Диссертация (1145260), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Следует отметить, что при большой веr0личине горизонтального масштаба движения уравнения Максвелласоленоидальности и индукции магнитного поля для главных членовсоответствующих разложений сохраняют свой вид в смысле вида исходных названных уравнений в размерном виде. Заметим, что справедливость геострофического приближения нарушается в экваториальных областях, где действие силы Кориолиса на горизонтальныетечения очень слабо. Таким образом, геострофическое приближениепо самой своей природе не может быть глобальной теорией, поэтомумы полагаем, что рассматриваемое движение происходит в районе,расположенном в средних широтах в окрестности широты θ0 и удаленном от экватора.Итак, задача состоит в определении распределения плотности ивсех магнитогидродинамических величин, возникающих в результате– 304 –термодинамических изменений у границы области, в предположении,что такая задача описывается уравнениями крупномасштабной динамики, полученными выше.8.3.2.Уравнения стационарной моделиИсключим давление из уравнений (8.158) и (8.159).

Для этого продифференцируем уравнение (8.158) по θ:1 ∂vθ∂ 2pvθ cos 2θ +sin 2θ = −,2 ∂θ∂θ∂λ(8.167)а уравнение (8.159) по λ:∂vλ∂ 2pcos θ =.∂λ∂θ∂λ(8.168)Из уравнения (8.167) с учетом соотношения (8.168)vθ cos 2θ +1 ∂vθ∂vλsin 2θ +cos θ = 0,2 ∂θ∂λили, разделив на произведение cos θ · sin θ,cos 2θ∂vθ1 ∂vλvθ ++= 0.cos θ · sin θ∂θsin θ ∂λ(8.169)Из уравнения (8.161) получаем1 ∂vλ ∂vθ∂vz+=−− ctg θvθ .sin θ ∂λ∂θ∂z(8.170)Тогда из уравнения (8.169) с учетом уравнения (8.170)Ã!cos 2θ∂vz− ctg θ vθ =,cos θ · sin θ∂zили∂vzcos θ.∂zСогласно уравнений (8.171) и (8.158),vθ sin θ = −∂p∂vzcos2 θ =.∂z∂λ(8.171)(8.172)– 305 –Уравнение (8.162) в случае стационарного движения с учетом геострофических соотношений (8.158) и (8.159), и уравнения гидростатики(8.160) примет видÃ!∂ 3p1∂p ∂ρ ∂p ∂ρ∂ 2p−− vz 2 = −ν 3cos θ · sin θ ∂θ ∂λ ∂λ ∂θ∂z∂zили, так как из уравнения (8.160)∂ρ∂ 2p=−,∂λ∂λ∂z∂ρ∂ 2p=−,∂θ∂θ∂zвид1∂p ∂ 2 p∂p ∂ 2 p ∂ 2p∂ 3p−− vz 2 = −ν 3 .cos θ · sin θ ∂λ ∂θ∂z ∂θ ∂λ∂z∂z∂z(8.173)Уравнения (8.164), (8.165) и (8.166) с учетом геострофических соотношений (8.158) и (8.159) представимы в форме∂vzbλ ∂vzbz ∂p+++∂θsin θ ∂λcos2 θ ∂λD(p, bz )∂bz1+− vz= 0,(8.174)cos θ · sin θ D(θ, λ)∂zÃ!∂∂p∂ 2p∂ 2p1bλbz−bθ−−+∂θ cos θ · sin θ ∂λsin2 θ cos θ ∂λ2 cos θ · sin θ ∂z∂λD(p, bθ )∂bθ1+− vz= 0,(8.175)cos θ · sin θ D(θ, λ)∂zÃ!∂ 2p∂1 ∂pbλbz ∂ 2 p+++bθ∂θ cos θ ∂θsin θ · cos θ ∂λ∂θ cos θ ∂z∂θ1D(p, bλ )∂bλ+− vz= 0,(8.176)cos θ · sin θ D(θ, λ)∂zbθ∂A ∂B∂A ∂BD(A, B)=−— якобиан перехода.

