Диссертация (1145260), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

В случае ∇ηB = const получаем решение в виде волны Россби. В случае ηB = γx решение соответствующего нелинейного уравнения представимо в виде линейной суперпозициипадающей и отраженной волн.§ 3.3.Взаимодействие нелинейных планетарных волн в несжимаемой вращающейся жидкости с ориентированной в широтном направлении стенкойРассмотрим волновые движения, представляющие возмущения, распространяющиеся параллельно поверхности океана. Это позволяетограничиться изучением двумерных движений жидкости, зависящихлишь от времени и угловых координат точки на поверхности сферической Земли.

Для упрощения анализа рассмотрим такие (планетарные) движения в ограниченной области поверхности сферы — внекоторой β-плоскости, в которой сфера локально заменяется плоскостью, но при этом учитывается изменение параметра Кориолиса всеверном направлении. Обычно рассматриваемая задача решается влинейном варианте.Рассмотрим плоскопараллельное движение вращающейся несжимаемой жидкости, происходящее в β-плоскости, на которой введенасистема декартовых координат Oxy, так что ось Ox направлена навосток, а ось Oy — на север. Эти движения описываются следующейсистемой уравнений [53]:v2 ∂v+∇+ [v, rot v] + [αα, v] = −∇p,∂t2(3.9)div v = 0,(3.10)где v = (vx , vy ) — вектор скорости частиц жидкости, α = α (y) — па-– 92 –раметр Кориолиса, зависящий от y, т.

е., от широты места β – плоскости, причем вектор α перпендикулярен вектору v (β–плоскости),p — динамическое давление, плотность жидкости для простоты записи предполагается равной единице. Уравнение (3.10) позволяет ввестифункцию тока ψ(x, y, t):vx =∂ψ,∂yvy = −∂ψ.∂xЗапишем уравнение (3.9) покомпонентно:∂vx∂  v2 ∂p+− vy Ω − α(y)vy = − ,∂t∂x 2∂x∂vy∂  v2 ∂p++ vx Ω + α(y)vx = − ,∂t∂x 2∂y∂vy ∂vx−. Дифференцируя первое уравнение по y, второе —∂x∂yпо x и затем вычитая одно из другого, получим:где Ω =Ã!∂ ∂vy∂ 2  v2 ∂∂vx++(vx Ω) + α(y)=0∂x ∂t∂x∂y 2∂x∂xили, в терминах функции тока,∂∂ψ ∂∂ψ ∂∂ψ(−∆ψ) +(−∆ψ) −(−∆ψ) − α0 (y)= 0,∂t∂y ∂x∂x ∂y∂xоткуда∂∆ψ D (∆ψ, ψ)∂ψ++ α0 (y)= 0.∂tD (x, y)∂x(3.11)Здесь Ω = −∆ψ. Уравнение (3.11) запишем в видеÃ!∂∂ψ ∂∂ψ ∂−+(∆ψ − α(y)) = 0.∂t ∂x ∂y ∂y ∂x(3.12)Для бесконечно протяженной по горизонтали жидкости имеем точноерешение нелинейного уравнения (3.12):ψ = Aei(kx + ly − σt) ,σ=−kβ,k 2 + l2где β = α0 (y).

Параметр β будем считать постоянным.– 93 –Рассмотрим задачу об отражении нестационарных планетарныхволн с конечной амплитудой от ориентированной в широтном направлении твердой стенки.Пусть стенка расположена вдоль оси Ox. Условие непротекания втерминах функции тока ψ требует, чтобы∂ψvy == 0, y = 0.(3.13)∂xРассмотрим решение, соответствующее линейной суперпозиции падающей и отраженной волн:ψ = ψi + ψr ,ψi = Ai ei(ki x + li y − σi t) ,ψr = Ar ei(kr x + lr y − σr t) .Условие (3.13) на стенке y = 0 принимает видki Ai ei(ki x − σi t) + kr Ar ei(kr x − σr t) = 0,откуда следуют равенстваσi = σr = σ,ki = kr = k,Ai = −Ar .Таким образом, предполагаемое решение примет видψ = Aei(kx + li y − σt) − Aei(kx + lr y − σt) ,(3.14)причем li , lr являются корнями уравненияl2 + k 2 σ + kβ = 0,vuut(3.15)vuutk 2 + kβk 2 + kβ,li = − −.lr = −σσЛинейная суперпозиция частных решений в виде набегающей и отраженной волн может не быть решением уравнения (3.12) для ψ.

