Диссертация (1145260), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Следовательно,ρgµ (1 − Φ0 (z))Bx (x, z) = − qbz0 2 + 2ρgµ (z − Φ(z))x + d(z),где d(z) = Bx (0, z), иZzBy (z) = −ρωµubz0−1bz02dz.+ 2ρgµ (z − Φ(z))Из уравнения (7.17):p(x, z) = −Bz ∂ 2 Bz 2x + C1 (z)x + C2 (z),2µ ∂z 2поэтому из уравнения (7.19):01BBz 000  2z−gρ + Bz 00 +Bz x + C1 0 (z)x + C2 0 (z) + Bz Bz 0 = 0.2µ2µµПоследнее соотношение совместно с выражением (7.22), и динамическим условием определяют оставшиеся произвольные функции.§ 7.3.Волны малой амплитуды во вращающейся электропроводной жидкостиРассмотрим систему уравнений идеальной электропроводной жидкости [69]:div v = 0,∂v∇p1+ (v · ∇) v = −− 2 ω × v − gz +rot B × B,∂tρµρ∂B= rot (v × B) ,∂tdiv B = 0.(7.26)(7.27)(7.28)(7.29)Исследуем, как распространяются малые возмущения в однородной проводящей среде под действием однородного постоянного магнитного поля b0 . С этой целью полное магнитное поле B представимсуперпозициейB = b0 + b(7.30)– 181 –невозмущенного поля b0 и индуцированного поля b, которое обусловлено волновым движением.

Соответствующие давление p и скоростьv представим в аналогичном видеp = p0 (z) + p0 (x, y, z, t),(7.31)v = v0 + v0 (x, y, z, t).(7.32)Рассмотрим случай, когда малые возмущения скорости v0 , давленияp0 и магнитного поля b накладываются на некоторый стационарныйоднородной "фон описываемый величинами v0 , p0 (z) и b0 . Положимдалее величину v для невозмущенного состояния, равной нулю:v0 = 0.Подставив (7.30)–(7.32) в уравнения (7.26)–(7.29) и сохранив только члены первого порядка малости по p0 , v0 , b, получим систему уравненийdiv v = 0,∂v∇p1=−− 2ω × v −b0 × rot b,∂tρµρ∂b= rot (v × b0 ) ,∂tdiv b = 0.(7.33)(7.34)(7.35)(7.36)Здесь и далее символ штрих у величин v и p опущен.

Заметим, чтов уравнении (7.34) отсутствует член gz, поскольку в невозмущенномсостоянии ∇p0 + ρ0 gz = 0.Применяя к уравнению (7.34) оператор rot, получим∂ΩΩ1= (αα · ∇) v +(b0 · ∇) rot b,∂tµρ(7.37)где Ω = rot v, α = (0, 0, 2ω) .Исключив из уравнений (7.35) и (7.37) вектор b, получим∂v1∂ 2Ω=(αα·∇)+(b0 · ∇) rot (rot (v × b0 )) .∂t2∂tµρ(7.38)– 182 –Используя векторное тождествоa × (b × c) = b (a · c) − c (a · b) ,(7.39)последовательно имеемrot (v × b0 ) = ∇ × (v × b0 ) = v (∇ · b0 ) − b0 (∇ · v) = b0 (∇ · v) ,rot (rot (v × b0 )) = ∇ × ((b0 · ∇) v) = (b0 · ∇) (∇ × v) = (b0 · ∇) Ω.С учетом последнего тождества уравнение (7.38) имеет вид∂ 2Ω1∂v+(b0 · ∇)2 Ω.=(αα·∇)2∂t∂tµρ(7.40)Запишем уравнение (7.40) для z-компонент векторов Ω и v:Ã!∂ 2 ∂vy ∂vx−=∂t2 ∂x∂yÃ!Ã!∂ ∂vx ∂vy1∂vx2 ∂vy= −2ω++(b0 · ∇)−.∂t ∂x∂yµρ∂x∂y(7.41)Далее рассмотрим одномерное движение при vy = vz = 0, полагая, кроме того, что внешнее магнитное поле направлено вдоль осиOz: b0 = (0, 0, b0z ).

