Диссертация (1145260), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Самолеты с реактивными двигателями (скоростные) летают заметно выше гор — навысотах от 5 до 12 км — причем, как правило, вдоль рекомендованныхтрасс. Поршневые самолеты (легкомоторные) летают на высотах до 5км зачастую ниже горных вершин (над долинами, вдоль ущелий), при– 108 –этом используются правила визуального полета, а высота над поверхностью Земли обычно меньше 500 м [161]. Опасность работы авиациив этих районах существенно зависит от состояния атмосферы. Нередко пилоты попадают в особую ситуацию, под которой понимают совокупность условий, приводящих к снижению уровня безопасностиполета вследствие воздействия среды.

Разные по степени опасностиситуации могут возникать при самых различных метеорологическихпроцессах.В данном исследовании учитываются возмущения, возникающиепри обтекании гор движущейся атмосферой.Данные об авиапроисшествиях в нашей стране собраны и проанализированы в [27]. Отмечается, что причиной гибели некоторых самолетов над горами было возмущение, порожденное взаимодействиемдвижущейся атмосферы с неровностями рельефа, когда скорость потока была высока, а направление было перпендикулярным к хребтам.Использование различных методов изучения этой проблемы имеетдавнюю историю [194]. Из более современных исследований отметимработы [27, 170, 239].

В этих работах атмосфера моделируется какнесжимаемая среда. В данной главе учитывается сжимаемость атмосферы.Ряд исследователей в поисках решения данной проблемы применяют упрощение теории мелкой воды. В [242] исследуется вопрос о том,при каких профилях скорости, высоте горы и условиях на верхнейгранице возмущения являются не малыми. Во многих работах производится построение многослойных моделей, как одного из способовпростыми средствами учесть при моделировании обтекания гор те отдельные факторы, которые не удается учесть во всей совокупности.Наибольшее число таких работ выполнено в рамках линеаризованного приближения. Систематическое изложение этих исследований данов [37].

Но там нет анализа физики тех эффектов, которые возможны– 109 –при использовании многослойных моделей. Например, в [189] подчеркивается, что многослойный подход выявляет возможность усилениявозмущений в отдельных (в том числе вышележащих) слоях атмосферы за счет отражения энергии от поверхностей раздела, то есть,выявляет возможность появления вторичных источников волновойэнергии в вышележащих слоях.Следует отметить, что применение многослойного моделированияупрощает задачу внутри слоя и усложняет проблему сопряжения решений на поверхностях раздела. В связи с этим, исследование этихвопросов в рамках линеаризованного приближения с учетом сжимаемости атмосферы следует продолжать.Рассмотрим установившееся адиабатическое движение бароклинной сжимаемой жидкости со свободной границей над неровностьюземной поверхности в поле силы тяжести.Обратимся к общей системе уравнений гидромеханики (1.1), (1.2),(1.4) и выпишем ее для стационарной плоской задачи.

Исследуемдвижение жидкости в плоскости Oxy. Направим ось x горизонтально вправо, а ось y — вертикально вверх. Пусть vx = vx (x, y), vy == vy (x, y) — компоненты скорости, ρ = ρ(x, y) — плотность, p == p(x, y) — давление.В рассматриваемом случае имеем уравнения движения∂vx∂vx1 ∂p+ vy=−,∂x∂yρ ∂x∂vy∂vy1 ∂pvx+ vy=−− g,∂x∂yρ ∂yvx(4.1)(4.2)где g — величина ускорения силы тяжести, уравнение неразрывности∂ρvx ∂ρvy+=0∂x∂y(4.3)и уравнение притока энергии — условие адиабатичности движенияvx∂ p∂ p+v= 0.y∂x ρκ∂y ρκ(4.4)– 110 –Таким образом, для определения четырех функций vx , vy , p, ρ имеемчетыре уравнения.Выведем краевые условия.

Рассмотрим обтекание земной поверхностиустановившимсявоздушнымпотоком,которыйприx → −∞, т. е. далеко перед горой, был горизонтальным. Скоростьэтого невозмущенного потока U (y) предполагается известной. Распределение плотности по высоте ρ̃ в невозмущенном движении приx → −∞ есть известная функция высоты y. Наконец, распределениедавления p̃ в невозмущенном движении также известно и связано с ρ̃барометрической формулой∂ p̃= −ρ̃(y)g.(4.5)∂yИсследуем движение в некоторой полосе, ширина H которой вневозмущенном положении известна.

