Диссертация (1145260), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Сделав заF SменуC02 Sµ00(8.302)G(z) = u2zz + 2 u2 ,b0zдля функции G(z) получим уравнение2G00 (z) + ρs (z)G(z) = 0,(8.303)решение которого будем искать в виде уравненияfG(z) = G(ρs (z)) .Учитывая соотношенияf0G0 (z) = G(ρs (z)) ρ0s (z),2f00f0G00 (z) = G(ρs (z)) (ρ0s (z)) + G(ρs (z)) ρ00s (z),ρ0s (z) = −SF ρs ,ρ00s (z) = S 2 F 2 ρs ,fпреобразуем уравнение (8.303) в уравнение для функции G(ρs (z)):fGρs G + G + 2 2 = 0,S Ff00f0общее решение которого представимо в виде линейной комбинациифункций Бесселя и Неймана нулевого порядка [46]:Ã √ !Ã √ !2 ρs2 ρsfG (ρs (z)) = C1 J0+ C2 Y0,SFSF(8.304)где C1 и C2 — произвольные постоянные.Таким образом, функция u2 (z), согласно соотношению (8.302), является решением уравненияu002C02 Sµf+ 2 u2 = G.b0z(8.305)– 343 –Полагая u2 (z) = ue 2 (ρs (z)), для функции ue 2 получаем неоднородноеуравнение Эйлераρ2s ue 002+ρs ue 02fC02 SµGe+ 2 2 2 u2 = 2 2 .b0z S FS F(8.306)Соответствующее однородное уравнение имеет общее решение [46]:ue 2g.h.
= C3 sin (µe ln |ρs (z)|) + C4 cos (µe ln |ρs (z)|) ,(8.307)s2C0 µ, а C3 , C4 — произвольные постоянные. Следовательb0z F Sно, общее решение неоднородного уравнения (8.306) представимо вгде µe =видеffZGG= C3 y1 + C4 y2 + y2 y1 dρs − y1 y2 dρs ,(8.308)WWdy2dy1где y1 = sin (µe ln |ρs (z)|) , y2 = cos (µe ln |ρs (z)|); W = y1− y2=dρsdρsµe=−— определитель Вронского функций y1 (ρs (z)), y2 (ρs (z)).|ρs (z)|Следовательно,Zue 2g.n.ue 2g.n. = C3 sin (µe ln |ρs (z)|) + C4 cos (µe ln |ρs (z)|) −cos (µe ln |ρs (z)|) Zfρs sin (µe ln |ρs (z)|) Gdρs +−eµsin (µe ln |ρs (z)|) Zf+ρs cos (µe ln |ρs (z)|) Gdρs .eµ(8.309)Далее, т.
к. u001 (z) = u2 (z), то, если u1 (z) = ue 1 (ρs (z)), функция ue 1является решением уравненияρ2s ue 001 + ρs ue 01 =ue 2 (ρs (z)),S 2F 2общее решение которого имеет видue 1g.n.1 Z= C5 ln |ρs (z)| + C6 − 2 2 ln |ρs (z)|ue 2 d (ln |ρs (z)|) +S FZln |ρs (z)|+ 2 2ue 2 d (ln |ρs (z)|) .(8.310)S FКак и ранее, примем следующие граничные условия:vz = 0,vx → 0,bx = 0,vy → 0,by = 0bx → 0,by → 0приz = 0;приz → −∞.(8.311)– 344 –Из уравнений неразрывности и индукции магнитного поля находимC02 y 2iσ−vz = Re ye 2 − iσt u01 (z) ,2SC0C02 y 2b0zbx = Re − ye− 2 − iσt u01 (z) + c1 (x, y, z),iσC02 y 2b0z −(3)e 2 − iσt u1 (z) + c2 (x, y, z),by = Re −4 SC0C02 y 2b0zbz = Re −ye− 2 − iσt u001 (z) + c3 (x, y, z).2SC0(8.312)Согласно выражениям (8.312) выполнение условий (8.311) эквивалентно выполнению следующих условий:u01 (0) = 0,u1 (z) → 0,c1 (x, y, 0) = 0,u01 (z) → 0,u001 (z) → 0,c1 (x, y, z) → 0,Так как u01 (z) = C5получаемρ0sρs+u0001 = 0,c2 (x, y, 0) = 0;u1 (z)000 → 0,c2 (x, y, z) → 0,при z → −∞,при z → −∞.ρ0s Zue 2 d (ln ρs ),S 2 F 2 ρs(8.313)то из условия u01 (0) = 0¯1 Z¯eC5 = − 2 2 u2 d (ln ρs ) ¯¯ .(8.314)z=0S F0Далее выполнение условия u0001 (0) = 0 требует, чтобы u2 (0) = 0, откудапри C3 = C4 = 0 необходимым является условие½Zsin (µe ln |ρs |)Z+ cos (µe ln |ρs |)f 0ρs sin (µe ln |ρs |) Gρs dz+f 0ρs cos (µe ln |ρs |) Gρs dz¾¯¯¯¯z=0= 0,следствием которого является соотношение, связывающее параметры C0 , b0z , F, S, µ, ρs (0).
