Диссертация (1145260), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

В дальнейшем будем считать, что χ = 0.Если эффекты сжимаемости незначительны, то применимо уравнение состояния [8]ρ = ρ0 (1 − α(T − T0 )) ,где ρ0 и T0 — средняяплотность жидкости и средняя температу¯Ã!¯1 ∂ρ ¯¯¯ — коэффициент термического расширения. Дляра, α = −ρ ∂T ¯¯pнесжимаемой жидкости вместо уравнения (8.139) будем использовать– 297 –уравнение переноса тепла в следующем виде [70]:QdTk∆T + ,=dtρcPcP(8.140)здесь cP - удельная теплоемкость при постоянном давлении. Тогдатемпературу в уравнении (8.140) можно выразить через плотностьdραρ0= κ∆ρ −Q,dtcP(8.141)k— коэффициент температуропроводности.ρcPПри рассмотрении крупномасштабных движений, горизонтальныйздесь κ =масштаб которых сравним с радиусом слоя, основные уравнения квазигеострофического движения испытывают ряд некоторых изменений.

Сведение геометрии задачи к плоской более не является естественным приближением. Нельзя пренебрегать и горизонтальной изменчивостью основного поля плотности. Таким образом, для адекватного описания движения таких масштабов необходимо рассмотреть основные уравнения магнитной гидродинамики с учетом соответствующих соотношений между масштабами. Будем считать, чтовертикальный масштаб плотности велик по сравнению с вертикальным масштабом движения.Представим размерные переменные, отмеченные звездочками, через безразмерные переменные следующим образом:Ã!Dr∗ = r0 1 + z , vλ∗ = U vλ , vθ∗ = U vθ , bλ∗ = Bbλ ,r0DDr0bθ∗ = Bbθ , vr∗ = U vr = W vr , br∗ = Bbr = V br , t∗ = t,r0r0U(8.142)где r0 — радиус сферического слоя, D — вертикальный масштаб движения. В качестве горизонтального масштаба движения будем использовать радиус r0 , поскольку по предположению горизонтальныймасштаб имеет порядок O(r0 ), U — масштаб горизонтальной скороDсти, W = U — масштаб вертикальной скорости, B — масштаб гоr0– 298 –DB — масштаб верr0тикальной компоненты магнитного поля.

В качестве масштаба вреr0мени выбрано время адвекции . Масштабы для полей плотности иUдавления выберем с учетом того, что при малых числах Россби гориризонтальных компонент магнитного поля, V =зонтальная составляющая градиента давления одинакова по порядку величины с силой Кориолиса, и предположения равенства по порядку величин сил плавучести и вертикального градиента давления,что следует из удовлетворения с большой степенью точности крупномасштабных движений приближению гидростатики.

