Диссертация (1145260), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Итак, резюмируемратор, ∆2 — оператор Лапласа ∆2 =∂x2 ∂y 2полученные выше результаты в виде следующей теоремы.– 269 –Теорема. Любое решение v(x, y, z, t), b(x, y, z, t), η(x, y, z, t) пространственной задачи о малых возмущениях волновых движений вэкспоненциально-стратифицированной электропроводной вращающейся жидкости, удовлетворяющее необходимым условиям гладкости,представимо в виде³´³³´³η(x, y, z, t) = −ρ0 Dt2 + α2b(x, y, z, t) = µρ0 Dt2 + α2´eDt2 + ω02 η(x,y, z, t),´eDt2 + ω02 b(x,y, z, t),(8.43)(8.44)0³³´´³´eρ∇ρη0ee D+ 0 b  D b−e−(αα × ∇η)+α ×b+v = Dt2 +ω02 Dt0ztρ0ρ0 00³´ρρ00+ α2 − ω02 Dt  ηe + ηez + D + b0z  bez  z,(8.45)ρ0ρ0eihα  Dt ξx  bx 22,(8.46) e  = D µρ0 (Dt + ω0 ) − f −α Dtξyby·¸0³´2ρ022222bez = D Dt µρ0 (Dt + α ) − f + α f  ξ + ξz  ,(8.47)ρ0¸h·i³´22222 2eη = Dt µρ0 (Dt + α ) − f + α f µρ0 (Dt2 + ω02 ) − f ξ, (8.48)∂ρ002Dt = ,D = b0 · ∇,f = D + b0z ,(8.49)∂tρгде функция ξ является решением уравнения (8.42).

Динамическаядобавка плотности ρ1 (x, y, z, t) определяется уравнением (8.13).Обратно, любое решение уравнения (8.42) порождает решение системы (8.6)–(8.10), моделирующей малые возмущения пространственных волновых движений в экспоненциально-стратифицированной электропроводной вращающейся несжимаемой жидкости, если построенные по формулам (8.43)–(8.49) функции v, b, η удовлетворяют в рассматриваемой области условиям гладкости.– 270 –§ 8.2.Квазигеострофическое движение стратифицированной электропроводной жидкости в сферическом слоеВ работе С.И. Брагинского [21] была выдвинута гипотеза о существовании в земном ядре устойчиво стратифицированной области,примыкающей к границе с мантией.

Неоднородности плотности создают силу Архимеда, которая вызывает конвекцию в ядре.Высказанное С.И. Брагинским предположение, что большие изменения магнитного поля ограничены тонким слоем у поверхности ядра,в частности, в результате очень сильных возмущений в слое, обуславливает необходимость дальнейших аналитических исследований длявыяснения возможности существования таких возмущений в результате имеющихся неоднородностей вблизи границы ядра с мантией.Итак, исследуем волновые движения у границы в тонком сферическом слое устойчиво стратифицированной жидкости.Система уравнений для описания движения идеальной невязкойэлектропроводной несжимаемой вращающейся с угловой скоростьюω жидкости в магнитной гидродинамике в переменных Эйлера имеетвид [6]:dρ∂v∇p+ ρ div v = 0,+ (v · ∇) v = −− 2ω × v −dt∂tρ1∂b− gz +rot b × b,= rot (v × b) ,div b = 0,µρ∂t(8.50)где b — вектор магнитной индукции, v — скорость жидкости в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ωω; p — давление,ρ — плотность, g — величина ускорения силы тяжести.

Как и преждепредполагается, что магнитная проницаемость и электропроводностьпостоянны.Если считать плотность переменной, тогда кроме уравнения движения, уравнения неразрывности и уравнения Максвелла необходимо– 271 –привлекать уравнение баланса внутренней энергии [41, 65, 70, 84, 124]:Ã !dEd 1ρ= −pρ+ k∆T + χ + ρQ + λ(rot b)2 .dtdt ρ(8.51)В силу того, что рассматриваемая жидкость идеально проводящая,последнее слагаемое в правой части уравнения (8.139) будет отсутствовать (λ = 0).В уравнении (8.139) E — внутренняя энергия единицы массы, T —температура, k — коэффициент теплопроводности, Q — скорость притока тепла от внешних источников на единицу массы, χ — притоктепла, обусловленный вязкой диссипацией. В дальнейшем будем считать, что χ = 0.Рассмотрим далее термодинамическую функцию состояния s —удельную энтропию, которая связана с другими функциями состояния соотношением, вытекающим из уравнения Гиббса [41, 124]:Ã !ds dEd 1.T=+pdtdtdt ρ(8.52)С учетом уравнения (8.52) уравнение (8.139) примет видTds k= ∆T + Q.dtρ(8.53)Для замыкания системы уравнений необходимы дополнительные термодинамические соотношения, отражающие физическую природу жидкости.

