Диссертация (1145260), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

В случае глубины жидкости, изменениекоторой от стенки к стенке удовлетворяет уравнению Абеля второго рода, получено точное решение краевой задачи. В частности, этоимеет место при изменении глубины канала по экспоненциальномузакону.Произведен анализ длинноволновых движений жидкости во вращающемся цилиндрическом кольцевом бассейне.

Рассмотрены случаи как постоянной, так и переменной глубины жидкости. Указанатопография дна бассейна, при которой имеет место точное решение.Полученные дисперсионные соотношения и аналитические решенияпозволяют выявить общие закономерности изучаемого процесса.Результаты данной главы основаны на публикациях [100, 101, 148,158, 167, 233, 236].Глава 3Нелинейные задачи теории вращающейсяжидкости§ 3.1.Квазигеострофические движенияв теории мелкой водыНастоящая глава посвящена решению некоторых нелинейных задач теории вращающейся жидкости. В частности, исследуются течения и волны конечной амплитуды во вращающемся сферическом слоеи квазигеострофические движения во вращающемся океане.Данный параграф посвящен изучению квазигеострофических движений во вращающемся океане.

Основной причиной существованияквазигеострофических движений является вращение Земли. Исследуется вопрос о существовании таких движений с временными масштабами бо́льшими f −1 , где f — параметр Кориолиса. Соответствующиематематические модели позволяют получить аналитические решения.Может возникнуть вопрос — нужны ли в настоящее время такие идеализированные модели? Действительно, сейчас с бурным развитиемкомпьютерной техники можно численно интегрировать полные системы нестационарных уравнений гидродинамики на длительные срокис хорошим пространственным разрешением для Мирового океана среальными очертаниями берегов, донной топографией и реальнымивнешними силами. Однако при этом трудно осознать физику процессов в океане и даже самые хорошие современные численные методывносят искажения в реальные физические процессы.

Итак, выяснимосновные закономерности и свойства низкочастотных волновых дви-– 85 –жений, учитывая особенности динамики квазигеострофического потенциального вихря.Рассмотрим тонкий вращающийся слой идеальной несжимаемойоднородной тяжелой жидкости, ограниченной сверху свободной поверхностью, снизу — твердым непроницаемым дном. Будем использовать прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Высотаповерхности жидкости относительно отсчетного уровня z = 0 равнаZ(x, y, t). Имея в виду приложения к земному океану, будем пониматьпод объемной силой вектор g, перпендикулярный поверхности z = 0и направленный в сторону, противоположную вертикальной оси.

Осьвращения жидкости совпадает с осью z, т. е. ω = ω k, поэтому f = 2ω,где f — параметр Кориолиса и ω — угловая скорость вращения Земли. Неподвижное дно задается поверхностью z = hB (x, y). Скоростьимеет компоненты vx , vy и vz вдоль осей x, y и z, соответственно.Давление на свободной поверхности жидкости может быть заданопроизвольно, но для наших целей его удобно принять постоянным.Будем решать задачу в рамках нелинейных уравнений длинноволнового приближения (2.4), (2.5), (2.11).Пусть L — линейный масштаб, U — масштаб скорости, T — масштаб времени, N — масштаб ординаты свободной поверхности. Введем безразмерные переменные x0 , y 0 , t0 , vx0 , vy0 , η 0 :x = Lx0 ,vx = U vx0 ,y = Ly 0 ,vy = U vy0 ,t = T t0 ,η = N η0.При этом основные уравнения теории мелкой воды (2.4), (2.5), (2.11)примут вид (штрихи опущены)Ã!∂vx∂vx∂vxgN ∂ηεT+ ε vx+ vy− vy = −,∂t∂x∂yLf U ∂xÃ!∂vy∂vy∂vygN ∂ηεT+ ε vx+ vy+ vx = −,∂t∂x∂yLf U ∂y(3.1)– 86 –"Ã∂∂∂+ ε vx+ vyεT∂t∂x∂y!#εΩ + 1= 0.hBNη−+1DDЗдесь обозначено:εT =1U, ε=, f = 2ω, H = H0 (x, y) + η = D + η − hB ,TfLfH0 — глубина покоящейся жидкости, D — постоянная величина.

ДаgN= 1. Тогдалее примем, чтоLf UfULN== ε · F · D,gf 2 L2F =.gD(3.2)Предполагаем, чтоhB= εηB ,(3.3)Dгде ηB имеет порядок единицы. В случае малых чисел Россби ε:1= 1 − ε (F η − ηB ) .ε (F η − ηB ) + 1Следовательно,εΩ + 1= εΩ + 1 − ε (F η − ηB ) .NhBη−+1DDЧисла Россби εT и ε являются мерой отношения локального и адвективного ускорений к ускорению Кориолиса.

Отношение локального ускорения к адвективному определяется параметромεTL=.εUTКогда этот параметр велик, уравнения близки к линейным, т. е. локальная производная по времени преобладает над нелинейными адвективными членами. Предположим, что скорость U достаточно велика, так что нелинейные члены так же важны, как и локальное ускорение. Иными словами, будем считать, чтоεT= 1,ε– 87 –.т.

е. рассмотрим такие случаи, когда время адвекции L U имеет тотже порядок, что и временной масштаб локальных изменений.Учитывая условия (3.2) и (3.3), при εT = ε уравнение системы (3.1)для η примет видÃ!∂∂∂+ vx+ vy(Ω − F η + ηB ) = 0.∂t∂x∂y(3.4)Из системы уравнений (3.1) для vx , vy в первом приближении(ε = 0) имеем∂η∂η, vy =, Ω = ∆η.(3.5)∂y∂xТакое приближение называют квазигеострофическим [59]. Уравнеvx = −ние (3.4) для η принимает видÃ!∂∂η ∂∂η ∂+−(∆η − F η + ηB ) = 0 ,∂t ∂x ∂y ∂y ∂x(3.6)где первые два члена в выражении∆η − F η + ηBполностью определяются относительным движением.

