Диссертация (1145260), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

В случае же, если мнимая часть частоты σ отрицательная,неустойчивость колебаний не возникает.Проведем дальнейший анализ для случая постоянной невозмущенной глубины слоя.Пусть H0 = const и bz0 − bz0 = Re Bei(kx + ly − σt) . Тогда урав(e)нение для ξ имеет решениеξ = Re Aei(kx + ly − σt) ,если выполняется дисперсионное соотношение³2σ −´2 2 2ασ´(k 2 + l2  ³ 2(b0x k + b0y l)2+iσ k + l2 (b0x k + b0y l) =−µρRm– 386 –=B.Ai(µρ)2 H0(9.67)(e)В частности, при bz0 = bz0 из соответствующего соотношения имеем³σ2 − α´2 2откудаσ = ±α,(k 2 + l2 (b0x k + b0y l)2σ 2 −+iσ = 0,µρRmσ=vuu 4(b ku0x±t+ b0y l)2 (k 2 + l2 )2(k 2 + l2 )−−i.2µρRm2RmДля частоты σ имеются две четко разделяющиеся ветви.

Первыйтип колебаний — инерционная волна. В них существенную роль играют инерция и кориолисова сила. Частота инерционных волн вещественна, эти волны устойчивы. Второй тип колебаний — магнитныеволны. Их частота — комплексна. Но в силу того, что мнимая частьчастоты σ отрицательная, магнитные волны неустойчивость также необнаруживают.Заметим, что при b0 = 0(k 2 + l2 ),σ = −i2Rm(k 2 + l2 ) ξ = A exp −t cos(kx + ly).RmТаким образом, диффузия магнитного поля способствует его затуханию, в то время, как в случае вмороженного поля наблюдается установившейся во времени процесс, т.е. индуцированное магнитное полеможет существовать сколь угодно длительное время.

В частности,при Rm → ∞ получаем известное дисперсионное соотношение дляволны Альфвена [6]kb0x + lb0y.√µρВ результате проведенной редукции краевая задача для системыσ=±уравнений в частных производных свелась к одному скалярному уравнению, для которого в аналитическом виде построено точное решение, описывающее волны малой амплитуды в бесконечно протяженном горизонтальном прямолинейном слое. В проведенном исследовании произведен учет диссипативных эффектов, а именно, изучено– 387 –влияние диффузии магнитного поля на его генерацию и устойчивостьволнового режима.§ 9.2.Редукция в моделировании динамики вращающегося слоя электропроводной жидкости с учетом диффузии магнитного поля и граничных эффектовПроведем анализ основной исследуемой системы, используя граничные условия p(x, y, −hB ) = p0 (x, y, t) и b(x, y, −hB ) = b0 (x, y, t),тогдаb20b2p+= p0 +− ρg(hB + z).(9.68)2µ2µСледствием линейной зависимости от z правой части выражения(9.68) является независимость от z горизонтального градиента гидромагнитного давления:∂ p+∂x∂ p+∂yb2 =2µb2 =2µ∂ b2p0 + 0 − ρghB  ,∂x2µ∂ b20p0 +− ρghB  .∂y2µТогда и горизонтальные компоненты скорости и магнитного поля независят от z, в случае их независимости от z в начальный моментвремени.Полагая последнее свойство выполненным, из уравнений основнойсистемы∂vx∂vx∂vx+ vx+ vy=∂t∂x∂yÃ!∂  p0b201∂bx∂bx2ωvy −+− ghB +bx+ by,(9.69)∂x ρ2µρµρ∂x∂y∂vy∂vy∂vy+ vx+ vy=∂t∂x∂yÃ!∂  p0b201∂by∂by= 2ωvx −+− ghB +bx+ by.∂y ρ2µρµρ∂x∂y– 388 –Проинтегрируем, далее, уравнение соленоидальности магнитного поля по z:Ã!∂bx ∂bybz (x, y, z, t) = −z++ ae (x, y, t).∂x∂yИспользуя условие задания нормальной компоненты магнитного поляна поверхности z = −hB ,получимbn (x, y, −hB , t) = Bn0 (x, y, t)или∂hB∂hBbx+ by+ bz = Bn0∂x∂yvuuu(x, y, t)t1Ã∂hB+∂x!2Ã∂hB+∂y!2,илиbx∂hB∂hB+ by+ bz = bn0 (x, y, t),∂x∂yгдеbn0 = Bn0vuuu(x, y, t)t1Ã∂hB+∂xz = −hB (x, y, t),!2Ã∂hB+∂y!2,поэтомуÃ!∂hB∂hB∂bx ∂by,ae (x, y, t) = bn0 (x, y, t) − bx− by− hB+∂x∂y∂x∂yследовательно,Ã!∂bx ∂by∂hB∂hBbz (x, y, z, t) = −(hB + z)+− bx− by+ bn0 (x, y, t).∂x∂y∂x∂y(9.70)Краевое условие для bn на поверхности z = −Z(x, y) имеет вид∂Z∂Z(e)+ by+ bz = bn0 (x, y, t).bx∂x∂yИз равенства (9.70) и последнего соотношения имеем∂∂(e)[(hB − Z)bx ] +[(hB − Z)by ] = bn0 (x, y, t) − bn0 (x, y, t).∂x∂yТаким образом, вследствие условия δ ¿ 1 получим∂vx∂vx∂vx+ vx+ vy=∂t∂x∂yÃ!∂  p0b201∂b∂bxx= 2ωvy −+− ghB  +bx+ by,(9.71)∂x ρ2µρµρ∂x∂y– 389 –∂vy∂vy∂vy+ vx+vy=∂t∂x∂yÃ!∂  p0b201∂b∂byy= −2ωvx −+− ghB  ++ bybx,(9.72)∂y ρ2µρµρ∂x∂y∂hB∂∂+[(hB − Z)vx ] +[(hB − Z)vy ] = 0,(9.73)∂t∂x∂y∂∂(e)[(hB − Z)bx ] +[(hB − Z)by ] = bn0 (x, y, t) − bn0 (x, y, t), (9.74)∂x∂y∂bx∂bx∂bx∂vx∂bx1+ vx+ vy− bx− by=∆2 bx ,(9.75)∂t∂x∂y∂x∂yRm∂by∂yx∂by∂vy∂by1+ vx+ vy− bx− by=∆2 by .(9.76)∂t∂x∂y∂x∂yRmв которой, в сравнении с исходной системой меньшее число динамических уравнений, искомых функций (за счет исключения vz и bz изуравнений исходной системы) и независимых переменных (так как zне входит больше в явном виде в динамические уравнения).