Итак, плотностьпредставляется в виде суммы постоянного значения ρ0 и слагаемого2ωU r0 ρ0ρ, описывающего полное изменение плотности в пространgDстве и во времени, т.е.ρ∗ = ρ0 +2ωU r0 ρ0ρ,gD(8.143)а представление для давления имеет видp∗ = −ρ0 gDz + 2ωU r0 ρ0 p.(8.144)Воспользуемся сферическими координатами r, θ, λ, гдеr ≥ 0,0 ≤ θ ≤ π,0 ≤ λ ≤ 2π.Тогда проекции скорости произвольной точки в сферической системекоординат определяются соотношениями [62]:vr = ṙ,vθ = rθ̇,vλ = r sin θλ̇,а уравнение неразрывностиdρ+ ρ div v = 0dtв сферических координатах принимает вид∂vr 2vr1 ∂ (vθ sin θ)1 ∂vλ dρ+ ρ+++= 0,dt∂rrr sin θ∂θr sin θ ∂λ(8.145)– 299 –гдеd∂∂vθ ∂vλ ∂=+ vr ++.dt ∂t∂rr ∂θ r sin θ ∂λУравнения сохранения импульса представляются в форме [62]dvλ vr vλ vθ vλ ctg θ+++ 2ω sin θvr + 2ω cos θvθ =dtrr1 ∂p1+(bθ Wr − br Wθ ) ,=−ρr sin θ ∂λ µρdvθ vr vθ vλ 2 ctg θ+−− 2ω cos θvλ =dtrr11 ∂p−+(br Wλ − bλ Wr ) ,ρr ∂θ µρdvr vθ 2 + vλ 2−− 2ω sin θvλ =dtr1 ∂p1=−−g−(bλ Wθ − bθ Wλ ) ,ρ ∂rµρ(8.146)(8.147)(8.148)где"#"#1∂∂bθ1∂br∂Wr =(bλ sin θ) −, Wθ =−(rbλ sin θ) ,r sin θ ∂θ∂λ"r sin# θ ∂λ ∂r1 ∂∂brWλ =(rbθ ) −.r ∂r∂θУравнения движения необходимо дополнить термодинамическим уравнениемdραρ0Q= κ∆ρ −dtcP(8.149)с уравнением состоянияρ = ρ0 (1 − α(T − T0 )) ,а также уравнениями индукции и соленоидальности магнитного поляbθ ∂vrbλ ∂vr∂vr vθ ∂br∂br=++ br−−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θvλ ∂br∂br− vr,r sin θ ∂λ∂r∂bθbθ ∂vθbλ ∂vθ∂vθ vθ ∂bθ=++ br−−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θvλ ∂bθ∂bθ− vr,r sin θ ∂λ∂r(8.150)(8.151)– 300 –∂bλbθ ∂vλbλ ∂vλ∂vλ vθ ∂bλ=++ br−−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θvλ ∂bλ∂bλ− vr,r sin θ "∂λ∂r#1 ∂ ³ 2 ´1∂∂bλ(sin θ bθ ) += 0.r br +r ∂rsin θ ∂θ∂λ(8.152)(8.153)Тогда уравнения движения (8.145)–(8.149) и уравнения (8.150)–(8.153)в безразмерных переменных, с учетом соотношений (8.142)–(8.144),примут вид"Ã!#dρ∂vz 2Dvzr0∂∂vλεF+ (1 + εF ρ)++(vθ sin θ) += 0,dt∂zr∗r∗ sin θ ∂θ∂λÃ!dvλDr0Dε+ vλ vz + vλ vθ ctg θ + vθ cos θ + vz sin θ =dtr∗ r∗r0!2Ã2∂b∂br01∂pεBDθzb +=−bz++θr∗ sin θ 1 + εF ρ ∂λ U 2 µρ0∂λr0∂λÃ!∂bλ r0 ∂bλ D r0r0εB 2bz+ bθ+bλ bz + bλ bθ ctg θ ,(8.154)+ 2U µρ∗∂zr∗ ∂θr0 r∗r∗Ã!dvθD2 r0εctg θ − vλ cos θ =+ vθ vz − vλdtrr∗∗à !22∂br01∂b∂pεBDDλz2b=−++bz− bθ bz +ctg θbλ +λr∗ 1+εF ρ ∂θ U 2 µρ0∂θr0∂θ r0Ã!εB 2∂bθ∂bθr0+ 2bz+bλ,(8.155)U µρ∗∂zr∗ sin θ ∂θ à !´DD 2 dvzD³ 2(1 + εF ρ) εvλ + vθ 2 − vλ sin θ =−εr0dtr∗r0Ã!εB 2∂bλ∂bθ∂pbλ+ bθ+=− −ρ− 2∂zU µρ0∂z∂zà !"#´εB 2 D 2 r0∂bz1 ∂bz r0 ³ 22+ 2bθ+−bλ + bθ ,(8.156)U µρ0 r0 r∗∂θsin θ ∂λDk V r0 ∂ 2 ρkHdρ=+∆2 ρ,(8.157)dtU D2 ∂z 2 U r0∂bz r0 ∂vzr0∂vz∂vz r0 ∂bzr0∂bz∂bz= bθ+bλ+bz− vθ−vλ−vz,∂t r∗ ∂θ r∗ sin θ ∂λ∂z r∗ ∂θ r∗ sin θ ∂λ∂z∂bθ r0 ∂vθr0∂vθ∂vθ r0 ∂bθr0∂bθ∂bθ= bθ+bλ+bz− vθ−vλ−vz,∂t r∗ ∂θ r∗ sin θ ∂λ∂z r∗ ∂θ r∗ sin θ ∂λ∂zr0∂vλ∂vλ r0 ∂vλr0∂bλ∂bλ∂bλ r0 ∂vλ= bθ+bλ+bz− vθ−vλ−vz,∂t r∗ ∂θ r∗ sin θ ∂λ∂z r∗ ∂θ r∗ sin θ ∂λ∂z– 301 –где4ω 2 r0 2U,F =,2 ωr0gDkV и kH — коэффициенты диффузии в вертикальном и горизонтальε=ном направлениях соответственно.