Они имеют, например, вид зависимостей термического уравнения состоянияρ = ρ(p, T )(8.54)и калорического уравнения состоянияs = s(p, T ).(8.55)Тогда с учетом соотношения (8.55) уравнение (8.53) можно представить в формеT¯¯ ∂s ¯¯¯∂p ¯¯T¯¯¯¯¯¯¯kdp ∂s dT  = ∆T + Q.+dt ∂T dtρp(8.56)– 272 –Рассмотрим далее уравнение (8.52) в видеÃ!pdpT ds = d E +− ,(8.57)ρρpгде термодинамическая величина E + = h — удельная энтальпия.ρИз уравнения (8.57) с использованием определения удельной теплоемкости при постоянном давлении следуетT¯¯∂s ¯¯¯∂T ¯¯¯¯∂h ¯¯¯∂T ¯¯=p= cP .(8.58)pТермодинамическое соотношение (8.52) дает¯¯¯¯¯Ã !¯¯¯¯¯¯∂s ¯∂E ¯¯∂ 1¯ + pT ¯¯¯ =∂p ¯∂p ¯¯∂p ρTT.TС учетом соотношения (8.57) также следуетd(h − T s) = −sdT +dp.ρТаким образом, заключаем, что выражение−sdT +dpρявляется полным дифференциалом, поэтомуÃ∂s∂p¯!¯¯¯¯¯¯T∂=−∂T¯Ã !¯1 ¯¯¯ρ ¯¯.pОтсюда получаем термодинамическое соотношениеï!¯∂s ¯¯¯∂p ¯¯=T1ρ2ï!¯∂ρ ¯¯¯∂T ¯¯,(8.59)pа с учетом соотношений (8.58) и (8.59) уравнению (8.56) можно придать видcPгде α = −1ρï!¯∂ρ ¯¯¯∂T ¯¯αT dp kdT−= ∆T + Q,dtρ dtρ(8.60)— коэффициент термического расширения.p– 273 –Если эффекты сжимаемости незначительны, то применимо уравнение состояния в виде [8]ρ = ρ0 (1 − α(T − T0 )) ,(8.61)где ρ0 и T0 — средняя плотность жидкости и средняя температура.Для несжимаемой жидкости вторым слагаемым в левой части уравнения (8.60) можно пренебречь [84], поэтому уравнение переноса запишется следующим образом:dTkQ=∆T + .dtρcPcP(8.62)Тогда температуру в уравнении (8.62) можно выразить через плотностьdραρ0= κ∆ρ −Q,dtcP(8.63)k— коэффициент теплопроводности.ρcPУравнение (8.63) приближенно выражает закон сохранения энерdρгии для несжимаемой жидкости.