Искомыепеременные vx , vy , bx , by , hB являются функциями только x, y, t, афункции vz и bz зависят от z линейно. В уравнениях (9.75) и (9.76)∂2∂2∆2 = 2 + 2 . В дальнейшем изложении индекс у двумерного опе∂x∂yратора Лапласа опускается.К уравнениям (9.71)–(9.76) добавляются граничные условия непротекания через вертикальные границы рассматриваемой области и задание магнитного поля на них:vx cos(n, x) + vy cos(n, y) = 0,bx = b(L)x ,by = b(L)y ,(9.77)(x, y) ∈ L,где n — нормаль к горизонтальному сечению границы области.9.2.1.Малые возмущенияВведем функцию полной глубины H = hB − Z.

Пусть толщина жидкого слоя в состоянии покоя равна H0 (x, y). Представим функциюH(x, y, t) в видеH(x, y, t) = H0 (x, y) + η(x, y, t),(9.78)– 390 –где η(x, y, t) — малое возмущение, характеризуемое неравенствомη ¿ H0 .Для описания распространения малых возмущений применим стандартный в механике сплошных сред метод линеаризации системыдифференциальных уравнений, описывающих поведение среды.

Будем искать решение системы (9.71)–(9.76) в видеv = v0 + v0 (x, y, t),b = b0 + b0 (x, y, t),(9.79)предполагая, что малые возмущения горизонтальной скорости v0 , горизонтального магнитного поля b0 распространяются по некоторомустационарному однородному фону, описываемому постоянными величинами v0 , b0 . Рассмотрим случай v0 = 0.Подставив (9.78) и (9.79) в уравнения (9.71)–(9.76) и сохранив члены только первого порядка малости по v0 , b0 , η, получим системууравненийÃ!∂vx∂η 1 ∂ b20 1∂bx∂bx− αvy = g−p0 ++b0x+ b0y, (9.80)∂t∂x ρ ∂x2µµρ∂x∂yÃ!∂vy∂η 1 ∂ b20 1∂by∂by+ αvx = g−p0 ++b0x+ b0y, (9.81)∂t∂y ρ ∂y2µµρ∂x∂y∂η∂∂+(H0 vx ) + (H0 vy ) = 0,∂t ∂x∂yÃ!∂H0∂H0∂bx ∂by++ bx+ by+H0∂x∂y∂x∂y∂η∂η∂H0∂H0+b0x+ b0y+ b0x+ b0y=∂x∂y∂x∂yr= Bn0 1 + |∇H0 |2 + |∇Z|2 + 2 [h∇H0 , ∇(Z + η)i + h∇Z, ∇ηi]−(e)∂bx∂t∂by∂t−bn0 (x, y, t),∂vx∂vx− b0x− b0y=∂x∂y∂vy∂vy− b0x− b0y=∂x∂y(9.82)1∆bx ,Rm1∆by .Rm(9.83)(9.84)Здесь α = 2ω.