При указанных предположениях система дифференциальных уравнений (7.33)–(7.36), описывающая рассматриваемый случай, будет выглядеть следующим образом. Уравнение неразрывности (7.33) запишется в виде∂vx= 0.∂x(7.42)Уравнение (7.41), описывающее изменение x-компоненты скорости vxвдоль направления оси Oy, с учетом уравнения неразрывности (7.42)представимо волновым уравнениемÃ!Ã!21∂vx∂ 2 ∂vx2 ∂=b.0z∂t2 ∂yµρ∂z 2 ∂y(7.43)Общее решение уравнения (7.43) имеет видb0zb0z∂vx= u1 z − √ t, y  + u2 z + √ t, y  ,∂yµρµρ(7.44)– 183 –где u1 , u2 — произвольные функции.Проекция уравнения индукции магнитного поля (7.35) на направление оси Ox:∂bx∂vx= b0z(7.45)∂t∂zпозволяет сделать вывод, что bx = bx (y, z, t). Поэтому условие соленоидальности магнитного поля (7.36) запишется в форме∂by ∂bz+= 0.∂y∂z(7.46)Аналогично, из вида проекций уравнения индукции (7.35) на направления осей Oy, Oz и уравнения движения (7.34) на ось Oz следует, что соответственно by = by (x, y, z), bz = bz (x, y, z) и p == p(x, y, t).

Кроме того, из (7.34) получаем проекцию уравнения движения на направление оси Ox:Ã∂vx1 ∂p b0z ∂bx ∂bz=−+−∂tρ ∂x µρ ∂z∂x!(7.47)и проекцию уравнения движения на направление оси Oy:Ã!1 ∂p b0z ∂bz ∂by.αvx = −−−ρ ∂y µρ ∂y∂z(7.48)Подставив (7.44) в систему (7.45)–(7.48), получимb0zb0zvx (y, z, t) = ue 1 z − √ t, y  + ue 2 z + √ t, y  + C1 (z, t),µρµρbb√√0z0zbx (y, z, t) = − µρue 1 z − √ t, y  + µρue 2 z + √ t, y  +µρµρZ0+ b0z C2 (z, t),где C2 (z, t) = C1z(z, t) dt,µ√0 µρ0bz (x, y, z) = −C1tx−p(x, y, t) + b0z µρC2z(z, t)x + C3 (y, z, t),bb0z0z"#µρ√0000− b0z µρC2z (z, t) xy + C5 (y, z, t),by (x, y, z) = C1tz (z, t)b0zZC5 (y, z, t) = −0C3z(y, z, t) dy + C4 (x, z, t),где произвольные функции C1 (z, t), C3 (y, z, t), C5 (y, z, t) необходимо– 184 –находить из условий независимости компонент by и bz от времени t:"µρ000C1ttz(z, t)b0z00−C1t(z, t)− b0z√#000µρC1zzz(z, t)0xy + C5t(y, z, t) = 0,µρµ√000x−p0t (x, y, t) + b0z µρC1zz(z, t)x + C3t(y, z, t) = 0b0zb0zи результата подстановки в уравнение (7.48) найденных величин p, vx , byи bz :b0zb0zb0zαue 1 z − √ t, y  +αue 2 z + √ t, y  +αC1 (z, t) +C3 (y, z, t) −µρµρµρ"#b0z 000µρ√0000−C1zzt (z, t)− b0z µρC2z (z, t) xy − C5z(y, z, t) = 0.µρb0zЕсли внешнее магнитное поле направлено вдоль оси Oy, то b0 == (0, b0y , 0).