Поэтому подставим функцию ψ = ψi + ψr в уравнение (3.12). Условиемобращения в нуль левой части уравнения (3.12) для ψ будет равенствонулю произведения (lr − li )2 (lr + li ). При lr 6= li получаем lr + li = 0,т. е. lr = −li .Итак, решение соответствующего нелинейного уравнения представимо в виде линейной суперпозиции падающей и отраженной волн.– 94 –§ 3.4.Течения и волны во вращающемся сферическом слоеДанный параграф посвящен изучению нелинейных течений и волнво вращающемся сферическом слое идеальной несжимаемой жидкости.Изучение нелинейных течений жидкости во вращающихся сферических слоях необходимо для понимания многих динамических процессов глобального масштаба в океанах. В этом случае форма движения существенно зависит от двух важных факторов: сферическойгеометрии объема и вращения.

Применение и необходимость такихисследований для проблем геофизики не вызывает сомнений [269].Исследованию течений жидкости во вращающихся сферическихслоях посвящено большое число работ. Перечислим лишь некоторыеиз них.В случае вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса приближенное решение задачи может быть получено в виде ряда по целым положительным степеням числа Рейнольдса, сходимость которого доказана Ю.Г.

Овсеенко [80]. Функция тока меридиональноготечения, соответствующая первому члену ряда, определена в работе W.-E. Langlois’a [240]. Представление всех последующих членовряда в общем виде впервые дано в работе Ю.Г. Овсеенко [80]. В работах B.-R. Munson’a и D.-D. Joseph’a [248] численно определены длянекоторых конкретных значений толщины слоя и отношения угловыхскоростей вращения внешней и внутренней сфер первые семь членовряда.В другом предельном случае очень больших чисел Рейнольдса ималом числе Россби аналитическое решение задачи представили I.

Proudman и K. Stewartson [262]. Правильность асимптотического решения I. Proudman’а и K. Stewartson’а была подтверждена подробными численными рассчетами C.-E. Pearson’а [255], J.-P. Bonnet’а [174],– 95 –И.М. Яворской и Л.М. Симуни [164]. В этих работах решение получено конечноразностным методом.В большинстве случаев, как отмечается в ряде работ, для нахождения течения необходимо численно решать задачу. Первые работы почисленному расчету принадлежат C.-E.

Pearson’у [255] и В.И. Якушину [165], в обоих случаях исследование относилось к толстым слоям.В.И. Якушин [165] решал задачу методом Галеркина с базисом изсобственных функций задачи о возмущениях равновесия жидкости всферическом слое жидкости.Численное решение задачи представлено также в работахC.-F. Riter’а [263], D.

Greenspan’а [214], Н.М. Астафьевой, Н.Д. Введенской, И.М. Яворской [11].Первые экспериментальные исследования течений в сферическихслоях были предприняты М.П. Сорокиным, Г.Ф. Шайдуровым иГ.Н. Хлебутиным [137]. Изучались течения, возникающие в слое привращении только внутренней сферы. Наблюдения показали, что в согласии с предсказаниями теории в тонких слоях при небольших числах Рейнольдса меридиональное течение очень слабое и практическинезаметно. И только с ростом числа Рейнольдса центробежная сила, действие которой максимально на экваторе, вызывает появлениемеридионального течения.

