Диссертация (1145260), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

е. H2 (Ω) представляет собой совокупность всех векторов v ∈∈ L2 (Ω), имеющих нулевую третью компоненту.Для дальнейшего исследования оказывается полезной следующаятеорема о представлении векторов подпространства H2 (Ω) [34].Теорема. Для любого вектора C(x, y) ∈ H2 (Ω) найдется пара функций ϕ(x, y), ψ(x, y) ∈ L2 (Ω), такая, что C = (ϕx + ψy , ϕy − ψx , 0), где– 231 –ϕx (x, y), ϕy (x, y), ψx (x, y), ψy (x, y) — частные производные функцийϕ(x, y) и ψ(x, y).Используя эту теорему и полагая³³´´ψ(x, y)(3)η2 + b0x b(2),−b(x,y)=xyα2³³´´ϕ(x, y)(3)η3 + b0y b(2)−b(x,y)=,xyα2получаемb(2)y =−b(2)x =b0y (3)b ,b0x yb0x (3)b ,b0y xeα  vx  Dt ηx  =D +tevy−α Dtηyeα  bx  Dt+ DDt  e .−α Dtby(7.247)Подстановка vx и vy из (7.247) в уравнения (7.236), (7.237) и (7.228),eee bприводит к системе уравнений для функций η,x и by :³´³´³´³´µρDt2 Dt2 + α2 bex = DDt (Dt ηex + αηey ) + D2 Dt Dt bex + αbey ,µρDt2 Dt2 + α2 bey = DDt (Dt ηey − αηex ) + D2 Dt Dt bey − αbex ,³Dt Dt2+e´2  ∂ bxα(e)∂ bey  bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t)+=.∂x∂yH0 µρeeeeeeee be bПереход от функций η,x , by к функциям η,x , by по формуламebex = Dt bex ,eηee = Dt η,ebey = Dt beyприводит последнюю систему к новой системеh³´iee³´h³´iee³´µρDt Dt2 + α2 − D2 Dt bex − αD2 bey = D Dt ηeex + αηeey ,µρDt Dt2 + α2 − D2 Dt bey + αD2 bex = D Dt ηeey − αηeex ,³Dt2+eeb∂x2α ´e(7.248)(7.249)(e)∂ bey  bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) =+.∂x∂yH0 µρ(7.250)Запишем далее уравнения (7.248) и (7.249), опуская знак двойнойтильды, в видеDt Fbx − αD2 by = D (Dt ηx + αηy ) ,(7.251)Dt Fby + αD2 bx = D (Dt ηy − αηx )(7.252)– 232 –с использованием оператора³´F = µρ Dt2 + α2 − D2 .Введем в рассмотрение функцию ξ(x, y, t), определяемую равенством³η(x, y, t) =Dt2 F 22 2´+ (αD ) ξ(x, y, t).(7.253)Подставив функцию η из (7.253) в уравнения (9.47) и (7.252), получимв матричном виде системуDt F −αDαD2Dt F³= D Dt2 F 2 + (αD2 )22´bxbyDt=α−α Dtξx.ξy(7.254)Интегрирование по t соотношения (7.254) приводит к равенствуbxby= DDt F−αDαD22Dt FDtα−α Dtξx.ξy(7.255)Процедура исключения произвольных функций результата интегрирования рассмотрена выше.Перемножив матрицы в правой части соотношения (7.255), получимbxby=D Dt2 F2−α D³2³−αDt F + D2´´ +D 2 22ξxDt2 F − α DξyαDt F(7.256)или, преобразуя,³ bx  = D D2tby+´ Dt2 µρ2 α −D−αµρDt2αµρDtDt2 µρ − ξx .2Dξy(7.257)Подставив выражение (7.257) в уравнение (7.250), получим уравнениедля функции ξ(x, y, t):D³Dt2+α2´2(e)bz0 − bz0D2 D 2 −∆2 ξ =.tµρ(µρ)2 H0(7.258)– 233 –На основании изложенного приходим к следующему выводу.Утверждение.

