Диссертация (1145260), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Вдальнейшем величины со звездочкой являются размерными переменными:x∗ = Lx,y∗ = Ly,Отметим также, чтоz∗ = Dz,p∗ = ps (z) + ρs U f0 Lp,Ãи т. д.!Lr∗=1+δz.r0r0В результате получим уравнение неразрывности в виде"dρ∂vzDr0 ∂vyεF+ (1 + εF ρ)+ 2 vz ++dt∂zr∗r∗ ∂y(8.85)– 279 –#Lvyr0 sin θ0 ∂vx vz dρsctg θ +++= 0,r∗r∗ sin θ ∂xρz dz(8.86)уравнение соленоидальности магнитного поля в видеD∂bzr0 ∂by Lbyr0 sin θ0 ∂bx+ 2 bz ++=0ctg θ +∂zr∗r∗ ∂yr∗r∗ sin θ ∂x(8.87)и уравнения индукции магнитного поля в форме∂bzr0 ∂vz r0 sin θ0 ∂vz∂vz r0 ∂bz= by+bx+ bz− vy−∂tr∗ ∂yr∗ sin θ ∂x∂zr∗ ∂yÃ!εF dρ∂bzdρsr0 sin θ0 ∂bz−vx− vz− bz+ vz,r∗ sin θ ∂x∂z1 + εF ρ dtdz∂byr0 ∂vy r0 sin θ0 ∂vy∂vy r0 ∂by= by+bx+ bz− vy−∂tr∗ ∂yr∗ sin θ ∂x∂zr∗ ∂yÃ!∂byεF dρdρsr0 sin θ0 ∂by−vx− vz− by+ vz,r∗ sin θ ∂x∂z1 + εF ρ dtdz∂vx r0 ∂bx∂bxr0 ∂vx r0 sin θ0 ∂vx= by+bx+ bz− vy−∂tr∗ ∂yr∗ sin θ ∂x∂zr∗ ∂yÃ!∂bxdρsr0 sin θ0 ∂bxεF dρ−vx− vz− bx+ vz.r∗ sin θ ∂x∂z1 + εF ρ dtdz(8.88)(8.89)(8.90)Таким образом, мы привели уравнения (8.64)–(8.67) и (8.70)–(8.73)к уравнениям (8.82)–(8.84) и (8.86)–(8.90) для безразмерных переменных.С учетом равенств (8.74) и (8.75) тригонометрические функцииsin θ, cos θ, ctg θ разлагаются в ряд в окрестности широты θ0 :Ã!LL 2 y2sin θ = sin θ0 + y cos θ0 −sin θ0 + · · · ,r0r02à !2 2LL ycos θ = cos θ0 − y sin θ0 −cos θ0 + · · · ,r0r02à !2L1Lctg θ0ctg θ = ctg θ0 − y 2 +y2 2 + · · · .r0 sin θ0r0sin θ0Отметим, что параметрβ0 = −2ω sin θ0=r0ï!¯1 df ¯¯¯r0 dθ ¯¯θ=θ0равен градиенту в северном направлении параметра Кориолиса нашироте θ0 ; параметр ε измеряет [84] отношение относительной за-– 280 –вихренности к вертикальной компоненте планетарной завихренности при θ = θ0 , а отношение градиента относительного вихря скорости к градиенту планетарного вихря скорости измеряется параметромÃ!r01U==Oε.ββ0 L2L(8.91)Действительно,!Ã!Ã!ÃUf0U f0Ur0r0== −ε ctg θ0 = O ε.=L2 β0β0 f0 L2f0 L β0 LLL8.2.2.Геострофическое приближение: ε ¿ 1,L¿1r0Рассмотрим случай, когдаÃ!L¿ 1,δ = O(ε).ε=Or0Тогда из соотношений (8.85) и (8.91) следует, чтоÃ!r∗δL−1=O< O(ε2 ),β = O(1).r0r0B2Магнитное давление сравнимо с, а инерционные силы в уравнеµнии движения эквивалентны кинетическому давлению порядка ρ∗ U 2 .Отношение кинетического и магнитного давлений оказывается порядка A√2 , где A — число Альфвена [56], определяемое формулойU µρ∗A =.