Аппроксимируем правую часть уравнения (9.82) сле-– 391 –дующим образом:v Ãuutf 1!1(e)Bn0+ h∇η, ∇(H0 + Z)i − bn0 (x, y, t) ≈f!Ãq1(e)≈ Bn0 f 1 + h∇η, ∇(H0 + Z)i − bn0 (x, y, t),2f(9.85)f = 1 + |∇H0 |2 + |∇Z|2 + 2h∇H0 , ∇Zi.Рассмотрим далее систему (9.80), (9.81), (9.83) и (9.84), представленную в виде∂η ∂P1∂vy∂η ∂P1∂vx− αvy = g++ Dbx ,+ αvx = g++ Dby ,∂t∂x ∂x µρ∂t∂y∂yµρ(9.86)∂by∂bx11∆bx ,∆by ,(9.87)= Dvx += Dvy +∂tRm∂tRm1b20 где D = hb0 , ∇i — дифференциальный оператор, P = − p0 + ‘ .ρ2µeeeВведем в рассмотрение функции η(x,y, t), bx (x, y, t), by (x, y, t), определяемые равенствами´1 ³ey, t),η(x, y, t) = Dt Dt2 + α2 η(x,g³´22 ebx (x, y, t) = µρDt Dt + α bx (x, y, t),´³by (x, y, t) = µρDt Dt2 + α2 bey (x, y, t),´³fP (x, y, t) = Dt Dt2 + α2 Py (x, y, t),(9.88)(9.89)(9.90)(9.91)∂.∂tЗаметим, что соотношениями (9.88)–(9.90) функции η, bx , by опре-где Dt =деляются неоднозначно: если функция η0 (x, y, t) удовлетворяет соотношению (9.88), то, очевидно, соотношению (9.88) удовлетворяет ифункция видаηe = η0 (x, y, t) + η1 (x, y) + η2 (x, y) cos αt + η3 (x, y) sin αt,где ηj (x, y), j = 1, 2, 3, — произвольные функции.(9.92)– 392 –fАналогично, в (9.89)–(9.91) функции bex , bey и Pпредставимы в виде(1)(2)(3)bex = b(0)x (x, y, t) + bx (x, y) + bx (x, y) cos αt + bx (x, y) sin αt, (9.93)(1)(2)(3)bey = b(0)y (x, y, t) + by (x, y) + by (x, y) cos αt + by (x, y) sin αt, (9.94)fP= p0 (x, y, t) + p1 (x, y) + p2 (x, y) cos αt + p3 (x, y) sin αt,(9.95)(j)где b(j)x , by , pj , j = 1, 2, 3 — произвольные функции своих аргументовв рассматриваемой области.Подставив функции η, bx , by из (9.88)–(9.90) в уравнения (9.86), получим в матричном виде³= Dt Dt2 +ex´ ηα2 ηeyDt −αα++vxDtfPx f Pyvy=´³+ Dt Dt2 + α2 D ebx.eby(9.96)Интегрирование соотношения (9.96) по t приводит к равенствуvxvy= Dt Dtex + ηηey +Dtα−α+C1 (x, y) cos αt− sin αtfPx f Py+ DDt Dt−αα  bx  e +Dtbycos αt+ C2 (x, y) e− sin αt,(9.97)где C1 (x, y), C2 (x, y) — произвольные функции.f e e fe PПодставляя в (9.97) функции η,, bx , by , P из (9.92)–(9.95), полу-чимvxvy= Dt Dtα−α Dtη0x + p0xη0y + p0y+∂(η2 + p2 ) ∂(η3 + p3 ) −−+ C1 (x, y) − α2 ∂x∂y−α(2)2  ∂(bx+∂xb(2)y )+ C2 (x, y) − α−∂(b(3)x+∂y2  ∂(η2(3)by )  cos αt− sin αt++ p2 ) ∂(η3 + p3 ) +−∂y∂x– 393 –−α(2)2  ∂(bx+∂yb(2)y )+∂(b(3)x+∂x+DDt (3)by )  α−α Dtsin αtcos αt+Dtb(0)xb(0)y.(9.98)Рассмотрим вектор C(x, y) = (C2 (x, y), −C1 (x, y), 0) ∈ H2 (Ω),Cj (x, y) ∈ L2 (Ω), j = 1, 2.

