Диссертация (1145260), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это условие выполняется без ограниченияобщности при надлежащем выборе системы отсчета. Тогда уравнения(7.106)–(7.110) примут вид∂vy∂by= bx0,∂t∂x(7.122)– 200 –∂bz∂vz= bx0,∂t∂x1 ∂ b2 −p++ αvy = 0,ρ ∂x2µ∂vybx0 ∂by=,∂tµρ ∂xbx0 ∂bz∂vz= −g +.∂tµρ ∂x(7.123)(7.124)(7.125)(7.126)Дифференцируя уравнение (7.122) по x, уравнение (7.125) по t,затем уравнение (7.122) по t, уравнение (7.125) по x и исключая смешанные производные, получим уравнения для y-компонент скоростии магнитного поля∂ 2 vyb2x0 ∂ 2 vy=,∂t2µρ ∂x2b2x0 ∂ 2 by∂ 2 by=.∂t2µρ ∂x2Выполнив указанную процедуру над уравнениями (7.123) и (7.126),получим уравнения для z-компонент скорости и магнитного поля∂ 2 vzb2x0 ∂ 2 vz=,∂t2µρ ∂x2∂ 2 bzb2x0 ∂ 2 by=.∂t2µρ ∂x2Таким образом, каждая из величин vy , vz и by , bz удовлетворяет, соответственно, волновому уравнениюb2x0 ∂ 2 vτ∂ 2 vτ=,∂t2µρ ∂x2b2x0 ∂ 2 bτ∂ 2 bτ=,∂t2µρ ∂x2(7.127)(7.128)где vτ = vy j + vz k, bτ = by j + bz k. Изменение давления в волне определяется из уравнения (7.124):b2 ∂ p+= αρvy .∂x2µ– 201 –Из вида уравнений (7.127) и (7.128) следует, что изучаемые движения представляют собой волновой процесс.
При этом скорость распространения волн в направлении оси Ox, как и для альфвеновскихbx0волн, равна √ .µρОбщее решение уравнений (7.127) и (7.128) имеет видbx0bx0vτ = v1 x − √ t + v2 x + √ t ,µρµρbbx0x0bτ = b1 x − √ t + b2 x + √ t .µρµρ(7.129)(7.130)Подстановка выражений (7.129) и (7.130) в уравнения (7.122),(7.123), (7.125) и (7.126) приводит к следующей системе уравненийотносительно произвольных функций v1 , v2 , b1 , b2 :bx0bx0bx0− √ b01 + √ b02 = √ (v10 + v20 ) ,µρµρµρ´bx0 0bx0 ³ 0bx0 0+ √ v2y=√b1y + b02y ,− √ v1yµρµρµρbx0 0bx0 0bx0− √ v1z+ √ v2z= −g + √ (b01z + b02z ) .µρµρµρ(7.131)(7.132)(7.133)Из системы (7.131)–(7.133):b01yb02y0= −√ ,v2y = √ ,µρµρ√0g µρb1zb02z0= −√ ,v2z = −+√ ,µρbx0µρ0v1y0v1zилиv1zb1yb2yv1y = − √ ,v2y = √ ,µρ√ µρg µρb1zb2z= −√ ,v2z = −+√ .µρbx0µρ(7.134)В равенствах (7.134) произвольные постоянные интегрированиявходят в функции v1 и v2 . Оставшиеся произвольные функции b1и b2 , входящие в общее решение задачи, могут быть определены изначальных и граничных условий.– 202 –Таким образом, представлено точное решение уравнений магнитной гидродинамики вращающейся жидкости в виде плоской волныпроизвольной амплитуды.Пусть, далее, в начальный момент t = 0 задано распределениескоростей и магнитного поля:v(x, 0) = v0 (x),bτ (x, 0) = bτ 0 (x).Для однозначного определения функций b1 и b2 имеем следующуюсистему:vz0b1yb2yb1y + b2y = by0 ,vy0 = − √ + √ ,µρµρgbx0b1zb2z= −√ − √ + √ ,b1z + b2z = bz0 .µρµρµρРассмотрим далее случай волн, распространяющихся перпендикулярно к магнитному полю.