Уравнение (7.41) принимает форму следующего волнового уравнения:ОтносительноÃ!Ã!2∂ 2 ∂vx1∂vx2 ∂=b.0y∂t2 ∂yµρ∂y 2 ∂y(7.49)∂vxуравнение (7.49) имеет общее решение∂y∂vxb0yb0y= u1 y − √ t, z  + u2 y + √ t, z  ,∂yµρµρ(7.50)где u1 , u2 — произвольные функции.Уравнение неразрывности (7.34) приводит к соотношению (7.42).Проекция уравнения индукции магнитного поля (7.35) на направление оси Ox:∂vx∂bx= b0y(7.51)∂t∂yпозволяет сделать прежний вывод, что bx = bx (y, z, t). Тогда условиесоленоидальности магнитного поля имеет вид (7.46), выражения дляпроекций уравнения индукции на направление осей Oy и Oz приводятк известным соотношениям by = by (x, y, z), bz = bz (x, y, z).Запишем проекции уравнения движения соответственно на направ-– 185 –ление осей Ox, Oy и Oz:Ã!∂vx1 ∂p b0y ∂by ∂bx=−−−,∂tρ ∂x µρ ∂x∂y1 ∂pαvx = −,ρ ∂yÃ!1 ∂p b0y ∂bz ∂by+−.0=−ρ ∂z µρ ∂y∂z(7.52)(7.53)(7.54)Из (7.50) после интегрирования по y:b0yb0yvx (y, z, t) = ũ1 y − √ t, z  + ũ2 y + √ t, z  + C0 (z, t), (7.55)µρµρгде ũ1 , ũ2 , C0 — произвольные функции.Подстановка vx из (7.55) в (7.51)–(7.53) приводит к системеb0yb0y√√bx (y, z, t) = − µρũ1 y − √ t, z + µρũ2 y + √ t, z +C1 (y, z),µρµρbb0y0yp(x, y, z, t) = −αρũ1 y − √ t, z  − αρũ2 y + √ t, z  +µρµρ+ C0 (z, t)y + C2 (x, z, t),µρ 0µ0by (x, y, z) = − C0t(z, t)x −C2 (x, z, t) + C1y(y, z)x + C3 (y, z, t),b0yb0yZbz (x, y, z) = −x00C1y(y, z) dzZ−0C3y(y, z, t) dz + C4 (x, y, t)с произвольными функциями C0 (z, t), C1 (y, z), C2 (x, z, t), C3 (x, z, t),C4 (x, y, t), удовлетворяющими условиям независимости компонент by ,bz от времени t:−µρ 00µ 0000C0t (z, t)x −C2t (x, z, t) + C1yt(y, z, t) + C3t(y, z, t) = 0,b0yb0yZ−000C3yt(y, z, t) dz + C4t(x, y, t) = 0,результату подстановки в уравнение (7.54) величин p, by , bz :b0yb0y00αũ01z y − √ t, z  + αũ02z y + √ t, z  + C0z(z, t)y + C2z(x, z, t) +µρµρ¸ZZb0y ½·00000−x C1y (y, z) dz − C3y (y, z, t) dz + C4y (x, y, t) ++µρ¾µ 0µρ 00000C (z, t)x +C (x, z, t) + C1yz (y, z)x + C3z (y, z, t) = 0+b0y 0tzb0y 2z– 186 –и соответствующим заданным граничным и начальным условиям.Применяя к уравнению (7.35) операцию rot, получим∂rot b= rot (rot (v × b0 )) ,∂tоткуда, используя правило (7.39),∂(rot b) = (b0 · ∇) Ω.∂tСледовательно, локальное изменение вектора вихря магнитного поляопределяется изменением вектора вихря скорости в пространстве внаправлении координатных осей.Представим уравнения (7.34) и (7.35) покомпонентно:"Ã!Ã!#∂by ∂bx∂bx ∂bz∂vx1 ∂p 1−αvy = −−b0y−− b0z−,∂tρ ∂x µρ∂x∂y∂z∂x"Ã!Ã!#∂vy∂bz ∂by∂by ∂bx1 ∂p 1b0z− b0x,+αvx = −−−−∂tρ ∂y µρ∂y∂z∂x∂y"!!#ÃÃ∂vz1 ∂p1∂bx ∂bz∂bz ∂by=−−b0x−− b0y−,∂tρ ∂z µρ∂z∂x∂y∂z∂vx∂vy∂vz∂vx∂bx= b0y− b0x− b0x+ b0z,∂t∂y∂y∂z∂z∂by∂vy∂vz∂vx∂vy= b0z− b0y− b0y+ b0x,∂t∂z∂z∂x∂x∂bz∂vz∂vx∂vy∂vz= b0x− b0z− b0z+ b0y,∂t∂x∂x∂y∂y(7.56)(7.57)(7.58)(7.59)(7.60)(7.61)eздесь α = 2ω.Будем искать решение системы (7.56)–(7.61) в виде плоской гармонической волныΦ = ϕei((k, r) − ωt) ,´³e vex , vey ,где Φ = Φ(1) , Φ(2) , .