Из условия u1 (z) → 0 при z → −∞ следуетвыражение для произвольной постоянной C6 :C6 = −C5 ln |ρs (−∞)|.(8.315)Условия u01 (z) → 0 и u001 (z) → 0 при z → −∞ выполняются вследствиепредставления данных выражений в виде произведения ограниченных функций на ρ0s (z), которая в условиях рассматриваемой задачи– 345 –при больших z равна нулю.
Отметим, что требование C3 = C4 = 0 является также следствием удовлетворения построенного решения граничным условием на бесконечности. Выполнение оставшихся граничных условий накладывает ограничение на выбор функций c1 (x, y, z)и c2 (x, y, z).
Допустимыми являются, например, следующие выражения:2 2C0 y−c1 (x, y, z) = e 2 + ik1 x z ez ,(8.316)C02 y − C02 y2 + ik1 x z2c2 (x, y, z) = −eze .ikИтак, магнитогидродинамические характеристики представляют-ся следующими соотношениями:2 2C0 yvx = Re y e− 2 − iσt u1 (z),iσ − C02 y2 − iσt 00e 2vy = Reu1 (z),SC04C02 y 2iσ−y e 2 − iσt u01 (z),vz = Re2SC0C02 y 2b0z−iσt−u01 (z) + c1 (x, y, z),bx = Re − ye 2iσC02 y 2b0z(3)−−iσtby = Re −e 2u1 (z) + c2 (x, y, z),SC04C02 y 2b0z−−iσt00bz = Re −ye 2u1 (z) + c3 (x, y, z),SC02C02 y 2y−−iσtp = Re 2 e 2u1 (z) + d1 (x, y, z) ,C0b0z Z 0d1 (x, y, z) =c1z (x, y, z) dx,c01y = c02x ,µρs2 2C0 yiC02 y − C02 y2 + ik1 x z−+ikxz1c1 (x, y, z) = e 2ze ,c2 (x, y, z) =e 2ze ,kC02 y 2´i ³ 2z−22 42 + ik1 x ,k1 + C0 − y C0 (z − 1) ec3 (x, y, z) = −k1C02 y 2y−−iσtu01 (z) + d01z (x, y, z) .ρ = −Re 2 e 2C0Вид произвольных функций d1 (x, y, z) и c3 (x, y, z), а также связьc1 (x, y, z) и c2 (x, y, z), обусловлены уравнениями импульса и соленоидальности магнитного поля.– 346 –8.4.4.Предельный случай экваториальной динамикиВ этом пункте рассмотрим предельный случай экваториальной динамики, а именно, непосредственно зону экватора.
Полагая в основныхуравнениях в приближении экваториальной β-плоскости y = 0 и всеискомые функции не зависящими от y, при v = Re u(z)ei(kx − σt)xдля вертикальной структуры получим уравнение−k 2 u(z) + Au(z) = 0,(8.317)как следствие более общего уравнения (8.291). ЗдесьF 2 Sb20z σ 2 ∂ 2F b20z ∂ 3b20z ∂ 4 A(z) = −+++µρsS ∂z 2µρs ∂z 3 µρs S ∂z 4(8.318)суть дифференциальный оператор. Уравнение (8.317) с учетом выражения (8.318) запишем в видеσ 2 µ 00 µk 2 S(4)0002 2u + SF u + F S + 2 ρs u + 2 ρs u = 0,b0zb0z(8.319)которое удается проинтегрировать аналитически при k = 0.