Из него следует, чтообращаетсяdtв нуль только в отсутствии теплопроводности и внутренних притоковгде κ =тепла, т. е. для адиабатического движения.8.2.1.Основные уравнения в сферических координатахВоспользуемся сферическими координатами r, θ, λ, гдеr ≥ 0,0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ λ ≤ 2π.Тогда проекции скорости точки M в сферической системе координатопределяются соотношениями [62]:vr = ṙ,vθ = rθ̇,vλ = r sin θλ̇,а уравнение неразрывностиdρ+ ρ div v = 0dt– 274 –в сферических координатах принимает вид [62]:dρ∂vr 2vr1 ∂ (vθ sin θ)1 ∂vλ + ρ+++= 0,dt∂rrr sin θ∂θr sin θ ∂λ(8.64)гдеd∂vθ ∂vλ ∂∂=+ vr ++.dt ∂t∂rr ∂θ r sin θ ∂λУравнения сохранения импульса представляются в форме [62]:dvλ vr vλ vθ vλ ctg θ+++ 2ω sin θvr + 2ω cos θvθ =dtrr1 ∂p1=−+(bθ Wr − br Wθ ) ,ρr sin θ ∂λ µρdvθ vr vθ vλ 2 ctg θ+−− 2ω cos θvλ =dtrr1 ∂p1=−+(br Wλ − bλ Wr ) ,ρr ∂θ µρdvr vθ 2 + vλ 2−− 2ω sin θvλ =dtr11 ∂p−g−(bλ Wθ − bθ Wλ ) ,=−ρ ∂rµρ(8.65)(8.66)(8.67)где"#"#1∂∂bθ1∂br∂Wr =(bλ sin θ) −, Wθ =−(rbλ sin θ) ,r sin θ ∂θ∂λ"r sin #θ ∂λ ∂r1 ∂∂brWλ =(rbθ ) −.r ∂r∂θУравнения движения необходимо дополнить термодинамическим уравнением (8.63):αρ0dρ= κ∆ρ −QdtcPс уравнением состояния (8.61):ρ = ρ0 (1 − α(T − T0 )) ,(8.68)(8.69)а также уравнениями индукции и соленоидальности магнитного поля (8.50):∂brbθ ∂vrbλ ∂vr∂vr vθ ∂br=++ br−−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θvλ ∂br∂br br dρ−− vr−,r sin θ ∂λ∂rρ dt(8.70)– 275 –∂bθbθ ∂vθbλ ∂vθ∂vθ vθ ∂bθ=++ br−−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θvλ ∂bθ∂bθ bθ dρ−− vr−,r sin θ ∂λ∂rρ dtbθ ∂vλbλ ∂vλ∂vλ vθ ∂bλ∂bλ=++ br−−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θvλ ∂bλ∂bλ bλ dρ−− vr−,r sin θ ∂λ∂rρ dt"#1 ∂ ³ 2 ´1∂∂bλr br +(sin θ bθ ) += 0.r ∂rsin θ ∂θ∂λ(8.71)(8.72)(8.73)Рассмотрим движение с горизонтальным масштабом L, вертикальным масштабом D, характерными масштабами U горизонтальной скорости и B — горизонтального магнитного поля.

Далее рассмотримдвижение в области, расположенной в окрестности широты θ0 . Дляудобства введем новые широтную и долготную координаты x, y следующим образом:x = λr0 sin θ0 ,y = (θ − θ0 )r0 ,(8.74)где r0 — радиус жидкого слоя. Переменные x и y имеют размерностьдлины и являются новыми координатами в зональном и меридианальLDном направлениях. При малыхиони будут декартовыми коr0r0ординатами при построении приближения β-плоскости.

Кроме того,уравнения движения в этих координатах записываются без всякихприближений.Из соотношений (8.74) получаем, что∂∂= r0 sin θ0 ,∂λ∂x∂∂= r0 .∂θ∂yВведем далее новую координату z по формуле z = r − r0 , поэтому∂∂=.∂r∂zС помощью характерных масштабов введем в рассмотрение безразмерные переменные (величины со штрихом):x = Lx0 ,y = Ly 0 ,z = Dz 0 ,t=L 0t,U(8.75)– 276 –L[84]. ДляUкомпонент горизонтальной скорости и горизонтального поля имеемгде в качестве масштаба времени выбрано время адвекцииvλ = U vx0 ,vθ = U vy0 ,bλ = Bb0x ,bθ = Bb0y .(8.76)Из геометрических соображений следует, что характерный наклонDтраектории жидкой частицы не превышает величины , поэтому дляLбезразмерной вертикальной компоненты скорости логичным являетсявыражениеD 0Uv ,L zа для вертикальной компоненты поля — выражениеvr =br =D 0Bb .L z(8.77)(8.78)Выберем масштабы для давления и плотности.