В полученнойD(θ, λ)∂λ ∂θ∂θ ∂λсистеме уравнений (8.172)–(8.176) искомыми функциями являютсягдеvz (θ, λ, z),8.3.3.p(θ, λ, z),bθ (θ, λ, z),bλ (θ, λ, z),bz (θ, λ, z).Граничные условияРассмотрим граничные условия для системы (8.172)–(8.176). Будемизучать динамику ниже экмановского слоя, прилежащего к границе– 306 –жидкого слоя. Так как в рассматриваемой области вязкость несущественна, то достаточным является задание на верхней границе нормальной компоненты скорости.

Пусть начало координат находится награнице жидкого слоя. Итак,vz = vze (θ, λ, 0).На верхней границе рассматриваемой области плотность необходимосогласовать с заданным полем плотности у поверхности слоя, котораяв узком экмановском слое у границы жидкой сферической областименяется незначительно. С учетом уравнения состоянияρ∗ = ρ0 (1 − αT∗ )это условие представим в размерном видеρ0 − ρ∗ρ0 − ρ0 (1 + εF ρ)==αρ0αρ0εF ρ2ωU r02ωW r0 2=−=−ρ=−ρ(θ, λ, 0).ααgDαgD2T∗ (θ, λ, 0) = F0 Ts (θ, λ, 0) =ОткудаαgD2 F0ρ(θ, λ, 0) = −Ts (θ, λ),(8.177)2ωW r0 2где F0 — характерная величина изменений поверхностной температуры, α — коэффициент термического расширения.

Функция Ts (θ, λ)определяет горизонтальную структуру поля поверхностной температуры и имеет порядок O(1). Далее выберем вертикальный масштабдвижения D таким, чтоD=vuu 2ωW r0 2tαgF0,(8.178)и, следовательно, ρ имеет порядок O(1).При выборе вертикального масштаба движения соотношением (8.178)горизонтальные изменения плотности в слое будут того же порядка,что и горизонтальные изменения поверхностной плотности. Учитывая, что 2ω ≈ 1, 4 · 10−5 с−1 , r0 = 6 · 108 см, αF0 ≈ 3 · 10−4 , g = 103 см/с2 ,– 307 –W = 10−2 см/с, получим оценку для D: D = 40 км.

Так как D намного меньше толщины объема жидкой области, то предполагается, чтоz изменяется от "−∞" до "0". При z → −∞ возмущение плотностизатухает и вертикальная компонента скорости устремится к своемуасимптотическому значению. Кроме рассмотренных граничных условий потребуем выполнение условийb = b(e) ,при z = 0,vθ → 0, vλ → 0, bθ → 0, bλ → 0 при z → −∞.8.3.4.(8.179)Построение автомодельного решенияАналитическая структура функции pp(θ, λ, z) = a(θ, λ) + m(θ, λ)ek(θ, λ)z(8.180)согласуется со структурой функции p, предложенной Г.Т.

Нидлером[250] в традиционной гидродинамике без учета силы Лоренца. В дальнейшем k(θ, λ) > 0.Подставляя функцию p из соотношения (8.180) в уравнение (8.172)и интегрируя полученное уравнение по глубине жидкого слоя, получим выражение для вертикальной компоненты скорости:(¶1 ∂m µ kz∂a1e−1+z+vz (θ, λ, z) =2 θ k ∂λcos∂λkzkz∂k  ze1 − e  + vze (θ, λ).+m +∂λkk2(8.181)Уравнение (8.173) с учетом выражений (8.180) и (8.181) примет вид"Ã!Ã!∂a ∂m kz∂k∂m∂k∂k1+e + m zekz ekzk+m+ mkz−cos θ ·Ãsin θ ∂λ∂λ∂λ∂θ∂θ∂θ!Ã!#∂a ∂m kz∂k kz kz ∂m∂k∂k−+e + m zeek+m+ mkz−∂θ∂θ∂θ∂λ∂λ∂λ¶1  1 ∂m µ kz∂a∂k  zekz 1 − ekz 2 kz mk e− 2 e −1 +z+m +=2cos θ k ∂λ∂λ∂λkk= −νmk 3 ekz − mk 2 ekz vze .(8.182)– 308 –Из уравнения (8.182) необходимо выполняются следующие соотношения:m2 kÃ∂k= 0,∂λ!∂m ∂kmctg θ − k = 0,∂λ Ã∂θ!∂a ∂kkmctg θ − k = 0,∂λ ∂θÃ!1∂a ∂m ∂a ∂3νmk =k−(mk) −cos θ · sin θ ∂θ ∂λ∂λ ∂θmk ∂m− 2+ mk 2 vze .cos θ ∂λ8.3.5.Случай(8.183)(8.184)(8.185)(8.186)∂kctgθ − k = 0∂θ∂k= 0 при m 6= 0, k 6= 0 и, следователь∂λно, k = k(θ).