Предположим, что поле направлено вдольоси Oz: bx = 0, by = 0. В этом случае условие соленоидальностимагнитного поля выполняется тождественно, а оставшиеся уравнениямагнитной гидродинамики имеют вид∂bz∂bz+ vx= 0,∂t ∂x∂vx1 ∂ b2z =−p++ αvy ,∂tρ ∂x2µ∂vy∂vy+ vx= −αvx ,∂t∂x∂vz∂vz+ vx= −g,∂t∂x∂vx= 0.∂x(7.135)(7.136)(7.137)(7.138)dbz= 0, то есть z-компонентаdzмагнитного поля сохраняется неизменной в частице. Постулируем,Из уравнения (7.135) следует, чточто если в начальный момент t = 0 величина bz была постоянной,то и в последующие моменты времени величина bz будет постоянной.– 203 –Уравнения (7.137) и (7.138) представимы в видеdvy= −αvx ,dtdvz= −g,dtоткуда, интегрируя, получимvy = −αx + C1 ,vz = −gt + C2 .Тогда из уравнения (7.136)Ãp(x, t) = ρx−vx0 (t)−α2x2!+ αC1 .Заметим, что для определения зависимости vx от t необходимо использовать начальные или граничные условия.§ 7.6.Волновые движения вращающейся электропроводнойжидкости в сферической системе координатНаиболее реалистичной моделью магнито-гидродинамических процессов в геофизике является, несомненно, модель со сферической геометрией.
Поэтому целесообразно рассматривать соответствующую задачу в сферическом слое.Ряд авторов исследовали модели для быстровращающихся сферических конфигураций [176, 222], во всех этих моделях использовалосьпошаговое численное интегрирование по времени. Построенные численные схемы часто обнаруживают численную неустойчивость, чтоне приводит к сходящимся решениям.В данном параграфе изучается нелинейная модель магнито-гидродинамических процессов в сферическом слое без использования предельного подхода быстрого вращения. В результате в уравнениях движения производится учет инерционных членов.Введем в рассмотрение сферические координаты r, θ, λ, гдеr ≥ 0,0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ λ ≤ 2π,– 204 –и запишем проекции скорости точки M на оси Or, Oθ, Oλ:vr = ṙ,vθ = rθ̇,vλ = r sin θλ̇.Уравнения движения идеальной несжимаемой однородной электропроводной жидкости относительно вращающейся Земли в сферических координатах имеют вид∂vr∂ v2++ vλ Ωθ − vθ Ωλ − 2ω sin θvλ =∂t∂r 2∂W1 ∂p1=−−−[bλ Wθ − bθ Wλ ] ,∂rρ ∂r µρ∂vθ 1 ∂ v 2++ vr Ωλ − vλ Ωr − 2ω cos θvλ =∂tρ ∂θ 21 ∂W1 ∂p1=−−+[br Wλ − bλ Wr ] ,r ∂θρr ∂θ µρ∂vλ1 ∂ v2++ vθ Ωr − vr Ωθ + 2ω (cos θvθ + sin θvr ) =∂tr sin θ ∂λ 21 ∂p1=−+[bθ Wr − br Wθ ] ,(7.139)ρr sin θ ∂λ µρ1 ∂vr1 ∂vr∂vr1 ∂br∂br= bθ+ bλ+ br− vθ−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θ∂br∂br1−vλ− vr,r sin θ ∂λ∂r∂bθ1 ∂vθ1 ∂vθ∂vθ1 ∂bθ= bθ+ bλ+ br− vθ−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θ∂bθ∂bθ1vλ− vr,−r sin θ ∂λ∂r∂bλ1 ∂vλ1 ∂vλ∂vλ1 ∂bλ= bθ+ bλ+ br− vθ−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θ1∂bλ∂bλ−vλ− vr,r sin θ " ∂λ∂r#1 ∂ ³ 2 ´1∂∂vλr vr +(sin θvθ ) += 0,r ∂rsin θ " ∂θ∂λ #1 ∂ ³ 2 ´1∂∂bλr br +(sin θbθ ) += 0,r ∂rsin θ ∂θ∂λгде"#∂∂vθ12222v = vr + vθ + vλ ,(sin θvλ ) −,Ωr =r sin θ ∂θ∂λ"#1∂vr∂1 ∂(rvθ ) ∂vr Ωθ =− (r sin θvλ ) ,Ωλ =−,r sin θ ∂λ∂rr∂r∂θ– 205 –"##"1∂∂bθ1∂br∂(sin θbλ ) −−(r sin θbλ ) ,Wr =, Wθ =r sin θ ∂θ∂λrsinθ∂λ∂r"#1 ∂∂brWλ =(rbθ ) −.r ∂r∂θГраничные условия.Пусть слой жидкости ограничен поверхностями r = R1 , r = R0 ,где R1 > R0 > 0.