Над этой полосой жидкость покоится. Пусть уравнение неровности Земли имеет видy = ζ(x).В качестве одного из краевых условий потребуем равенство нулю составляющей скорости на поверхности y = ζ(x):∂ζvx= vy ,y = ζ(x, t).∂xДалее, на верхней границе потока должно выполняться равенстводавлений при переходе из области движения в область покоя. Пустьуравнение поверхности струи имеет видy = H + η(x).(4.6)Область покоя характеризуется давлением p̃(y). Следовательно,¯¯p = ¯¯¯¯y=H+η= p̃¯¯y=H.Здесь η(x) — искомая функция. Поверхность (4.6) является поверхностью тока приvx∂η= vy ,∂xy = H + η(x, t).– 111 –В силу уравнения неразрывности (4.3):ρvx =∂ψ,∂yρvy = −∂ψ.∂xФункция ψ = ψ(x, y) на линии тока, определяемой уравнением vy dx =vx dy, постоянна и называется функцией тока.Рассмотрим уравнение (4.4).

Используя функцию тока ψ = ψ(x, y),это уравнение примет вид∂ψ ∂ p∂ψ ∂ p−=0∂y ∂x ρκ∂x ∂y ρκилиÃ!pD κ,ψρ= 0,D (x, y)где в записи использован функциональный определитель¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(4.7)¯∂f1 ∂f1 ¯¯¯D (f1 , f2 )¯∂x∂y= ∂f ∂f ¯¯ .22 ¯D (x, y)¯∂x ∂y ¯Из уравнения (4.7) следует, чтоpзависит от ψ:ρκpf=C(ψ) .κρОткудаpρ = fC (ψ)(4.8)1κ ,(4.9)следовательно,ZP =Z111κ−1κdpfκfκ=C(ψ) p− κ dp = C(ψ)p κ ,ρ(p, ψ)κ−1(4.10)fгде C(ψ)— константа на линии тока. Уравнения (4.1) – (4.2) имеютинтеграл Бернулли12|∇ψ|+ gy + P = C(ψ),2ρ2Ã!∂ ∂∇=,,∂x ∂y(4.11)– 112 –где величина C(ψ) сохраняет постоянное значение на линии тока, номожет изменяться при переходе от одной линии к другой. С учетомвыражений (4.9) и (4.10), интеграл Бернулли (4.11) имеет вид1κ−11 f2 − 2κ2fκκκC p |∇ψ| + gy + C (ψ)p κ = C(ψ).2κ−1(4.12)Запишем уравнения (4.1)–(4.2) в форме Громеки–Ламба [62]:∂  v2 1 ∂p− vy Ω = −,∂x 2ρ ∂x∂  v2 1 ∂p+ vx Ω = −− g.∂y 2ρ ∂y(4.13)(4.14)∂vy ∂vx−— вихрь скорости.