Соотношения (8.184)–(8.186) записаны с учетом этого∂mфакта. Из соотношений (8.184) и (8.185) следует, что либо= 0∂λ∂aи= 0 одновременно, что означает независимость от λ давления,∂λгоризонтальных компонент скорости и равенство нулю vθ и вертиВ уравнении (8.183)кальной компоненты скорости vze при любом z, либо k(θ) являетсярешением уравнения∂kctg θ − k = 0,∂θоткудаC,(8.187)cos θгде C — произвольная положительная константа.

Таким образом,k(θ) =второе слагаемое в выражении (8.180) экспоненциально затухает приуменьшении z со скоростью затухания, равной величине k(θ). Выражениеcos θ1=(8.188)k(θ)Cопределяет вертикальный масштаб для термоклина, то есть областирезких изменений по вертикали, располагающейся на различных глу-– 309 –бинах в зависимости от широты места. Из формулы (8.188) видно,что глубина термоклина уменьшается при приближении к экватору,что качественно согласуется с известными подобными результатамив классической гидродинамике [84].Из выражения (8.181) следует, чтоvθ → 0,vλ → 0∂a= 0, а из граничных условий∂λприz → −∞следует, что a(θ, λ) ≡ 0.Из условия (8.177) при z = 0 получимρ(θ, λ, 0) = −∂p(θ, λ, 0) = −Ts (θ, λ) = −mk,∂zследовательно,Ts (θ, λ),(8.189)k(θ)а из уравнений (8.158)–(8.160) и соотношений (8.180) и (8.189) нахоm(θ, λ) =дим следующие гидродинамические характеристикиTs (θ, λ) kze ,k(θ)ρ(θ, λ, z) = −T (θ, λ)ekz ,p(θ, λ, z) =(8.190)sÃ!1 ∂Ts Ts dk Ts dk1vλ (θ, λ, z) =− 2+z ekz ,cos θ k ∂θk dθk dθ1∂Ts kzvθ (θ, λ, z) = −e ,k cos θ · sin θ ∂λ¶1∂Ts µ kzvz (θ, λ, z) = vze (θ, λ) + 2e −1 .k cos2 θ ∂λ(8.191)(8.192)(8.193)Итак, гидродинамические характеристики совпадают с соответствующими характеристиками, представленными Нидлером [250] Изсоотношения (8.186) с учетом выражений (8.187) и (8.189)νC 3 +∂Tscos θ − C 2 vze cos θ = 0,∂λ(8.194)и, согласно выражению (8.193), получаем асимптотическое значениескорости в видеvz∞ =Cν,cos θ– 310 –определяемое при фиксированном C параметром ν, характеризующим интенсивность турбулентной диффузии плотности, и диссипацияявляется причиной подъема жидкости к границе области.Вообще говоря, величина C определяется соотношением (8.194), вто время как Ts (θ, λ) и vze (θ, λ) считаются заданными функциями, ноони должны иметь такой вид, чтобы решение C уравнения (8.194) было постоянным.