Первый членпредставляет собой относительный вихрь, второй описывает вклад впотенциальный вихрь от изменений высоты свободной поверхности.Последний член представляет собой потенциальный вихрь, обусловленный рельефом дна и не зависящий от движения.Итак, задача определения квазигеострофического движения сводится к одному уравнению для возвышения поверхности η, или, чтото же самое, для давления. После нахождения решения η из уравнения (3.6) скорости vx , vy определяются из геострофических соотношений (3.5).На границе области должно выполняться условие (2.8):∂η∂ηcos(n, y) −cos(n, x) = 0 .∂x∂y– 88 –Для бесконечно протяженной по горизонтали жидкости при∇ηB = const, что эквивалентно предположению о примерном постоянстве наклона дна на расстоянии порядка длины волны, имеем точное решение нелинейного уравнения (3.6), полученное Россби:η = Aei(kx + ly − σt) ,∂ηB∂ηB−l∂y∂xσ= 2.2k +l +FkОтметим, что квазигеострофическая теория дает только низкочастотную волну Россби.

Более высокочастотные волны, такие какволны Пуанкаре, оказываются отфильтрованными в силу априорного предположения о квазигеострофическом характере движения.§ 3.2.Воздействие длинных нелинейных волн на сооружения с вертикальной граньюРассмотрим задачу об отражении волн с конечной амплитудой отвертикальной стенки.

Практическая важность этой задачи определяется тем обстоятельством, что ряд гидротехнических сооруженийимеет вертикальные грани большой протяженности.Пусть вертикальная стенка расположена вдоль оси y. Условие непротекания имеет видvx = −∂η= 0,∂yx = 0.(3.7)Рассмотрим решение, соответствующее линейной суперпозиции падающей и отраженной волн:η = ηi + ηr ,ηi = Ai ei (ki x + li y − σi t) ,ηr = Ar ei (kr x + lr y − σi t) .Условие (3.7) на стенке x = 0 принимает видlAe i ii (ki x + li y − σi t) + l A ei (kr x + lr y −r r¯¯σr t) ¯¯¯¯= 0.x=0– 89 –Отсюда следуют равенстваσi = σr = σ,li = lr = l,Ar = −Ai .Таким образом, искомое решение примет видη = Ai ei (ki x + ly − σt) − Ai ei (kr x + ly − σt) ,причем ki , kr являются корнями уравненияk2 +l ∂ηB1 ∂ηBk + l2 + F −= 0.σ ∂yσ ∂x(3.8)Из уравнения (3.8)Ã1 ∂ηB  1 ∂ηBki = −−2σ ∂y2σ ∂yÃ1 ∂ηB  1 ∂ηBkr = −+2σ ∂y2σ ∂y!2³− F +l!2³2− F +l1/2´l ∂ηB +σ ∂x´l ∂ηB +σ ∂x2,1/2,откудаkr − ki =Ã21 ∂ηB2σ ∂y!2³− F +lkr + ki = −2´1/2l ∂ηB +σ ∂x,1 ∂ηB.σ ∂yЛинейная суперпозиция частных решений в виде набегающей иотраженной волн может не быть решением нелинейного уравнения(3.6) для η.

Поэтому подставим функцию η = ηi + ηr в уравнение(3.6). Условием обращения в нуль левой части уравнения (3.6) дляη будет равенство нулю произведения (kr − ki )2 (kr + ki ). При kr 6= kiполучаем kr + ki = 0, что возможно для случая ηB = ηB (x) = γx.Получаем поле скоростей для падающей волныvxi = −(il)Aei (ki x + ly − σt) ,vyi = (iki )Aei (ki x + ly − σt) ,и для отраженной волныvxr = (il)Aei (kr x + ly − σt) ,vyr = −(ikr )Ai (kr x + ly − σt) .– 90 –Таким образом, в результате отражения амплитуда y-компонентыскорости сохраняется, амплитуда x-компоненты — меняет знак. Скорость, с которой фаза распространяется вдоль оси x, равнаσCxi =— в падающей волне,kiσCxr =— в отраженной волне.krФазовая скорость в падающей волнеCi =в отраженной волнеCr =σ(ki2 + l2 )1/2,σ,(kr2 + l2 )1/2т.

е. фазовая скорость в отраженной волне сохраняется, а скорость, скоторой фаза распространяется вдоль оси x, — меняет знак.В действительной форме основные характеристики движения имеют вид:η (x, y, t) = 2A sin(ly − σt) sin kx,vx (x, y, t) = −2Al cos(ly − σt) sin kx,vy (x, y, t) = 2Ak sin(ly − σt) cos kx,p (x, y, z, t) = p0 + ρg (Z − z) = p0 + ρg (Zst + η − z) == p0 + ρg (D + η − z) = p0 + ρg (D + 2A sin (ly − σt) sin kx − z) ,ηi = A cos (−kx + ly − σt) ,vxi = Al sin(−kx + ly − σt),vyi = Ak sin(−kx + ly − σt),ηr = −A cos (kx + ly − σt) ,vxr = −Al sin(−kx + ly − σt),vyr = kA sin(−kx + ly − σt).На стенке x = 0:η = 0,vx = 0,vy = 2kA sin(ly − σt),p = p0 .– 91 –Стенка совпадает с узлом.Таким образом, при εT = ε для описания движения жидкости имеем нелинейное уравнение (3.6).

Характеристики

Список файлов диссертации