Предполагается, что kV и kH разdличны. Операторыи ∆2 определяются какdtÃ!d∂r0 vλ ∂∂∂=++ vθ+ vz ,dt ∂t r∗ sin θ ∂λ∂θ∂z Ã!2r0  1 ∂∂1 ∂2 ∆2 = 2sin θ+.r∗ sin θ ∂θ∂θsin2 θ ∂λ2При U = 1 см/c, r0 = 6 · 108 см, D = 40 км, 2ω ≈ 1, 4 · 10−4 с−1 ,Dпараметры ε, F иравны соответственноr0ε = O(10−5 ),F = 1, 8,D= O(10−3 ).r0B2Магнитное давление сравнимо с, а инерционные силы в уравнеµнии движения эквивалентны кинетическому давлению порядка ρU 2 .Отношение кинетического и магнитного давлений оказывается по2рядка A√, где A — число Альфвена [56], определяемое формулойU µρA =. Отношение удельной кинетической энергии веществаBρv 2B2и магнитной энергиитакже равно A2 . Если магнитное по22µле «вморожено» в вещество, то большое значение A означает, чтомагнитное поле слабо влияет на движение. Малое A означает, чтодвижение в основном определяется индукцией магнитного поля.

Если A ≈ 1, то движение и поле оказывают друг на друга более илименее равное воздействие и наблюдается примерно равное распределение энергии между ними. Число Альфвена также называют альфвеновским числом Маха [56], характеризующим отношение скоростиBU, UA = √ .течения жидкости к альфвеновской скорости: MA =UAµρИтак, предположим, что кинетическое и магнитное давления имеют– 302 –B2один порядок: ρU ∼, то есть полагая для Альфвеновского числаµМаха√U µρMA == O(1),Bи представляя искомые функции в виде степенного ряда по мало2му числу Россби для главных членов соответствующих разложенийуравнения движения записываются следующим образом:1 ∂p,sin θ ∂λ∂pvλ cos θ =,∂θ∂pρ=− ,∂z∂vz1 ∂1 ∂vλ+(vθ sin θ) += 0,∂zsin θ ∂θsin θ ∂λ∂ρvλ ∂ρ∂ρ∂ρ∂ 2ρ++ vθ+ vz= ν 2,∂t sin θ ∂λ∂θ∂z∂z∂bz ∂bθ1 ∂bλ++ bθ ctg θ += 0,∂z∂θsin θ ∂λ∂vz∂vz∂bz∂bz∂bzbλ ∂vzvλ ∂bz= bθ++ bz− vθ−− vz,∂t∂θsin θ ∂λ∂z∂θsin θ ∂λ∂z∂vθ∂vθ∂bθ∂bθ∂bθbλ ∂vθvλ ∂bθ= bθ++ bz− vθ−− vz,∂t∂θsin θ ∂λ∂z∂θsin θ ∂λ∂z∂bλ∂vλ∂vλ∂bλ∂bλbλ ∂vλvλ ∂bλ= bθ++bz−vθ−−vz.∂t∂θ sin θ ∂λ∂z∂θ sin θ ∂λ∂zvθ cos θ = −(8.158)(8.159)(8.160)(8.161)(8.162)(8.163)(8.164)(8.165)(8.166)Заметим, что компоненты магнитной силы, входящей в уравнениядвижения (8.154)–(8.156), имеют порядок отношения числа Россбик квадрату числа Альфвена, и следовательно, в уравнения (8.158)–(8.160) для главных членов разложений эти компоненты не входят.Их учет необходим при описании движений, отличных от геострофических, то есть с использованием членов ряда соответствующих разложений искомых функций по малому числу Россби более высокогопорядка малости.Из вида уравнений системы (8.158)–(8.166) можно сделать вывод,что поле скорости является бездивергентным, геострофическим и гид-– 303 –ростатическим; и что вертикальный градиент плотности не задаетсягоризонтально однородным полем плотности, а определяется движением жидкости.

В уравнении (8.162) параметр ν задается какν=kV r0.U D2Если kV = 0, 1см2 /с, U = 1см/с, D = 4 · 106 см, то ν = O(10−6 ).Отметим, что левая часть уравнения (8.157) имеет порядок единицы,а член, пропорциональный ν, — достаточно мал, но, тем не менее, онбудет учтен в системе (8.158)–(8.166) с целью описания термическогослоя у границы.Отметим важное свойство динамики крупномасштабных геострофических движений электропроводной жидкости. Оно заключаетсяв том, что, как и в случае обычной гидродинамики, геострофическоеприближение не приводит к вырожденному характеру системы уравнений для главных членов соответствующих разложений, в отличиеот геострофических движений с меньшим горизонтальным масштаLбом L, таким, что¿ 1.

Характеристики

Список файлов диссертации