Любое решение v(x, y, t), b(x, y, t), η(x, y, t) задачи о малых возмущениях в слое идеальной несжимаемой однороднойэлектропроводной вращающейся жидкости, удовлетворяющее необходимым условиям гладкости, представимо в виде³´eb(x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 b,´1 ³eη = − Dt Dt2 + α2 η,gvxvyff³ bx  = DD D 2tftbfy+=Dt−α´ µρDt22 α ffx ηfyDtηfα−D−αµρDt³(7.260)eeeb= Dt b,eηee = Dt η,(7.259)2(7.261)f+ Dbfx+,ff D by(7.262)αµρDtµρDt2 − ξx ,2Dξy´eeη(x,y, t) = Dt2 F 2 + (αD2 )2 ξ(x, y, t),´³∂∂D = b0xF = µρ Dt2 + α2 − D2 ,+ b0y ,∂x∂y(7.263)(7.264)где функция ξ(x, y, t) является решением уравнения (7.258).Обратно, любое решение уравнения (7.258) порождает решения системы (7.225)–(7.230), моделирующей малые возмущения в слое идеальной несжимаемой однородной электропроводной вращающейся жидкости, если построенные по формулам (7.259)–(7.264) функции v, b,η удовлетворяют в рассматриваемой области условиям гладкости.Для удобства дальнейших исследований уравнение (7.258) относительно ξ запишем в видеÃ!42∂  ∂ 6 ∆2 ξ∂2 ∂ ∆2 ξ4 ∂ ∆2 ξ + b0y+ 2α+αb0x−∂x∂y∂t6∂t4∂t2Ã!∂∂ 3b0x+ b0y(e)2bz0 − bz0∂∆ξ∂x∂y  ∂ 4 ∆ξ224 −+2α+α ξ =.

(7.265)µρ∂t6∂t4(µρ)2 H0– 234 –§ 7.10.Волны, вызванные колебаниями плоской стенкиРассмотрим задачу об излучении волн во вращающуюся несжимаемую электропроводную жидкость плоской стенкой, совершающей,начиная с начального момента, гармонические колебания с частотойω. Такая постановка задачи может служить первым шагом к исследованию влияния неоднородности жидкой среды на генерацию и поддержание магнитного поля жидкости.Рассмотрим волновые движения малой амплитуды в полуплоскоnoсти R2+ = x = (x, y) ∈ R2 : y > 0 , ограниченной горизонтальной стенnoкой Γ = x = (x, y) ∈ R2 : y = 0 .Направим ось Oy параллельно b0 и, полагая значение поля на вертикальных границах слоя и функцию глубины слоя не зависящими от∂ 3ξex, вводя обозначение= ζ,получим математическую постановку3∂yданной задачи в виде следующей начально-краевой задачи для уравeнения относительно функции ζ:4e2e∂ 6 ζe2∂ ζ4∂ ζ b0y+ 2α 4 + α 2 −∂t6∂t∂t(e)2eb30y ∂ 2 ∂ 4 ζe∂ζb−bz0z024e,−+ 2α 2 + α ζ  =242µρ ∂y ∂t∂t(µρ) H0∂k eζ(x, y, 0) = 0, k = 0, 5,∂tk ¯¯¯¯ee¯ζ(x, y, t)¯ = ζ(x, y, t)¯¯ = θ(t)e−iωt ,Γy=0(7.266)(7.267)(7.268)где θ(t) — функция Хевисайда.Решение поставленной задачи зависит от одной координаты y иeвремени t: ζe = ζ(y,t).

В дальнейшем знак тильда опускается.Применим к уравнению (7.266) преобразование Лапласа по времени t:+∞Zf (p) =f (t)e−pt dt,Re p ≥ 0,F (t) = f (n) (t),0F (p) = pn f (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f 0 (0) − · · · − f (n−1) (0),– 235 –гдеZ1 a+i∞f (t) =f (p)e−pt dp2πi a−i∞есть формула Римана–Меллини. С учетом начальных условий (7.267)получимb0y³´b0y 3 ³ 4p + 2α2 p2 + α4 ζ̄yy = A,p ζ̄ + 2α p ζ̄ + α p ζ̄ −µρ62 44 2гдеA(p, y) =откуда´+∞Z b0(e)− bz0(y, t)e−pt dt,2(µρ) H0z0b0y 3 2b0y p (p + α ) ζ̄ −(p + α2 )2 ζ̄yy = A,µρ222 2следовательноζ̄yy −µρAµρ 2pζ̄=−,b0y 2b0y 3 (p2 + α2 )2(7.269)где ζ̄(y, p) — преобразование Лапласа функции ζ(y, t).