Если скорости малы,что соответствует малому числу Россби [84], то давление мало отличается от своего значения ps (z) в состоянии покоя. Тогда справедливосоотношение∂ps (z)= −ρs (z)g,(8.79)∂zк которому сводятся уравнения движения (8.64)–(8.67) и (8.70)–(8.73)fC0 fпри vθ = vλ = vr = 0, b = (0, 0, br0 ), br0 = 2 , C0 = const. Будемrсчитать, что ps (z) и ρs (z) определяют основное состояние, на фонекоторого возникают возмущения, обусловленные движением. Основное состояние предполагается известным. Так, например, ps (z) и ρs (z)могут быть определены как давление p и плотность ρ, осредненныепо горизонтальным координатам при фиксированном z. Поэтому давление p и плотность ρ можно представить соотношениями:ep = ps (z) + p(x,y, z, t),eρ = ρs (z) + ρ(x,y, z, t),где pe и ρe — изменяющиеся в пространстве и во времени отклонения отстандартных значений ps (z) и ρs (z).

Определим масштабы для велиe Если учесть, что для рассматриваемых движений порядкичин pe и ρ.– 277 –величин горизонтального градиента давления и силы Кориолиса примерно одинаковы, характерное значение силы Кориолиса на широтеθ = θ0 , представляемое выражением2ωρvx cos θ0 = O (2ω cos θ0 U ρs ) ,и характерную величину градиента давления, равнуюследующее представление:pe, получимLpe = O (ρs U f0 L) ,где запись A = O(B) означает, что величины A и B одного порядка,f0 = 2ω cos θ0 — параметр Кориолиса на широте θ0 . Следовательно,давление представимо в видеp = ps (z) + ρs (z)U f0 Lp0 ,(8.80)причем предполагается, что функция p0 и ее изменение на расстояниипорядка O(L) является величиной порядка O(1).Для вертикального градиента давления pe справедливо соотношениеÃ!∂ pepeρs (z)U f0 L =O= O,∂zDDe имеет такой же порядок величины, то тогдаследовательно, если ρgÃ!f0 Lρe = O ρs (z)U.gDТаким образом, плотность может быть представлена в видеρ = ρs (z) (1 + εF ρ0 ) ,гдеε=U— число Россби,f0 Lf0 2 L2F =.gD(8.81)– 278 –Тогда уравнения движения (8.65)–(8.67) в безразмерных переменныхс учетом соотношений (8.74)–(8.81) примут вид()dvx Lcos θsin θε+ (δvx vz + vx vy ctg θ) +vy +δvz =dtr∗cosθcosθ00!2 Ã1εB∂b∂br0 sin θ0∂p∂byz x=−+ 2bx+ by+ δ 2 bz+r∗ sin θ 1 + εF ρ ∂x U µρs∂x∂x∂xÃ!∂bx r0 ∂bx r0 sin θ0 ∂bx δLctg θεB 2bz+ by+bx+ bx bz +Lbx by ,+ 2U µρ∗∂z r∗ ∂y r∗ sin θ ∂x r∗r∗(8.82))(´L³cos θdvy+δvy vz − vx 2 ctg θ −vx =εdt  r∗cos θ0!2 Ãr0εB∂b∂b1∂p∂bxyz+=−+bx+ by+ δ 2 bzr∗ 1 + εF ρ ∂y U 2 µρs∂y∂y∂yÃ!∂by r0 ∂by r0 sin θ0 ∂by δLεB 2ctg θ 2+ 2bzbx ,+ by+bx+ by bz −LU µρ∗∂z r∗ ∂y r∗ sin θ ∂x r∗r∗(8.83))(´δ sin θdvz εLδ ³ 2vx + vy 2 −vx =(1 + εF ρ) εδ 2−dtrcosθ∗0Ã!1  ∂(pρs ) εB 2∂bx∂by∂bz =−+bx+ by+ δ 2 bz−ρ+2ρs∂zµU∂z∂z∂z#"´∂bz r0 by ∂bz r0 sin θ0 ∂bzεB 2 δ 2L ³ 22+bzbx + by , (8.84)++−µU 2 ρs∂zr∗ ∂yr∗ sin θ ∂xδr∗гдеdr0 sin θ0 ∂r0 ∂∂∂D=+ vx+ vy+ vz ,δ= .dt ∂tr∗ sin θ ∂xr∗ ∂y∂zLВ уравнениях (8.82)–(8.84) переменные без штриха безразмерны.

Характеристики

Список файлов диссертации