Экспериментальное исследование теченияпри вращении обеих сфер представлено в работах И.М. Яворской,Ю.Н. Беляева и А.А. Монахова [163].Следует отметить работы Н.Е. Кочина, Е.Н. Блиновой, К. Россби,Р. Крейга, С. Нимтэна [14, 15, 63, 187, 249, 270], которые посвящены изучению течений и волн во вращающейся атмосферной оболочкеЗемли. Е.Н. Блиновой было выполнено одно из первых исследований длинных волн в атмосфере. В отличие от Россби, изучавшего этиволны на плоскости, Е.Н. Блинова [14] в 1943 г. построила теориюдлинных волн давления и температуры, движущихся над сфериче-– 96 –ской Землей.Исследуем волновые движения в тонком вращающемся с угловойскоростью ω сферическом слое несжимаемой однородной жидкостипеременной глубины, ограниченном снизу твердым непроницаемымдном r = r0 + hB (θ, λ), сверху — свободной поверхностью r = r0 +Zst + η(θ, λ, t), где r0 — радиус Земли, η — отклонение свободнойповерхности от ее положения в состоянии покоя.Предполагая, как и прежде, что давление распределено по "гидростатическому" закону, основные уравнения движения теории мелкойводы (2.4)–(2.6) в сферической системе координат, связанной с вращающейся Землей, имеют вид´∂vθg ∂η1 ∂ ³ 2vθ + vλ2 ,(3.16)− vλ (ζ + 2ω cos θ) = −−∂tr0 ∂θ 2r0 ∂θ´∂vλ∂ ³ 2g ∂η1vθ + vλ2 , (3.17)+vθ (ζ + 2ω cos θ) = −−∂tr0 sin θ ∂λ 2r0 sin θ ∂λ"#∂η1∂∂+((η + Zst − hB ) sin θvθ )+((η+Zst − hB ) vλ ) = 0,∂t r0 sin θ ∂θ∂λ(3.18)гдеÃ!1∂ sin θvλ ∂vθζ = (rot v)r =−r0 sin θ∂θ∂λпредставляет собой проекцию вектора rot v на ось r; vλ = vλ (θ, λ, t),vθ = vθ (θ, λ, t), η = η(θ, λ, t).

Здесь использован факт, что океан содержится в ничтожном по сравнению с радиусом Земли слое, в связи с этим в коэффициентах всех рассматриваемых уравнений можно∂∂всюду заменить r на r0 , а производнуюна производную, где∂r∂zz = r −r0 и z — расстояние точки по вертикали от поверхности сферырадиуса r0 .Граничным условием к уравнениям (3.16) – (3.18) служит условиенепротекания через вертикальные поверхности — границы бассейна.В частности, рассматривая движение жидкости в северном полушарии, в качестве граничных условий на экваторе должны быть приня-– 97 –ты условия непротеканияπ.(3.19)2Кроме того, ставится условие ограниченности волны на полюсе и пеvθ = 0,θ=риодичности ее по λ. Указанные условия имеют соответственно вид:|v(0, λ, t)| < ∞,v(θ, λ, t) = v(θ, λ + 2π, t).Выведем уравнение для скорости изменения параллельной оси rкомпоненты вихря. Для этого умножим обе части уравнения (3.17)на sin θ, продифференцируем полученное выражение по θ и вычтемиз него продифференцированное по λ уравнение (3.16).

Принимая вовнимание уравнение неразрывности (3.18), получим∂ζ vθ ∂ (ζ + 2ω cos θ)vλ ∂ (ζ + 2ω cos θ)++=∂t r0∂θr0 sin θ∂λ"#(ζ + 2ω cos θ) ∂h vθ ∂hvλ ∂h=++,h∂t r0 ∂θ r0 sin θ ∂λгде h = η + Zst − hB — полная глубина жидкости.(3.20)В уравнении неразрывности системы (2.4) – (2.6), записанном ввидеÃ!∂vr∂ sin θ vθ ∂vλ1= 0,++∂zr0 sin θ∂θ∂λкаждый из членов, содержащих горизонтальные скорости, будет напорядок выше третьего члена, содержащего вертикальную скорость.Поэтому можно считать, что для всех уровней океана справедливоприближенное соотношение:∂ sin θ vθ ∂vλ+= 0.(3.21)∂θ∂λ∂vrОтсюда, конечно, не следует, что≡ 0. Величина vr определится∂zиз уравнения для вихря скорости, в котором все члены имеют один итот же порядок малости.

Характеристики

Список файлов диссертации