В силу граничного условия (7.268) ограниченным на бесконечности решениемуравнения (7.269) является функция√√µρZµρ1pyb0yζ̄(y, p) = +Aedy −p + iω 2b0y 2 p(p2 + α2 )2Z−√Aeµρb0y¯¯py  ¯¯dy  ¯¯¯√µρ −py e b0y.(7.270)y=0(e)При условии bz0 = bz0 функция ζ̄(y, p) принимает вид1−ζ̄(y, p) =ep + iω√µρb0y py .Применяя к функции ζ(y, p) обратное преобразование Лапласа, получим в явном виде решение задачи (7.266)–(7.268):¶µ √√µρ−iω t− b yµρ0yζ(y, t) = θ t −.y eb0y(7.271)Из выражения (7.271) следует, что гармонические колебания плоской стенки излучают в электропроводную жидкость горизонтально– 236 –распространяющуюсянестационарную плоскую волну с волновым чис√ω µρ.лом κ =b0yРассмотрим поведение решения ζ(y, p) при больших значениях времени t, т.

е. при t → ∞. Так какlim eiωt ζ(y, t) =t→∞√µρiω b ye 0y ,то в рассматриваемой задаче существует режим установившихся колебаний с предельной амплитудой, описывающей установившуюся плоскую волну.Аналогично рассмотрим задачу об излучении волн во вращающуюся несжимаемую электропроводную жидкость плоской стенкой x = 0,совершающей, начиная с начального момента, гармонические колебания частоты ω. Направляя ось Ox параллельно b0 и полагая значениеполя на вертикальных границах слоя и функцию глубины слоя не за∂ 3ζeвисящими от y, вводя обозначение= ζ,опуская далее знак e и3∂xвыполняя преобразование Лапласа по переменной t, получим решениезадачи в виде выражения (7.270):√√µρZµρ1 Ae b0x px dx −ζ̄(x, p) = +2p + iω 2b0x p(p2 + α2 )2Z−√µρAe b0x ¯¯px  ¯¯dx ¯¯¯√µρpx−b0x e.x=0(e)Как и в предыдущем случае, используя условие bz0 = bz0 , а затем осуществив обратное преобразование Лапласа, получим явное решение ввидеÃ√µρ!µ √¶µρ−iω t− b x0xx e.b0xОчевидно, и в данном случае существует режим установившихся коζ(x, p) = θ t −лебаний при t → ∞.– 237 –§ 7.11.Волны в прямолинейном слое переменной глубиныНаправляя ось Oy параллельно b0 , уравнению (7.265) можно придать вид(e)b20y ∂ 2∂  ∂2bz0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) e ∂ 2 ξeb0y−Aζ =, ζ = 2 , (7.272)∂y ∂t2 µρ ∂y 2(µρ)2 H0 (x, y)∂y2∂2где дифференциальный оператор A =+ α2  .

В дальнейшем2∂tсимвол тильды опускается. Полагая в (7.272)ZAζ = S,(e)(bz0 − bz0 )(x, y, t)dy = BH ,b0y (µρ)2 H0 (x, y)относительно функции S(x, y, t) получаем волновое уравнениеb20yStt =Syy + BH (x, y, t),µρ(7.273)которое с учетом начальных условий∂kS(x, y, 0) = 0,∂tkk = 0, 1,имеет следующее решение√S(x, y, t) =bZtµρdτ2b0y 0y+ √0yµρ (t−τ )Ze τ ) dy.eBH (x, y,(7.274)by− √0yµρ (t−τ )В результате для функции ζ имеем уравнение2∂2+ α2  ζ = S.2∂t(7.275)Общее решение соответствующего ему однородного уравненияζc.h = (C1 (x, y) + C2 (x, y)t) cos αt + (C3 (x, y) + C4 (x, y)t) sin αtсодержит произвольные функции Ck (x, y), k = 1, 4.