Отношение удельной кинетической энергии веществаBρ∗ v 2B2и магнитной энергиитакже равно A2 . Если магнитное по22µле "вморожено" в вещество, то большое значение A означает, чтомагнитное поле слабо влияет на движение. Малое A означает, чтодвижение в основном определяется индукцией магнитного поля.

Если A ≈ 1, то движение и поле оказывают друг на друга более илименее равное воздействие, и наблюдается примерно равное распределение энергии между ними. Число Альфвена также называют альфвеновским числом Маха [56], характеризующим отношение скоростиBU, UA = √.течения жидкости к альфвеновской скорости MA =UAµρ∗– 281 –Итак, предположим, что кинетическое и магнитное давления имеB22ют один порядок: ρU ∼. В силу малости параметра ε все функцииµможно представить в виде ряда по параметру ε. Например,vx (x, y, z, t, ε) = u0 (x, y, z, t) + εu1 (x, y, z, t) + · · · ,(8.92)где uk = O(1) и не зависит от ε. Величины uk неявно зависят отL F δ, , , являющихся по предположению величинамипараметровεr0 ε εпорядка единицы.

Аналогично, представляя все зависимые переменные в форме ряда (8.92) и подставляя их в уравнения (8.82)–(8.84) и(8.86)–(8.90), используя разложения для тригонометрических функций, получим, что члены порядка O(1) удовлетворяют следующимуравнениям:∂p0,∂x∂p0u0 =,∂y1 ∂ρ0 = −(p0 ρs ),ρs ∂z1 ∂∂u0 ∂v0(w0 ρs ) ++= 0,ρs ∂z∂x∂y∂bz0 ∂bx0 ∂by0++= 0,∂z∂x∂y∂bz0∂bz∂w0∂w0∂w0= by0+ bx0+ bz0− v0 0 −∂t∂y∂x∂z∂y∂bz∂bzdρs− u0 0 − w0 0 − bz0 w0,∂x∂zdz∂v0∂v0∂v0∂by∂by0= by 0+ bx0+ bz0− v0 0 −∂t∂y∂x∂z∂y∂by∂bydρs− u0 0 − w0 0 − by0 w0,∂x∂zdz∂bx0∂u0∂u0∂u0∂bx0= by0+ bx0+ bz0− v0−∂t∂y∂x∂z∂y∂bx0∂bx0dρs− u0− w0− bx0 w0.∂x∂zdzv0 = −(8.93)(8.94)(8.95)(8.96)(8.97)(8.98)(8.99)(8.100)Из известных в гидродинамике геострофических соотношений (8.93)и (8.94), как следствие, получаем, что горизонтальная дивергенция в– 282 –первом приближении обращается в нуль:∂u0 ∂v0+= 0,∂x∂yи тогда, из уравнения (8.96) имеем∂(ρs (z)w0 ) = 0.∂z(8.101)Таким образом, произведение ρs (z)w0 не зависит от z, поэтому,если область движения ограничена горизонтальной твердой поверхностью, на которой вертикальные компоненты скорости равны нулю,то тогда при всех z вертикальная компонента скорости равна нулю:w0 = 0.(8.102)Геострофическое приближение (8.93), (8.94) приводит к известной вгидродинамике проблеме геострофического вырождения [84], то есть,к невозможности определения искомых функций из уравнений первого приближения.