Условия непротекания через эти поверхности имеютвидvr = 0приr = R0 ,r = R1 .Граничное условие для магнитного поля b состоит в том, чтоb = b(e)приr = R0 ,r = R1 ,где верхний индекс (e) обозначает значение поля вне сферическогослоя.Магнитное поле b, кроме того, удовлетворяет условию ограниченности при r → ∞. Здесь учтено, что приωr = ω cos θ,ωθ = −ω sin θ,ωλ = 0сила Кориолиса Fc определяется равенствомFc = −2 [ωω, vr ] = 2ω [sin θvλ ir + cos θvλ iθ − (cos θvθ + sin θvr ) iλ ] .Относительное равновесие.
При этом имеем11− ∇p − ∇W +[rot b, b] = 0,ρµρ∂b= 0,∂tdiv b = 0. (7.140)Условие соленоидальности поля скорости выполняется тождественно.Применив к первому уравнению системы (7.140) операцию rot, получимrot [rot b, b] = 0,следовательно, поле [rot b, b] является потенциальным, т.
е. существует скалярная функция ϕ(r, θ, λ), такая, что[rot b, b] = −∇ϕ.(7.141)– 206 –С учетом представления (7.141) первое из уравнений (7.140) представимо в виде∇p1+ ∇W + ∇ϕ = 0ρµρи имеет интегралp1+ W + ϕ = C.ρµρСтационарное движение. Рассмотрим движение, не зависящее отвремени, следующего видаvr = vθ = 0,vλ = vλ (r, θ),br = bθ = 0,bλ = bλ (r, θ),при этом p = p(r, θ). Из (7.139) относительно функций vλ (r, θ), p(r, θ),bλ (r, θ) получаем систему∂ vλ2∂W1 ∂p+ vλ Ωθ − 2ω sin θvλ = −−−∂t 2∂rρ ∂r1∂−bλ (r sin θbλ ) ,µρr sin θ ∂r21 ∂ vλ1 ∂W1 ∂p− vλ Ωr − 2ω cos θvλ = −−−r ∂θ 2r ∂θρr ∂θ1∂−bλ (sin θbλ ) .µρr sin θ ∂θ(7.142)(7.143)Функция vλ = −2ωr sin θ удовлетворяет уравнениям (7.142) и (7.143),если выполняются соотношения∂W∂1 ∂p1++bλ (r sin θbλ ) = 0,∂rρ ∂r µρr sin θ ∂r1 ∂p1∂∂W++bλ (sin θbλ ) = 0.∂θρ ∂θ µρ sin θ ∂θ(7.144)(7.145)В этом случае исключим из уравнений (7.144) и (7.145) функцииW (r, θ) и p(r, θ). Продифференцировав уравнение (7.144) по θ, а уравнение (7.145) — по r, и, вычитая полученные результаты один из другого, получим уравнение для λ-компоненты магнитного поля bλ (r, θ)"#"#1 ∂∂bλ1 ∂∂bλ(r sin θbλ ) +(r sin θbλ ) −−∂r r sin θ ∂θ∂θrsinθ∂r2211∂∂− bλ (sin θbλ ) + bλ (r sin θbλ ) −sin θ ∂r∂θr sin θ ∂r∂θ– 207 –−bλ cos θ ∂(r sin θbλ ) = 0r sin2 θ ∂rили, после некоторых преобразований, уравнение"#"#1 ∂∂bλ1 ∂∂bλ−(r sin θbλ ) +(r sin θbλ ) −∂rrsinθ∂θ∂θrsinθ∂r"Ã!