Частное решениенеоднородного уравнения (7.275) содержит произвольные функции– 238 –fCk (x, t) и находится методом Лагранжа вариации произвольных по-стоянных в виде³´ffζp.nh = C1 (x, y, t) + C2 (x, y, t)t cos αt +³´ff+ C3 (x, y, t) + C4 (x, y, t)t sin αt,f f f fгде функции C1 , C2 , C3 , C4 находятся из системы линейных неодно-родных дифференциальных уравненийf0f0f0f0C1t cos αt + C2t t cos αt + C3t sin αt + C4t t sin αt = 0,f0f0f0−αC1t sin αt + C2 (cos αt − αt sin αt) + α cos αtC3t +f0+C4t t(sin αt + αt cos αt) = 0,22f0f0f0−α2 cos αtC1t − (2α sin αt + α t cos αt)C2t − α sin αtC3t +(7.276)f0+ (2α cos αt − α2 t sin αt)C4t = 0,³´323f0f0f0α3 sin αtC1t + −3α cos αt + α t sin αt C2t − α cos αtC3t −³´f0− 3α2 sin αt + α3 t cos αt C4t = S.Из системы (7.276) находим, чтоf0Ckt =гдеW =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αt∆k,Wt cos αtk = 1, 4,sin αtt sin αt−α sin αt cos αt − αt sin αt α cos αt sin αt + αt cos αtδ31δ32δ33δ34δ41δ42δ43δ44есть определитель Вронского, составленный из функцийy1 = cos αt,y2 = cos αt,δ31 = −α2 cos αt,δ33 = −α2 sin αt,δ41 = α3 sin αt,δ43 = −α3 cos αt,y3 = sin αt,y4 = t sin αt,δ32 = −2α sin αt − α2 t cos αt,δ34 = 2α cos αt − α2 t sin αt,δ42 = −3α2 cos αt + α3 t sin αt,δ34 = −3α2 sin αt − α3 t cos αt,¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯– 239 –а ∆k — суть¯¯¯0¯¯¯¯0¯= ¯¯¯0¯¯¯¯S¯∆1 =t cos αtsin αtcos αt − αt sin αtα cos αt¯¯¯t sin αt¯¯¯sin αt + αt cos αt ¯¯¯¯=2α cos αt − α2 t sin αt ¯¯¯¯23−3α sin αt − α t cos αt¯¯−2α sin αt − α2 cos αt −α2 sin αt−3α2 cos αt + α3 t sin αt −α3 cos αt= 2α (sin αt − αt cos αt) S;∆2 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αt0sin αtt sin αt−α sin αt0α cos αtsin αt + αt cos αt22−α cos αt 0 −α sin αtα3 sin αt22α cos αt − α t sin αtS −α3 cos αt −3α2 sin αt − α3 t cos αt¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯== 2α2 S cos αt;¯¯¯ cos αt¯¯¯¯ −α sin αt¯=¯¯¯−α2 cos αt¯¯¯¯ α3 sin αt¯∆3 =t cos αt0cos αt − αt sin αt0−2α sin αt − α2 cos αt0−3α2 cos αt + α3 t sin αt S¯¯¯t sin αt¯¯¯sin αt + αt cos αt ¯¯¯¯=2α cos αt − α2 t sin αt ¯¯¯¯23−3α sin αt − α t cos αt¯¯= −2α (cos αt + αt sin αt) S;∆4 =¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯cos αtt cos αtsin αt0−α sin αtcos αt − αt sin αtα cos αt0−α2 cos αt−2α sin αt − α2 cos αtα3 sin αt−α2 sin αt 0−3α2 cos αt + α3 t sin αt −α3 cos αt S= 2α2 S sin αt.По формуле Остроградского–Лиувилля будем иметь, чтоW (y1 , y2 , y3 , y4 ) =¯¯¯W (y1 , y2 , y3 , y4 )¯¯¯Zt−et=t0t0a1 (t) dt,¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=– 240 –где a1 (t) — коэффициент при производной 3-го порядка в уравнении(7.275).

Характеристики

Список файлов диссертации