Дифференцируя∂x ∂yуравнение (4.13) по y, уравнение (4.14) — по x и складывая почленно,Здесь v 2 = vx 2 +vy 2 , Ω =используя функцию тока ψ и соотношение (4.9), получим уравнениеp∆ψ = fC(ψ)f0−2κ C 0 (ψ)2C (ψ)  ∂ψ∂ψ+f∂x∂yκ C(ψ)Ã!1 ∂ψ ∂p ∂ψ ∂p++−κp ∂x ∂y ∂y ∂y2f0+C (ψ)  pf(1 − κ) C(ψ) 1+κκ,(4.15)где∂2∂2+.∂x2 ∂y 2Выражение для вихря скорости через функцию тока принимает вид∆=1C(ψ)  κ∆ψ−Ω=p1 1  C(ψ)  κ ∇ψf+fκpf0C(ψ)· ∇ ln p − f|∇ψ|2  .C(ψ)Итак, исходная задача сведена к задаче отыскания функцийψ = ψ(x, y) и p = p(x, y) из системы уравнений в частных производных (4.12), (4.15) и граничных условий∂ψ dζ∂ψ=−,∂x∂y dx∂ψ dη∂ψ=−,∂x∂y dxp=¯¯¯¯y=H+η=y = ζ(x),(4.16)y = H + η(x),(4.17)¯¯p̃¯¯y=H,(4.18)– 113 –p̃(y) =Zy−g ψ̃(y) =1ρ̃(y)  κdy + p0∞ ,fC(ψ)01Zy p̃(y) κ ṽx∞ (y)dy,fC(ψ)0при x → −∞,(4.19)при x → −∞.(4.20)fКонстанты C(ψ)и C(ψ) найдем из граничных условий (4.19) и (4.20).Если скорость невозмущенного потока U не зависит от высоты иесли распределение плотности по высоте ρ̃ в невозмущенном движении имеет видρ̃(y) = ρ0 eαy ,α < 0,тоU ρ0 αye ,αgρ0 αyp̃(y) = p0 −e .αВ этом случае из (4.8) и (4.12) находимU κ−1 (p0 U − gψ)f,C(ψ) =(αψ)κU2 gαψκ p0 U − gψC(ψ) =+ ln+.2α U ρ0 κ − 1αψψ̃(y) =fПодставляя C(ψ)и C(ψ) в уравнения (4.12) и (4.15), получим∆ψ =κp0+α−(1 − κ)U pp0 −Ãg(1− κ)ψ   (1U κ+1κgψ U!2α− κ)U pp0 −2κgψ U+|∇ψ|2Ãκψ p0 −!gψ +∇ψ · ∇p,κp(4.21)UÃκ−1gψ κgψκU p κ p0 −p0 −UU+ gy +!2Ã(κ − 1) αψαψ2UU2 gαψκ (p0 U − gψ)=+ ln+.2α U ρ0αψ2p− κ |∇ψ|2−!1κ=(4.22)– 114 –Будем искать решение в виде возмущения ψ 0 и p0 , накладываемого на³´невозмущенный поток ψ̃, p̃ :ψ(x, y) = ψ̃(y) + ψ 0 (x, y),p(x, y) = p̃(y) + p0 (x, y).(4.23)При отсутствии препятствия ψ 0 (x, y) = 0 и p0 (x, y) = 0.