Поэтому мы в дальнейшем задаем C и рассматриваем(8.194) как условие, налагаемое на Ts (θ, λ) и vze (θ, λ).Если турбулентная диффузия плотности пренебрежимо мала, т.е.ν близко к нулю, то vz∞ также стремится к нулю. Итак, гидродинамика, описываемая рассмотренным решением, представляется следующим образом: основная структура гидродинамических полей определяется соотношениями (8.190)–(8.193), справедливыми и в отсутствиедиссипации, в то время как фактическая роль диссипации сводится лишь к созданию глубинного подъема жидкости. В связи с чемв дальнейших исследованиях стационарных магнитогидродинамических полей мы будем пренебрегать диссипацией, и учитывать ее припостроении нестационарных решений.Рассмотрим далее уравнения Максвелла (8.174)–(8.176), которые сучетом представлений (8.190) и (8.191)–(8.193) запишутся следующимобразом:µbθ ¶ekz − 1 ∂ 2 Ts zekz sin θ ∂Ts ∂vze +++C2∂λ∂θ C cos2 θ ∂λ∂θ ekz ∂Ts ∂bzbλ  ekz − 1 ∂ 2 Ts ∂vze bz ekz ∂Ts+++−+sin θC 2 ∂λ2∂λC cos θ ∂λC sin θ ∂λ ∂θkz cos θ ∂T1eTsinθ∂bzss−−ekz + zTs ekz tg θ−sin θ · cos θC∂θC∂λµ− ¶ekz − 1 ∂Ts ∂bz+v= 0,ze2C∂λ∂z(8.195)– 311 –kz cos θ ∂Tekz ∂ 2 Tszekz ∂Ts bλ ekz ∂ 2 Tsse−bθ −−−C sin θ ∂θ∂λ cos2 θ ∂λC sin2 θ ∂λC sin2 θ ∂λ2bz ekz ∂Tsekz ∂Ts ∂bθ−+−cosθ·sinθ∂λCsinθ∂λ∂θkz cos θ ∂Tkz sin θee1∂bθs− −Ts + zekz Ts tg θ−C∂θCcos θ · sin θ ∂λµ− ¶ekz − 1 ∂Ts ∂bθ+v= 0,ze2C∂λ∂z(8.196)kz cos θ ∂Tekz sin θtg θs ebθ −Ts + zekz Ts tg θ+C∂θCcos θekz cos θ ∂ 2 Tsekz sin θ ∂Tskz ∂Ts tg θ −+−2+2zeC∂θ2C∂θ∂θ2kz tg2 θ1ekz cos θzCTes+−Ts + zTs ekz +Ccos θcos θ2kzkzbλ∂Tscos θ ∂ Tse sin θ ∂Tse+−+ zekztg θ +cos θ · sin θC∂θ∂λC∂λ∂λekz ∂Ts ∂bλbz  kz ∂Ts zCTs ekz tg θ e+++−cos θ∂θcos θC sin θ ∂λ ∂θµ− ¶kz ∂Tekz − 1 ∂Ts1 ∂bλs cos θe+v−−ze 2C∂λ∂zcos θ · sin θC∂θ∂bλekz Ts sin θ−+ zekz Ts tg θ= 0.C∂λ(8.197)Будем искать решение системы (8.163), (8.195)–(8.197) в видеbλ (θ, λ, z) = bfλ (θ, z) sin aλ,bθ (θ, λ, z) = bfθ (θ, z) cos aλ,bz (θ, λ, z) = bfz (θ, z) cos aλ,Ts (θ, λ) = Tf(θ) cos aλ,vze = −avgze (θ) sin aλ.Для функций bfλ , bfθ , bfz получим систему уравненийa f∂ bfz ∂ bfθ f++ bθ ctg θ +bλ = 0,∂z∂θsin θ(8.198)– 312 –µ¶kz − 1 aT efkz − 1Tfzekz tg θ0f ef0bθ T ++ vgze  + 2CC cos θC 2 sin θ+avgze  bf +λsin θ f kzz Tfekz Tf0 ekzf  2T e+−−+ bz C cos θ C sin θcos2 θµ¶kz − 1T efT ekz ∂ bfz −+C sin θ ∂θ f+ vgze C2∂ bfz= 0,∂zTfekz2Tf0 ekz 2z Tfekz f+bθ −++cos2 θC sin2 θ cos θ C sin θ+bfλaT ekzfC sin2 θ+ bfzT ekzT ekzfsin θ cos θf−∂ bfθC sin θ ∂赶kz −1T ef+C2+ vgze ∂ bfθ= 0,∂zf0 kzbfλcos θ Tfekz sin θ f kz T e−−+− T ze tg θcos θ · sin θCCµ¶fTf ekz − 1T ekz ∂ bfλ  ∂ bλ−++ vg= 0,ze C sin θ ∂θC∂zff0f  T cos θbθTf sin θ fTf00 cos θ 2Tf0 sin θ−+ T z tg θ tg θ +−+CCCCff 22TcosθTzCtgθ++2Tf0 z tg θ −+ Tfz +Ccos θTfzC tg θ abfλ  Tf0 cos θ Tf sin θ f+bfz Tf0 ++−+ T z tg θ = 0.cos θsin θCCУравнение (8.198) при bfλ = 0 позволяет ввести функцию ψ(θ, z)соотношениямиbfz =1 ∂ψ,sin θ ∂θbfθ = −1 ∂ψ.sin θ ∂zПри этом функция ψ(θ, z) является решением системыkz − 1zekz tg θ fe0  ∂ψf0g−T+T+v+zeC2C cos θ∂zkzkzkzkzeze f e ctg θ f ∂ψ2eTf −Tf0 −T−T++ C cos θC sin θcos2 θC sin θ∂θ– 313 –2ekz f∂ 2 ψ  ekz − 1 f ∂ ψg+T−T + vze = 0,C sin θ ∂θ2C2∂θ∂z³´ekz 1 + cos2 θTf −2ekzTf0 −2zekzTf(8.199)∂ψekz f∂ψ+T+∂zcos θ sin θ ∂θC sin θcos2 θC sin2 θ cos θkz − 12ekz f ∂ 2 ψe∂ ψfg+−TT + vze  2 = 0,C sin θ ∂θ∂zC2∂z(8.200)Tf00 cos θ 2Tf0 sin θTf0 cos θ Tf sin θ f−+ T z tg θ tg θ+−+2Tf0 z tg θ−CCCCTf cos θ f Tfz 2 C tg2 θ  ∂ψ  f0 TfzC tg θ  ∂ψ−+T z +− T += 0, (8.201)Ccos θ∂zcos θ∂θили эквивалентной ей системы∂ψ∂ 2ψA1 (θ, z)+ B1 (θ, z) 2 = 0,∂θ∂θ∂ψ∂ψC1 (θ, z)+ C2 (θ, z)= 0,∂z∂θ¯¯¯¯¯ A (θ, z) B (θ, z) ¯¯¯11¯¯ = 0,¯¯¯ A (θ, z) B (θ, z) ¯¯¯22(8.202)(8.203)(8.204)гдеÃ!c2c2 0c2A1 (θ, z) = − a1 + a2 − a4,B1 (θ, z) = a3 − a4 ,c1c1 θc1à !0à !0à !0c2c2c2c2c2A2 (θ, z) = − b1 + b2 − b3+ b3− b4,c1c1 z c1c1 θc1 θà !2c2c2B2 (θ, z) = b3− b4 ,c1c1kzkz−1tg θ fe0f0 zeT+T + vga1 (θ, z) = −ze  ,2CC cos θ2ekz fekz f0 zekz f ekz ctg θ fa2 (θ, z) =T−T − 2 T−T,C cos θC sin θcos θC sin θekz fekz − 1 fa3 (θ, z) =T,a4 (θ, z) = −T − vgze ,C sin θC2ekz fT,b2 (θ, z) =cos θ sin θ– 314 –2ekz f0 2zekz fekz (1 + cos2 θ) fb1 (θ, z) = 2 2T−T −T,C sin θcos2 θC sin θ cos θekz − 1 fekzgb3 (θ, z) = −T−v,b(θ,z)=,ze42CCsinθf0fTcosθTsinθTf00 cos θ 2Tf0 sin θ−+ Tfz tg θ tg θ +−+c1 (θ, z) = CCCCTf cos θ fTfz 2 C tg2 θTfzC tg θff0+2T z tg θ −+ Tz +,c2 (θ, z) = −T −.Ccos θcos θИнтегрируя уравнение (8.202), получимZψ(θ, z) = C3 (z)e−R A1 (θ,z)B1 (θ,z) dθ dθ+ C4 (z).Из граничных условий (8.179) (bθ = 0 при z = 0, bθ → 0 при z → −∞)получимC30 (z)Ze−R A1 (θ,z)B1 (θ,z) dθ dθ+C40 (z) = 0,Z−C3 (z)−eZ− C3 (z)z = 0,e− 0R A1 (θ,z)ZA(θ,z)dθ1B1 (θ,z) dθ dθ+B1 (θ, z) zRA1 (θ,z)Z− Bdθ01 (θ,z)lim C3 (z) edθ−z→−∞ 0R A1 (θ,z)ZA(θ,z)dθ1B1 (θ,z) B1 (θ, z)zdθ dθ + C40 (z) = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации