos qb + δ+ sin qb −q sin qb + δ+ cos qbq cos qb − δ− sin qbq sin qb + δ− cos qb¯¯¯¯¯¯¯¯= 0,где δ± = δ (±b). Это дисперсионное уравнение определяет зависимость σ от f и k и имеет видq [α(−b) − α(b)] cos 2qb + q 2 + α(b)α(−b)+f 2k2 fk+ [α(b) + α(−b)] + 2 sin 2qb = 0.σσ(2.45)fДля жидкости постоянной глубины H= const дисперсионное урав-нение (2.45) примет вид³σ2 − f 2´³´fσ2 − k2gHsin (2qb) = 0,(2.46)гдеσ2 − f 2q =− k2.fgHПодробный анализ задачи при постоянной глубине жидкости2fH= const выполнен Дж.

Педлоски [84]. В этом случае удается полу-чить явную зависимость частоты волны σ от параметров f и k. Так,выполнение требования (2.46) дает дисперсионное соотношение дляволн Пуанкаре:1/2n2 π 2 2f 2σ = ±f + g H k +4b2 ,n = 1, 2, 3, . . . .Здесь y-компонента волнового вектора принимает дискретные значеnπния. Наличие решений с частотами σ = ±σn разных знаков озна2bчает, что волны Пуанкаре распространяются как в положительном,так и в отрицательном направлении оси x. При этом |σ| превосходит f .– 71 –Выражения для возвышения свободной поверхности и компонентскорости волны Пуанкаре имеют соответственно вид [84]:"#2b fnπynπyη = η0 cos−sincos (kx − σt) ,2bnπ Cx2bfη0  g Hnπy 2bfnπy cos (kx − σt) ,vx = fcos−sin2bnπ2bH Cxf 2 2η0 2b  2 g Hπn nπyvy = − ff +sincos (kx − σt) ,4b22bH σπnσ— фазовая скорость вдоль оси x и η0 — произвольнаяkамплитуда.где Cx =Второй тип решения уравнения (2.46) — волна Кельвина, для которой³fσ = ±k g H´1/2.(2.47)Заметим, что выражение (2.47) представляет собой дисперсионное соотношение σ = σ(k) для плоской волны в невращающейся жидкости,qfгребни которой параллельны оси y.

Волна с частотой σ = k g Hраспространяется в положительном направлении оси x. При этомf2f 1/2q 2 = − f , поэтому q = ±if /(g H)— чисто мнимая величина.gHf 1/2При q = if /g Hвозвышения свободной поверхности η и компонентскорости представляются соответственно в виде [84]:1/2fη = η0 e−f y/(g H)·f 1/2cos k(x − (g H)¸t) ,·¸f 1/2η0 g −f y/(g H)g ∂ηf 1/2vx = f 1/2 e,cos k(x − (g H) t) = −f ∂yHvy = 0.Здесь поперечная (по отношению к оси канала) компонента vy скорости v тождественно равна нулю, а для течения вдоль оси x выполняется геострофическое соотношение, хотя частота не мала по сравнениюс f .

При этом сила Кориолиса, обусловленная компонентой скоростиvx , уравновешивается силой, образуемой в результате наклона свобод-– 72 –ной поверхности поперек оси канала. Этот наклон зависит от y экспоненциально. Высота волны будет максимальна справа, если смотреть1/2fпо направлению распространения волны. При σ = −k(g H)вол-на Кельвина распространяется в отрицательном направлении оси x,ее амплитуда максимальна на стенке y = b и убывает экспоненциально с уменьшением y, поэтому высота волны, как в предыдущемслучае, максимальна справа от наблюдателя, смотрящего по направлению распространения волны. Для существования волны Кельвинанеобходима, по крайней мере, одна граница.

По причине экспоненциального характера возрастания высоты волны, волна Кельвина несуществует в неограниченной по всем направлениям области.Третьему решению уравнения (2.46) соответствуют колебания счастотойσ = ±f,где f — параметр Кориолиса, а y-компонента скорости v при σ = fимеет видfk2gHif η0  e−ky ,ṽy = v0 e − f 1 −2f2k Hгде v0 произвольно. На границе vy = 0, что возможно лишь при k =ky1/2f= f /(g H)1/2fσ = (g H)1/2f, но при k = f /(g H)тождественно vy = 0. При этомk = f , поэтому рассматриваемая волна является волнойКельвина.fТаким образом, при H= const полный спектр волн состоит изволны Кельвина и волн Пуанкаре.§ 2.4.Распространение волн в цилиндрическом бассейне постоянной глубиныВ §§ 2.1–2.3 рассматривались вопросы распространения волн в незамкнутых, хотя бы в одном направлении, бассейнах.

Такая идеализация естественна при анализе задач, в которых масштаб возмуще-– 73 –ния мал по сравнению с размерами замкнутой области, в этом случаевозмущения распространяются долгое время до встречи с границей.Однако в замкнутых бассейнах, таких, как океаны, характерный масштаб внешнего воздействия, например, ветрового, достаточно велик,поэтому влияние границы оказывается существенным.В последних трех параграфах второй главы исследуется распространение волн в замкнутом бассейне, в частности, в цилиндрическомкольцевом бассейне переменной глубины.Используя полярные координаты x = r cos ϕ,y = r sin ϕ, равен-ства∂r= cos ϕ,∂x∂r= sin ϕ,∂y∂ϕsin ϕ=−,∂xr∂ϕ cos ϕ=∂yrи формулы дифференцирования∂∂sin ϕ ∂= cos ϕ −,∂x∂rr ∂ϕ∂∂cos ϕ ∂= sin ϕ +,∂y∂rr ∂ϕполучимffff∂η ∂ H∂η∂η ∂ H∂η ∂H1  ∂H−=−,∂x ∂y∂y ∂x r ∂r ∂ϕ∂ϕ ∂rÃ!Ã!³´1 ∂ f ∂η1 ∂ff ∂ηrH+ 2H.∇ H∇η =r ∂r∂rr ∂ϕ∂ϕПоэтому уравнение (2.15) для η и краевые условия (2.19) на внутренней окружности V = V1 и внешней окружности V = V2 кольца вполярных координатах примут вид21 ∂η1 ∂ 2η ∂  ∂ 22f ∂ η+fη−gH++−∂t  ∂t2∂r2 r ∂r r2 ∂ϕ2ffffgf1∂H∂H∂H∂η∂H∂η∂η∂η − = 0,+−−g ∂r ∂r r2 ∂ϕ ∂ϕ r ∂r ∂ϕ∂ϕ ∂r∂ 2ηf ∂η+= 0, r = rj , j = 1, 2.∂t∂r r ∂ϕ– 74 –Будем искать периодические по ϕ и t волновые решения видаη (r, ϕ, t) = Re R (r) ei(kϕ + σt) ,где k — целое неотрицательное число.

Для функции R = R (r) получаем задачу на собственные значенияffk 2   ∂ ln Hf ∂ ln H1R + R 0 − R0 +−R +2rr∂rirσ ∂ϕff22∂lnHfk∂lnHσ−fik R = 0,++ 2+fr ∂ϕσr ∂rgHfkR0 +R = 0,r = rj , j = 1, 2.σr00(2.48)(2.49)fПри H= const получаем краевую задачу для дифференциальногоуравнения Бесселя³´r2 R00 + rR0 + λ2 r2 − k 2 R = 0,fkR0 +R = 0, r = rj , j = 1, 2,σr(2.50)(2.51)гдеσ2 − f 2λ =.fgHУравнение (2.50) имеет общее решение2R = C1 Jk (λr) + C2 Nk (λr),где Jk (λr) и Nk (λr) — соответственно функции Бесселя и Нейманапорядка k и C1 , C2 — произвольные постоянные.Подстановка общего решения в краевые условия (2.51) приводитк системе двух (j = 1, 2) линейных однородных уравнений относительно C1 , C2 :"#λrj Jk0 (λrj )"#fkfkJk (λrj ) C1 + λrj Nk0 (λrj ) +Nk (λrj ) C2 = 0,+σσ(2.52)– 75 –и, как следствие существования нетривиальных решений, к дисперсионному уравнению относительно λ:¯¯¯¯fkfk¯¯0¯ λr1 J 0 (λr1 ) +Jk (λr1 ) λr1 Nk (λr1 ) +Nk (λr1 ) ¯¯k¯¯σσ¯ = 0.¯¯fkfk¯¯0¯ λr2 J 0 (λr2 ) +J(λr)λrN(λr)+N(λr)k12 k2k2 ¯¯k¯σσВычисляя определитель и преобразуя его, получим трансцендентноеуравнение относительно собственных значений λ:hiλ2 r1 r2 Jk−1 (λr1 ) Nk−1 (λr2 ) − Jk−1 (λr2 ) Nk−1 (λr1 ) +!Ãf+λ−1σhir k Jk−1 (λr1 ) Nk (λr2 ) − Jk (λr2 ) Nk−1 (λr1 ) + 1ih+r2 k Jk (λr1 ) Nk−1 (λr2 ) − Jk−1 (λr2 ) Nk (λr1 ) +!Ã2hif− 1 Jk (λr1 ) Nk (λr2 ) − Jk (λr2 ) Nk (λr1 ) = 0.+kσЗапишем уравнение (2.53) в виде2Ã!Ãffλ A (λ) + λk− 1 B (λ) + k 2−1σσ2откудаÃλ1,2!(2.53)!2C (λ) = 0,q−B (λ) ± (B 2 (λ) − 4A (λ) C (λ))f=k−1,σ2A (λ)гдеA (λ) = r1 r2 [Jk−1 (λr1 ) Nk−1 (λr2 ) − Jk−1 (λr2 ) Nk−1 (λr1 )] ,B (λ) = r1 [Jk−1 (λr1 ) Nk (λr2 ) − Jk (λr2 ) Nk−1 (λr1 )] ++r2 [Jk (λr1 ) Nk−1 (λr2 ) − Jk−1 (λr2 ) Nk (λr1 )] ,C (λ) = Jk (λr1 ) Nk (λr2 ) − Jk (λr2 ) Nk (λr1 ) .Найдем, далее, характеристики движения.

Характеристики

Список файлов диссертации