В этомслучае уравнение (8.319) выглядит следующим образом:σ 2 µ 00(4)0002 2u + SF u + F S + 2 ρs u = 0.b0zПолагая далее u00 (z) = u2 (z), получим уравнение для u2 (z):σ2µu002 + SF u02 + F 2 S 2 + 2 ρs u2 = 0.b0z(8.320)Будем искать решение уравнения (8.320) в виде u2 (z) = ue 2 (ρs (z)).Учитывая соотношения2u02 (z) = ue 02 (ρs (z)) (ρ0s (z)) ,u002 (z) = ue 002 (ρs (z)) (ρ0s (z)) + ue 02 (ρs (z)) ρ00s (z),ρ0s (z) = −SF ρs ,ρ00s (z) = S 2 F 2 ρs ,преобразуем уравнение (8.320) в уравнение для функции ue 2 (ρs (z)):Ãρ2s ue 002!σµ+ 1 + 2 2 2 ρs ue 2 = 0,b0z S F– 347 –общее решение которого представимо в виде линейной комбинациифункций Бесселя и Неймана [46]:"Ã √!Ã √!#q2 σµ q2 σµ que 2 = ρs (z) C1 Jνρs (z) + C2 Yνρs (z) ,b0z SFb0z SF√где ν = i 3 и C1 , C2 — произвольные постоянные.
Таким образом,функция ue (ρs (z)) = u(z) является решением неоднородного уравненияue 0ue 2u += 2 2 2,ρsS F ρsобщее решение которого имеет видe 00Zue (ρs (z))= u(z) =u3 (ρs (z)) dρs ,гдеZ ue2C1+ 2 2d (ln |ρs |) .ρs S F ρs ρ2sГраничное условие vx → 0 при z → −∞ выполняется вследствиеu3 (ρs (z)) =представления функции vx в виде произведения ограниченных функций на ρ0s (z), которая в условиях рассматриваемой задачи равна нулю при больших значениях аргумента.
Тогда из уравнения индукциимагнитного поля получимib0z −iσt 0eu (z) + C1 (x, z).σИз условия bx → 0 при z → −∞ следует, чтоib0z −iσt 0eu (z) + C1 (x, z) → 0приz → −∞.σТак как u0 (z) = u3 (ρs (z)) ρ0s (z), то u0 (z) → 0 и при z → −∞, и, слеbx (x, z) =довательно, необходимо потребовать: C1 (x, z) → 0 при z → −∞. Изусловия bx (x, 0) = 0 следует u0 (0) = 0 или u3 (ρs (0)) = 0 и C1 (x, 0) = 0,откуда¯1 Z ue 2¯¯dln|ρ|.C=− 2 2s¯z=0S Fρ2sИз уравнения неразрывности и граничного условия vz = 0 при z = 0следует, что vz ≡ 0, тогда из уравнения (8.266) получаемp(x, z, t) = f1 (x, t) + f2 (x, z),– 348 –где f1 и f2 — произвольные функции своих аргументов. Из уравненийиндукции и соленоидальности магнитного поляZbz (x, z) = −0(x, z) dz,C1xа из уравнения импульса и уравнения (8.269)b0z Z 0C1z (x, z) dx + C3 (x, t),f1 (x, t) + f2 (x, z) =µρzb0z ρ0s Z 0b0z Z 000ρ(x, z, t) =CC1zz (x, z) dx + C3z(x,z)dx+(x, t).1z2µρsµρsПусть далее k 6= 0.
Система уравнений (8.264)–(8.269) в условияхрассматриваемой задачи приобретает вид∂vx ∂p11 ∂ 2pDbx = 0, vz = −+−,∂t∂x µρsS ∂t∂z∂vx ∂vz∂bx ∂bz(8.321)+= 0,+= 0,∂x∂z∂x∂z∂bx∂bz∂p= Dvx ,= Dvz , ρ = − , vy = 0, by = 0.∂t∂t∂zБудем искать решение системы (8.321) в виде функций с разделяющимися переменными видаvx = u(x, t)G(z),vz = W (x, t)G1 (z),bx = Bx (x, t)G3 (z),p = P (x, t)G2 (z),bz = Bz (x, t)G4 (z).(8.322)Подставляя выражения (8.322) в уравнения системы (8.321), получимусловия, связывающие функции, которые описывают вертикальнуюструктуру магнитогидродинамических полейG = G11 01b0z 000G2 , G = G002 , G3 =G ,SSS 2G4 = b0z G01 , G01 = bS0z G002 ,G1 =(8.323)и следующие уравнения:∂u∂P= 0,+ W = 0,∂t∂x(8.324)∂Bx∂Bz∂Bx= u,= W,+ Bz = 0,∂t∂t∂xв то время как первое уравнение системы (8.321) приводится к видуW+b0z∂u ∂P+G2 −Bx G03 = 0.∂t∂xµρs(8.325)– 349 –Для существования решения вида (8.322) необходимо выполнение соотношения∂P= C 0 Bx∂x(8.326)или соотношения∂P= 0.(8.327)∂xПри выполнении соотношения (8.326) функция G2 (z) с учетом уравнения (8.325) и соотношений (8.323) удовлетворяет уравнению(4)G2 +λµC0 µ00ρG−ρs G2 = 0,s2b20zb20z(8.328)где λ — постоянная разделения, а система уравнений (8.324) дополнится уравнением∂u+ λBx = 0.∂tИз соотношения (8.326) следует, чтоC0тогда, с учетом уравнения(8.329)∂Bx∂ 2P=,∂t∂t∂x∂Bx= u, получим∂t1 ∂ 2Pu=.C0 ∂t∂x(8.330)Уравнение (8.329) с учетом соотношений (8.326) и (8.330) принимаетвид∂P∂ 3P+λ= 0.∂t2 ∂x∂xИнтегрируя последнее уравнение, получимfP (x, t) = C1 (x) cos√fλt + C2 (x) sin√λt,(8.331)ffгде C1 (x), C2 (x) — произвольные функции своих аргументов.