Поэтому в уравнениях (8.82) и (8.83) следует рассматривать члены более высокого порядка малости.8.2.3.Уравнения квазигеострофического движенияИспользуя тейлоровские разложения тригонометрических функций иравенство (8.102), из (8.82) и (8.83) получимÃ!∂u0∂u0∂u0L+ u0+ v0+ v1 − v0y tg θ0 =∂t∂x∂yεr0Ã!"#∂p1L∂p01∂bx0∂by0=−+y tg θ0−bx+ by0+∂xεr0∂xµρs (z) 0 ∂x∂x"#1∂bx0∂bx0∂bx0+bz+ by0+ bx0,(8.103)µρs (z) 0 ∂z∂y∂xÃ!∂v0∂v0L∂v0+ u0+ v0− u1 + u0y tg θ0 =∂t∂x∂yεr0"#∂p11∂bx0∂by0=−−bx+ by 0+∂yµρs (z) 0 ∂y∂y"#1∂by0∂by0∂by0+bz+ by0+ bx0.(8.104)µρs (z) 0 ∂z∂y∂x– 283 –При выводе уравнения вихря необходимо учитывать второе приближение для уравнения неразрывности (8.86):Ã!"#∂u1 ∂v1L∂u01 ∂++ctg θ0 v0 − y+(ρs (z)w1 ) = 0.

(8.105)∂x∂yεr0∂xρs (z) ∂zПрименяя оператор rot к уравнениям (8.103) и (8.104) и используясоотношение (8.91), получим уравнение вихря для величиныζ0 =∂v0 ∂u0−∂x∂yв видеÃ!Ã!∂ζ0∂ζ0∂p0∂ 2 p0∂ζ0LL+u0+v0+βv0 = −ctg θ0−y ctg θ+∂t∂x∂yεr0∂xεr0∂x∂yÃ!"∂u1 ∂v1∂Ω0∂Ω0∂Ω01+++bx 0+ by 0+ bz0+∂x∂yµρs (z)∂x∂y∂z!#Ã∂bz0 ∂by0 ∂bz0 ∂bx0∂bx0 ∂by0+,(8.106)+ Ω0+−∂x∂y∂x ∂z∂y ∂zгде∂by0 ∂bx0−.∂x∂yС учетом уравнения неразрывности (8.105), равенств (8.93) и (8.94),Ω0 =уравнение (8.106) примет вид∂ζ0 ∂p0 ∂ζ0 ∂p0 ∂ζ0∂p01 ∂+−−β=−(ρs (z)w1 ) +∂t∂y ∂x∂x ∂y∂xρs (z) ∂z"∂Ω0∂Ω0∂Ω01bx0+ by0+ bz0++µρs (z)∂x∂y∂zÃ!#∂bx0 ∂by0∂bz0 ∂by0 ∂bz0 ∂bx0+ Ω0++−.(8.107)∂x∂y∂x ∂z∂y ∂zСистема остается пока незамкнутой, так как величина w1 не выражена еще через p0 .

Для замыкания системы при ε = 0 рассмотрим термодинамическое уравнение (8.68). Поскольку из представления (8.81) имеемρ∗ = ρs (z) (1 + ερF ) ,уравнение (8.68) приводится к безразмерному виду:εFdρvz ∂ρs (z)M∗ L+(1 + ερF ) = −,dt ρs (z) ∂zU(8.108)– 284 –M∗ = −κ∆ρ∗ αρ0+Q.ρs (z)cPСогласно оценкам из статьи [17],D ∂ρs (z)1 ∂ρs (z)== O(ε).ρs (z) ∂z∗ρs (z) ∂zПоэтому уравнение (8.108) в первом приближении по ε приводится кформеg ∂ρs (z) D2d0 ρ0M∗ gD−,−2 2 w1 =dtρs (z) ∂z∗ f0 LU 2 f0или, вводя обозначенияN 2D2S = 2 2 = O(1),f0 LN2 = −g ∂ρs (z),ρs (z) ∂z∗M=M∗ gD,U 2 f0где N 2 — квадрат частоты Вяйсяля–Брента [84], к выражению−d0 ρ0+ w1 S = M,dt∂∂d0∂≡+ u0+ v0 .dt∂t∂x∂y(8.109)1 ∂ρs (z)мала, гидродинамическое приближениеρs (z) ∂z(8.95) сводится к уравнениюТак как величинаρ0 = −∂p0.∂z(8.110)Тогда уравнению (8.107) можно придать форму:Ã!∂∂ M1 d0 ρ0(ζ0 + βy) ++=∂t∂zSSdtÃ!"1 ∂ρs M1 d0 ρ01∂Ω0∂Ω0∂Ω0=−++bx0+ by0+ bz0+ρs ∂z SS dtµρs (z)∂x∂y∂z!#Ã∂bz0 ∂by0 ∂bz0 ∂bx0∂bx0 ∂by0++−.+ Ω0∂x∂y∂x ∂z∂y ∂zЕсли учесть малость величиныла, то будем иметь:"Ã!#1 ∂ρs (z)и отсутствие притока тепρs (z) ∂z"d0∂ ρ01∂Ω0∂Ω0∂Ω0ζ0 + βy +=bx0+ by0+ bz0+dt∂z Sµρs (z)∂x∂y∂zÃ!#∂bx0 ∂by0∂bz0 ∂by0 ∂bz0 ∂bx0+ Ω0++−,(8.111)∂x∂y∂x ∂z∂y ∂z– 285 –d0∂∂∂≡+ u0+ v0 .dt∂t∂x∂yВоспользуемся гидростатическим приближением (8.110) и обозна-гдечениемψ = p0 .(8.112)В результате вместо уравнения (8.111) окончательно получим равенство"#Ã!∂∂ψ ∂∂ψ ∂  ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ∂ 1 ∂ψ+−− βy  =++22∂t ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x∂y∂z S ∂z"1∂Ω0∂Ω0∂Ω0=−bx 0+ by 0+ bz0+µρs (z)∂x∂y∂zÃ!#∂bx0 ∂by0∂bz0 ∂by0 ∂bz0 ∂bx0++−.(8.113)+ Ω0∂x∂y∂x ∂z∂y ∂zЛевая часть уравнения (8.113) напоминает соответствующее выражение в уравнении квазигеострофического потенциального вихря вобычной гидродинамике [84], в которое учет магнитного поля вноситизменения, представленные правой частью уравнения (8.113).Из наблюдений известно [17], что в уравнении (8.113) β = O(1) иS = O(1).Итак, при ε = 0 получена замкнутая система уравнений"#Ã!∂∂ψ ∂∂ψ ∂  ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ∂ 1 ∂ψ+−+ 2 +− βy  =∂t ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x2∂y∂z S ∂z"1∂Ω0∂Ω0∂Ω0=−bx 0+ by 0+ bz0+µρs (z)∂x∂y∂zÃ!#∂bx0 ∂by0∂bz0 ∂by0 ∂bz0 ∂bx0+ Ω0+−+,(8.114)∂x∂y∂x ∂z∂y ∂z∂bz0 ∂bx0 ∂by0++= 0,∂z∂x∂y∂bz0D (bz0 , ψ)=,∂tD (x, y)"#∂by0∂∂∂ ∂ψ D (by0 , ψ)= − bx0+ by0+ bz 0+,∂t∂x∂y∂z ∂xD (x, y)"#∂bx0∂∂∂ ∂ψ D (bx0 , ψ)= bx0+ by0+ bz0+∂t∂x∂y∂z ∂yD (x, y)относительно неизвестных ψ, bx0 , by0 , bz0 .(8.115)(8.116)(8.117)(8.118)– 286 –8.2.4.Построение решения нелинейной задачиБудем искать решение системы нелинейных уравнений (8.114)–(8.118)в видеψ = Φ(z)ei(kx + ly − σt) ,bx0 = f1 (z)ei(kx + ly − σt) ,b = f (z)ei(kx + ly − σt) ,b = f (ψ).y02z0(8.119)3Тогда из уравнения (8.116) получим, чтоf30 (ψ) = 0,илиbz0 = C = const,(8.120)а из уравнений (8.115), (8.117) и (8.118) получим функциональныезависимостиlf1 (z) = − f2 (z),kf2 (z) =ck 0Φ (z).σ(8.121)Таким образом, уравнение (8.114) с учетом равенств (8.119), (8.120) и(8.121)позволяетописатьвертикальнуюструктуруфункцииψ(x, y, z, t), определяемую решением следующего уравнения:³´C 2 k 2 + l2σ  00σS 0 (z) 0−Φ (z) + 2Φ (z) +σµρs (z)S(z)S (z)h³´i+ σ k 2 + l2 + kβ Φ(z) = 0.(8.122)При1 ∂ρs= constF ρs ∂zуравнение (8.122) примет видS=³´(8.123)h ³´ic2 k 2 + l 2σ−  Φ00 (z) + σ k 2 + l2 + kβ Φ(z) = 0.σµρs (z)SПримем следующие граничные условия при z = 0:vz = 0,bx = 0,by = 0.(8.124)(8.125)– 287 –Учитывая, что ищется решения, сосредоточенные вблизи границыжидкого слоя, потребуем выполнения условийvx → 0,bx → 0,vy → 0,by → 0при(8.126)z → −∞.(8.127)Тогда граничные условия (8.124)–(8.127), согласно соотношениям (8.93),(8.94), (8.109), (8.110), (8.112), (8.119) и (8.121), примут видΦ0 (0) = 0;Φ0 (z) → 0Φ(z) → 0,приz → −∞.Следовательно, для функции Φ(z) имеем следующую задачу:³´h ³´iC 2 k 2 + l2σ−  Φ00 (z) + σ k 2 + l2 + kβ Φ(z) = 0,σµρs (z)SΦ0 (0) = 0;Φ(z) → 0,Φ0 (z) → 0при(8.128)z → −∞.