. . , Φ(7) = (p, vx , vy , vz , bx , by , bz ), ϕ = (p,´vez , bex , bey , bez — вектор амплитуд, r = (x, y, z), k = (kx , ky , kz ) — волновой вектор, ω — угловая частота.Операции дифференцирования можно представить следующим образом:∂= −iω,∂tgrad = i k,rot = i k×,div = i k · .– 187 –Подставляя искомое решение в виде плоской волны в линеаризованные основные уравнения (7.33)–(7.36), получим систему алгебраических уравнений:k · ve = 0,hi1α1e,−ω ve = − kpe − × ve − b0 × k × bρiµρ(7.62)e−ω b= k × [ve × b0 ] ,(7.64)ek·b= 0.(7.65)(7.63)Для вывода дисперсионного соотношения исключим из уравнений(7.62)–(7.65) все переменные, кроме vex , vey .Из уравнения (7.64):1eb= − k × [ve × b0 ] .ω(7.66)Из уравнения (7.63) с учетом (7.66):−ω ve +111e = − kpe+[αα × v]b0 × [k × [k × [ve × b0 ]]] .iρωµρ(7.67)Используя векторное тождествоa × b × c = b (a, c) − c (a, b) ,получаемb0 × [k × [k × [ve × b0 ]]] = k (b0 , [k × [ve × b0 ]]) −e− [k × [ve × b0 ]] (b0 , k) = k (b0 , (ve (k, b0 ) − b0 (k, v)))−e (k, b0 ) = (k, b0 ) (b0 , v)e k − (k, b0 )2 ve −− (ve (k, b0 ) − b0 (k, v))e + (k, b0 ) b0 (k, v)e .− b20 k (k, v)Следовательно, из (7.67): (k, b )20 ωµρ− ω  ve +αα × ve1ke b0 ) k = − pe.−(k, b0 ) (v,iωµρρ(7.68)– 188 –Запишем проекцию уравнения (7.68) на ось Oz:(k, b0 )2 ωρ 1e b0 ) = p.ez +e−(k, b0 ) (v,+vωµkzkz ωµ(7.69)Исключение pe из (7.68) и (7.69) приводит к векторному уравнениюотносительно горизонтальных компонент vex и vey : (k, b )20 ωµρ (k, b )2ωα × ve0e− ω v +=−  vez k.iωµρkzkz(7.70)или к скалярной системе (k, b )2α0ex − veyv−ω ωµρi (k, b )2α0exey + v−ωv ωµρi== (k, b )20 ωµρkz (k, b )20 ωµρkzÃ!Ã!ωkxky−  − vex − vey kx ,kzkzkzωkxky−  − vex − vey ky ,kzkzkzследовательно, к линейной однородной системеk2αkx ky A + A x  vex + − + Avey = 0,22kikzzky2αkkxy +Avvex + A + Aey = 0,22ikzkz(7.71)где(k, b0 )2A=− ω.(7.72)ωµρСистема уравнений (7.71) имеет нетривиальное решение толькопри¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯kx ky ¯αkx2A + A 2 − + A 2 ¯¯¯kzikz ¯¯= 0.ky2 ¯¯kx kyα+A 2A + A 2 ¯¯ikzkz(7.73)Раскрывая в (7.73) определитель, последовательно имеемky2 kx2 kx2 ky2kx2 ky2222A 1 + 2 + 2 + 4  − α + A 4  =kz kzkzkz222k+k|k||k|k= A2 1 + x 2 y  − α2 = A2 2 − α2 = A 2 − α A 2 + α .kzkzkzkz– 189 –Равенство (7.73) равносильно системе|k|− α = 0,kz2|k|A 2 + α = 0,kzAили, с учетом выражения для A из (7.72), уравнению (k, b2ω2 0)−  |k| ± αω = 0.µρkzkzОтносительно ω получаем два уравненияαkz(k, b0 )2ω ±ω−=0|k|µρ2и, следовательно, четыре дисперсионных соотношенияαkzω=±±2|k|vu1uu α2 kz2t2 |k|2(k, b0 )2+4.µρ(7.74)С учетом (k, b0 ) = |k||b0 | cos ϕ из (7.74) для фазовой скорости VΦполучаемωαkzVΦ ==±±|k|2|k|2vu2 21uu α kzt2 |k|4|b0 |2 cos2 ϕ+4,µρили, преобразуя,αkzVΦ = ±±2|k|2=vu|b0 | cos ϕ uut1√µρ√αkz µρ|b0 | cos ϕ±±√ 2|k|2 |b0 | cos ϕµρ αλ cos ψ±= ±V  4πV cos ϕvuuut1α2 kz2 µρ+=4|k|4 |b0 |2 cos2 ϕvuuut1Ã++22α kz µρ4|k|4 |b0 |2 cos2 ϕ !2 αλ cos ψ4πV cos ϕ=cos ϕ.Следовательно,½qVΦ = ±V µe ± 1 +¾µe 2cos ϕ,(7.75)αλ cos ψ|b0 |, V = VA = √— гидромагнитная скорость или4πV cos ϕµρскорость Альвена, ϕ — угол между волновым вектором (нормальюгде µe =– 190 –к фронту волны) k и направлением постоянного магнитного поляb0 , ψ — угол между волновым вектором k и осью вращения, λ =2π=— длина волны.|k|Из выражения (7.75) видно, что сила Кориолиса нарушает параллельность вектора фазовой скорости вектору магнитного поля.

Характеристики

Список файлов диссертации