Будем считать, что неровность y = ζ(x) и образующиеся при этом возмущениястоль малы, что можно пренебречь квадратами возмущений. Тогдауравнение (4.21) запишется в виде∂ψ 0∂p0∆ψ =f1 (y) +f2 (y) + p0 f3 (y) + ψ 0 f4 (y).∂y∂y0(4.24)U 2 ρ̃Здесь и далее воспользуемся соотношением¿ 1. Действиκ p̃p̃тельно, по закону Клапейрона = RTf, где R — газовая постоянная,ρ̃ff2T — температура; κRT = ã , где ã — скорость звука; поэтомуÃU 2 ρ̃U=κ p̃ã!2.В атмосфере Tf меняется в пределах от 225 K (стратосфера) до270 K –: 290 K (Земля), при κ = 1, 4, R = 2, 87·106 см2 /сек2 · гpад величина ã имеет порядок ã ≈ 3·104 см /сек, величина U имеет порядокà !2U310 см /сек. Отсюда= 10−3 [62].ãС учетом последнего соотношения получим выражения для коэффициентов в уравнении (4.24):f1 (y) = 2α +f3 (y) =αg+,U U ã2U,2ãÃ!αggf4 (y) = 2 1 + 2 − α2Uαãg,ã2f2 (y) =и упрощение уравнения (4.22):U∂ψ 0κ+ g1 (y)ψ 0 + p0 += 0,∂yκ−1гдеg1 (y) = −hi1αã2 + gk .U (κ − 1)(4.25)– 115 –∂p0Дифференцируя уравнение (4.25) по y, находим выражениечерез∂yψ0∂ 2ψ0∂p0∂ψ 0= −U 2 − g1− g10 ψ 0 .(4.26)∂y∂y∂yПодставляя выражение (4.26) в уравнение (4.24) и исключая из полученного уравнения давление p0 с помощью уравнения (4.25), получимуравнение относительно ψ 0 :∂ψ 0+ m3 (y)ψ 0 + m2 (y),∆ψ = m1 (y)∂y0(4.27)гдеm1 (y) = f1 − f2 g1 − U f3 ,m3 (y) = f4 − f2 g10 − g1 f3 ,m2 (y) = −f3κ,κ−1или"#"κgm1 (y) =α+ 2 ,ãκ−1#κgm2 (y) = −α+ 2 ,ãU (κ − 1)³´0α ã22καg2κ − 1 g 2α2 ã2m3 (y) =+++.(κ − 1) U 2κ − 1 U 2 ã2 U 2 (κ − 1) U (κ − 1)ã2Краевое условие (4.16) после пренебрежения произведениемс точностью до малых второго порядка запишется в виде∂ψ 0∂ ψ̃ dζ=−,∂x∂y dxy = 0.dζ ∂ψ 0dx ∂y(4.28)При малых η¯¯p¯¯y=H+η=¯¯p̃¯¯y=H+η¯0 ¯¯+p ¯y=H+η=¯¯p̃¯¯¯dp̃ ¯¯¯0 ¯¯+ ¯ ·η + p ¯.y=H dy y=Hy=HИспользуя соотношение (4.5), условие (4.17) запишется в виде∂ψ 0∂ ψ̃ dη=−,∂x∂y dxy = H,(4.29)а условие (4.18) примет вид¯0 ¯¯p¯y=H=¯¯g ρ̃¯¯× η.y=H(4.30)– 116 –Исключая η из уравнений (4.29) и (4.30), получим∂ψ 0U ∂p0=−,∂xg ∂xy = H.(4.31)∂p0Разрешая уравнение (4.25) относительнои подставляя найденное∂xвыражение в (4.31), получим∂ψ 0U2=−∂xg∂ 2ψ0,αã2 ∂x∂y2κ − 1 +gκ−1y = H.(4.32)Итак, требуется найти функцию ψ 0 (x, y) из уравнения (4.27) и краевых условий (4.28), (4.32), представимых в виде:dζ∂ψ 0= −U ρ0 ,y = 0,∂xdx∂ 2ψ0∂ψ 0κ−1U2=−,y = H.αã2 ∂x∂y∂xg2κ − 1 +gПодстановка0ψ (x, y) =1RΨ(x, y)e 2 m1 (y)dy(4.33)(4.34)(4.35)приводит уравнение (4.27) к уравнению∆Ψ + q1 (y)Ψ = q2 (y),(4.36)в котором1 ∂m1 m21q1 (y) =−− m3 ,2 ∂y4q2 (y) = m2 e1R− 2 m1 (y) dyили, подставив выражения для m1 , m2 , m3 ,−1#"κ22καggκ  dã2 g 2−−−q1 (y) =α+2(κ − 1) dyã2U 2 (κ − 1)4(κ − 1)22κ − 1 g 2α2 ã2αdã2−−−,(4.37)κ − 1 U 2 ã2 U 2 (κ − 1) U (κ − 1)ã2 dy 1 "2−κκ−1κ ρ0 2 ãαq2 =U (1 − κ)g+ 2ã#e−αy2 ,(4.38)– 117 –гдеdã2dTfã = κRT ,= κR.dydyВ изотермической атмосфере (Tf = const) коэффициент q1 уравне2fния (4.36) будет постоянным: q1 = const.

Наибольший интерес представляет случай линейной зависимости Tf от высоты, мало отличающейся от своего среднего значения T1 . В этом случае в условиях атмосферы можно после дифференцирования Tf по y полагать Tf = T1 .Учитывая это допущение, выражения (4.37) и (4.38) для q1 и q2 примут вид"#κ22καggg 2q1 (y) =−α+−−2(κ − 1)Rγ 4(κ − 1)2κRT1U 2 (κ − 1)g2α2 κRT12κ − 1αγ−= const,−+κ − 1 U 2 κRT1 U 2 (κ − 1) U (κ − 1)T1 1 "2−κκ−1κ κ ρ 2 RT α10q2 (y) =g+κRT1U (1 − κ)следовательно,q2 = const · e−#e−αy2 ,αy2 .Результатом подстановки (4.35) в (4.33) и (4.34) являются краевыеусловия∂Ψ∂ 2Ψ= γ1,∂x∂x∂ydζ∂Ψ= γ2 ,∂xdxy = H,y = 0,гдеU 2 (κ − 1),γ1 =ακRT1 + g(2κ − 1)γ2 =U ρ0 (κ − 1)Ã!gρ0 .ln p0 −αИнтегрируя равенства (4.39) по x, получим∂Ψ+ CH ,y = H,Ψ = γ1∂yΨ = γ2 ζ + C0 ,y = 0,(4.39)– 118 –где CH и C0 — константы.

Характеристики

Список файлов диссертации