(8.129)Будем искать решение уравнения (8.128) в видеfΦ(z) = Φ(ρs (z)).Учитывая соотношения2f0f00f0(ρs (z))ρ00s (z),(ρs (z))(ρ0s (z)) + ΦΦ0 (z) = Φ(ρs (z))ρ0s (z), Φ00 (z) = Φfпреобразуем уравнение (8.128) в уравнение для функции Φ(ρs (z)):³´³´c2 k 2 + l 2c2 k 2 + l2 00 σρ00s  f0σ22 f00(ρ0s ) − (ρ0s )  Φ+ρs −Φ+µσρsSµσρsSh³´if+ σ k 2 + l2 + kβ Φ= 0.(8.130)Из равенства (8.123) получим, чтоρ0s = −SF ρs ,ρ00s = S 2 F 2 ρs ,поэтому уравнение (8.130) можно привести к виду³´³´c2 k 2 + l2 Sc2 k 2 + l2 Sf00f0+ρs− ρs Φ +− ρs  Φ22µσµσ´³22σ k + l + kβ f+Φ = 0.(8.131)σF 2 S– 288 –После заменыρs (z)µσ 2c2 (k 2 + l2 ) Sη=оно приводится к виду³´σ k 2 + l2 + kβ ff00f0η(η − 1)Φηη (η) + (η − 1)Φη (η) −Φ(η) = 0.σF 2 S(8.132)Уравнение (8.132) является гипергеометрическим уравнением Гаусса [46]:h³´ief00ee f0e efη(η − 1)Φηη (η) + α + β + 1 η − γ Φη (η) + αβ Φ(η) = 0при³αe + βe = 0,γe = 1,(8.133)´σ k 2 + l2 + kβeeα·β =−,σF 2 Sследовательно, приαe =vuu σ (k 2t+ l2 ) + kβ,σF 2 Seβe = −α.Одно частное решение уравнения (8.133) представимо гипергеометрическим рядом [46]:f e e eF(α, β, γ; η)eme m (β)(α)mηe m = se (se + 1) · · · (se + m − 1) ,=1+, (s)e m(γ)m!m=1∞Xкоторый сходится при |η| < 1, т.

Характеристики

Список файлов диссертации