Из урав-нений системы (8.324) получаемW =−∂P,∂tи∂u ∂P−= 0,∂x∂t– 350 –Исключая u(x, t) из последнего уравнения с помощью соотношения(8.330), получим∂ 3P∂P−C= 0,0∂t∂x2∂tи его общее решениеP (x, t) = C3 (t) cos√−C0 x + C4 (t) sin√f2−C0 x, C0 < 0, C0 = −C0.(8.332)Проводя далее сравнение выражений (8.331) и (8.332), получаемследующее выражение для функции P (x, t):µP (x, t) = cosfC0x+√¶λt .(8.333)Полагая далее, P (x, t) = ei(kx − σt) и подставляя P (x, t) в систему(8.324) и соотношение (8.326), получимλ = σ2,иC0 = −k 2 .(8.334)Таким образом, функции u(x, t), Bx (x, t), Bz (x, t) и W (x, t) определяются уравнениями системы (8.324) и полученным выражением дляP (x, t):∂P1 ∂ 2Pkσ i(kx − σt)i(kx−σt)W (x, t) −e,= iσ e, u(x, t) ==∂tC0 ∂x∂tC01 ∂Pik i(kx − σt)∂BzBx (x, t) ==e,= W,C0 ∂xC0∂tследовательно,∂P∂Bz=−∂t∂tи Bz (x, t) = −P (x, t) + C3 (x) = −ei(kx − σt) + C3 (x).Вертикальная структура всех искомых функций определяется функцией G2 (z), которая удовлетворяет уравнению (8.328), решить которое аналитически затруднительно.∂P= 0.
При этом∂xпеременные x, t и z в уравнении (8.325) разделяются, а уравненияПроанализируем далее решение задачи в случае– 351 –(8.324) и (8.329) принимают вид∂u+ λBx = 0,∂t∂Bx= u,∂t∂P (t)∂u= 0,+ W = 0,∂t∂x∂Bz∂Bx= W,+ Bz = 0,∂t∂xW+откуда следует, что W = W (t), u = u(t), W ≡ 0, P ≡ 1, Bx (x, t) =R= u(t) dt + C1 (x), Bz = C2 (x), C2 (x) = −C10 (x), а функция u = u(t)является решением уравненияd2 u+ λu = 0,dt2√iоткуда u(t) = e λt , следовательно,√i i λtBx = − √ e+ C1 (x).λ∂P= 0 из уравнения (8.325) получаем уравнение для функ∂xции G2 (z):λµρs(4)(8.335)G2 + 2 G002 = 0.b0zПриfПолагая G002 = G2 , уравнение (8.335) принимает видf00G2 +λµρs fG2 = 0.b20z(8.336)Будем искать решение уравнения (8.336) в видеfffG2 = G2 (ρs (z)) .Учитывая соотношенияf00f0fG2 (z) = G2 (ρs (z)) ρs (z),f 002f0000f00ffG2 (z) = G2 (ρs (z)) (ρs (z)) + G2 (ρs (z)) ρs (z),ρ0s (z) = −SF ρs ,ρ00s (z) = S 2 F 2 ρs ,ffпреобразуем уравнение (8.336) в уравнение для функции G2 (ρs (z)):f 00ff 2fG2 ρs (z) + G2 ρs +λµρs ffG2 = 0,222b0z S F(8.337)– 352 –общее решение которого представимо в виде линейной комбинациифункций Бесселя и Неймана нулевого порядка [46]: √ √qqλµ2λµ2ffG2 (ρs (z)) = C3 J0 ρs (z) + C4 Y0 ρs (z) ,b0z SFb0z SF(8.338)где C3 и C4 — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