#"#1 ∂∂bλ1 ∂∂bλ− bλsin θ+ bλbλ sin θ + r sin θ−sin θ ∂θ∂r "r sin θ ∂θ∂r#∂bλbλ cos θbλ sin θ + r sin θ= 0.(7.146)−∂rr sin2 θУравнение (7.146) можно записать в видеbλD(bλ , r sin θ) D(bλ , bλ r sin θ)+= 0,D(r, θ)D(r, θ)или, преобразуя второе слагаемое, в видеbλD(bλ , r sin θ)D(bλ , r sin θ)D(bλ , bλ )+ bλ+ r sin θ= 0,D(r, θ)D(r, θ)D(r, θ)откуда следует тождествоD(bλ , r sin θ)= 0.D(r, θ)Следовательно, между функциями bλ и r sin θ существует функциональная связь:bλ = Φ (r sin θ) ,(7.147)где Φ — некоторая функция.Из (7.147) с учетом выражения для vλ :!Ãvλ.bλ = Φ−2ωПрименяя к исходным уравнениям (7.144) и (7.145) оператор rot, получим, как и в случае относительного равновесия,[rot b, b] = −∇ϕ(r, θ),1∇p+ ∇W + ∇ϕ = 0,ρµρпоследнее уравнение имеет интеграл1p+ W + ϕ = C,ρµρ– 208 –из которогоϕ− ρW + C.µЗдесь функция ϕ(r, θ) является решением системы уравненийp=−bλ ∂∂ϕ(bλ r sin θ) =,r sin θ ∂r∂r§ 7.7.bλ ∂∂ϕ(bλ sin θ) =.sin θ ∂θ∂θУстановившиеся волныРассмотрим установившееся движение электропроводной несжимаемой вращающейся жидкости.
Как известно, рассмотрение установившихся волн можно свести переходом от движущейся со скоростьюволн системы координат к задаче о стационарных потоках.Будем искать решение задачи, предполагая что vr = 0, vθ = 0,vλ = vλ (r, θ), br = br (r, θ), bθ = bθ (r, θ), bλ = bλ (r, θ), p = p(r, θ). Тогда стационарные магнито-гидродинамические уравнения можно записать в виде∂ vλ2∂1∂W1 ∂p−vλ (r sin θvλ ) − 2ω sin θvλ = −−−∂r 2r sin θ ∂r∂rρ∂r∂1∂(rb)∂b1θr,bλ (r sin θbλ ) −bθ −(7.148)−µρr sin θ ∂rµρr∂r∂θ1 ∂ vλ21∂1 ∂W1 ∂p−vλ (sin θvλ ) − 2ω cos θvλ = −−−r ∂θ 2r sin θ ∂θr∂θρr∂θ∂11∂(rb)∂bθr−bλ (sin θbλ ) +br −,(7.149)µρr sin θ ∂θµρr∂r∂θ∂∂bθ (sin θbλ ) + br (r sin θbλ ) = 0,(7.150)∂θ∂r1 ∂vλ∂vλbθ+ br= 0,(7.151)r ∂θ∂r1 ∂ ³ 2 ´1 ∂r br +(sin θbθ ) = 0.(7.152)r ∂rsin θ ∂θПрименяя к уравнениям (7.148)–(7.151) известное из векторного анализа преобразование1∇v2 = (v, ∇) v + [v, rot v] ,2– 209 –получимvλ2∂W1 ∂p1∂+ 2ω sin θvλ =++bλ (r sin θbλ ) +r∂rρ ∂r µρr sin θ ∂r1∂(rb)∂bθr,+bθ −(7.153)µρr∂r∂θctg θ 21 ∂W1 ∂p1∂vλ + 2ω sin θvλ =++bλ (sin θbλ ) −rr ∂θ rρ ∂θ µρr sin θ ∂θ∂(rbθ ) ∂br 1br −−,(7.154)µρr∂r∂θ∂∂(7.155)bθ (sin θbλ ) + br (r sin θbλ ) = 0.∂θ∂rС помощью формулы для градиента функции r sin θbλ преобразуемуравнения (7.153) и (7.154).
С учетом равенств∂11 21 ∂bλbλ (r sin θbλ ) =bλ + bλ,µρr sin θ ∂rµρrµρ ∂r∂∂bλ1ctg θ 21bλ (r sin θbλ ) =bλ +bλµρr sin θ ∂θµρrµρr ∂θуравнения (7.153) и (7.154) примут видbθ∂ b2λ ∂W1 b2λ− Wλ =p++ρ+− ρvλ2 −µ∂r2µ∂rr µ− 2ωρ sin θvλ ,(7.156)r∂ b2λ ∂Wb2λbr W λ =p++ρ+ ctg θ− ρvλ2 −µ∂θ2µ∂θµ− 2ωrρ cos θvλ ,где(7.157)1 ∂(rbθ ) ∂br Wλ = −.r∂r∂θИсключая из уравнений (7.156) и (7.157) давление и применяя оператор rot, получим уравнение³´D b2λ , r sin θ12ρ (vλ + ωr sin θ) D (r sin θ, vλ )+=r sin θD(r, θ)µρ sin θD(r, θ)Ã!Ã!1∂bθ∂br1∂Wλ∂Wλ= − Wλ+ br + r−bθ+ rbr.(7.158)µ∂θ∂rµ∂θ∂r– 210 –Уравнение (7.152) позволяет ввести в рассмотрение функцию ψ(r, θ),такую, что1 ∂ψ1 ∂ψ,b=−.θr2 sin θ ∂θr sin θ ∂rКроме того, с учетом соленоидальности магнитного поля,br =∂bθ∂br+ br + r= − ctg θbθ − br .∂θ∂r(7.159)(7.160)Учитывая выражения (7.159) и (7.160), уравнение (7.158) в терминах функции ψ(r, θ) можно записать так:1 D (ψ, Wλ )Wλ D (ψ, r sin θ)+=µ D(r, θ)µr sin θ D(r, θ)³´D (r sin θ, vλ ) 1 D b2λ , r sin θ= 2ρ (vλ + ωr sin θ)+.D(r, θ)µD(r, θ)−(7.161)Уравнения (7.151) и (7.155) в терминах функции тока примут вид∂ψ ∂vλ ∂ψ ∂vλ+= 0,∂r ∂θ∂θ ∂r∂ψ ∂∂ψ ∂−(r sin θbλ ) +(r sin θbλ ) = 0,∂r ∂θ∂θ ∂rили, соответственно, видD (vλ , ψ)= 0,D(r, θ)D (bλ r sin θ, ψ)= 0.D(r, θ)(7.162)Тождественное выполнение равенств (7.162) означает, что междувеличинами vλ , ψ и величинами bλ r sin θ, ψ существует функциональная связь, не содержащая в явном виде r и θ:vλ = F (ψ),bλ r sin θ = H(ψ).(7.163)Учитывая далее зависимости (7.163), уравнение (7.161) приобретает вид1 D (ψ, Wλ )Wλ D (ψ, r sin θ)+=µ D(r, θ)µr sin θ D(r, θ)D (F 0 (ψ)r sin θ, ψ)= 2ρ (F (ψ) + ωr sin θ)+D(r, θ)2H(ψ) D (ψ, H 0 (ψ)r sin θ, ψ)+ 2 2,D(r, θ)µr sin θ−– 211 –откуда1 D (ψ, Wλ )Wλ D (ψ, r sin θ)++µ D(r, θ)µr sin θ D(r, θ)D (ψ, F 0 (ψ)r sin θ)+ 2ρ (F (ψ) + ωr sin θ)−D(r, θ)2H(ψ) D (ψ, H 0 (ψ)r sin θ, ψ)− 2 2= 0.D(r, θ)µr sin θ−(7.164)В уравнении (7.164) λ-компонента вихря магнитного поля Wλ в терминах функции тока ψ(r, θ) имеет представлениеÃ!12 ctg θ ∂ψ 2 ∂ψWλ = −∆ψ −−,r sin θr2 ∂θr ∂rгдеÃ!Ã(7.165)!1 ∂∂∂ψ1∂ψ∆= 2r2+ 2 2sin θ.r ∂r∂r∂θr sin θ ∂θУравнение (7.164) допускает следующие решения:1) ψ = αr sin θ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