Воспользуемся следующей леммой [34].Лемма. Для любого вектора C(x, y) ∈ H2 (Ω) найдутся функцииϕ(x, y), ψ(x, y) ∈ L2 (Ω), такие, что C = (ϕx + ψy , ϕy − ψx , 0), гдеϕx (x, y), ϕy (x, y), ψx (x, y), ψy (x, y) — обобщенные частные производные функций ϕ(x, y) и ψ(x, y).Доказательство леммы приведено в [34]. Используя лемму и полагая в (9.98)ψ(x, y),α2³´ϕ(x, y)(3)η3 + p3 + b(3)(x, y) =,x + byα2³´(2)η2 + p2 + b(2)(x, y) =x + byполучимvxvy= Dt Dt−α+DDt fPx +f PyDt−αex + ηηey +Dteα  bx  e .Dtbyα(9.99)Подставляя vx и vy из (9.99) в уравнения (9.87) и (9.82), получимeee bсистему уравнений для функций η,x и by :³µρDt Dt2+α2´Ã!³³´³´´∆ effey + Pbx = DDt Dt ηex + P+Dt −x +α ηyRm³´³´+D2 Dt Dt bex + αbey ,Ã!³´³³´³´´∆ e22ffeeµρDt Dt + αDt −by = DDt Dt ηy + Py − α ηx + Px +Rm+D2 Dt Dt bey − αbex ,Ã!³´´∂ e∂ eD ³22µρDt Dt + α(bx H0 ) + (by H0 ) + Dt Dt2 + α2 ηe + DH0 =∂x∂yg– 394 –= Bn0"#´11 ³(e)e − bn0 (x, y, t).f 1 + h∇(H0 + Z), Dt Dt2 + α2 ∇ηi2fgqeefe e fe e fee be bПереход от функций η,x , by , P к функциям η,x , by , P по формуламefebex = Dt bex ,eηee = Dt η,bey = Dt bey ,ffP= Dt Pприводит последнюю систему к системе"Ã∆µρ Dt −Rm!·³Ãµρ Dt −∆Rm+αµηee= D Dt"Dt2!·³x+ffPx´#2ee− D Dt bex − αD2 bey =¶µηee+αy´ffPy+#¶¸,(9.100)eeDt2 + α2 − D2 Dt bey + αD2 bex =µ= D Dt2ηeey"+ffPyµ¶µ−αηeexffPx+¶¸,(9.101)¶#¶´ ∂∂ µ ee1 ³ 2e2eD +αH 0 bx +H0 by =H0 t∂x∂y"#´1 ³ 2Bn02ee ∇ (H + Z)i −√ h∇η,=−D + α Dηee +0gµρH0 t2H0 fbn0 (e)(x, y, t)DH0−.(9.102)−µρH0µρH0Запишем далее уравнения (9.100) и (9.101), опуская знак "двойной"тильды, в видеFbx − αD2 by = D [Dt (ηx + Px ) + α (ηy + Py )] ,Fby + αD2 bx = D [Dt (ηy + Py ) − α (ηx + Px )](9.103)с использованием оператораF = µρ³Dt2+α2´!Ã∆ 2α − D2 Dt .Dt −Rm(9.104)Введем в рассмотрение функцию ξ(x, y, t), определяемую равенством³´η(x, y, t) = F 2 + (αD2 )2 ξ(x, y, t).(9.105)Подставив функцию η из (9.105) в уравнения (9.104), получим в матричном видеF−αDαD2F2bxby³= D F 2 + (αD2 )2´Dtα−α Dtξx + Px.ξy + Py(9.106)– 395 –Интегрирование по t соотношения (9.106) приводит к равенствуbxbyF= DαD−αD22FDtα−α Dtξ x + Pxξ y + Py.(9.107)Процедура исключения произвольных функций результата интегрирования рассмотрена выше.Перемножив матрицы в правой части соотношения (9.107), получимbxby2Dt F − α D= D³−α F + D2 Dtили×!ó2α F+´´ D Dt 2 22Dt F − α Dξx + P xξy + P y,bxby´³= D Dt2 + α2 ×Ã!∆∆− D2αµρ Dt −Dt µρ Dt −R!mà Rm!Ã∆∆−αµρ Dt −Dt µρ Dt −− D2RmRmξx + P xξy + P y.(9.108)Подставив выражение (9.108) в уравнение (9.102), получим уравнениедля функции ξ(x, y, t):Ã Dt!∆D2 22−D Dt + αDt −∆2 ξ+RmµρÃ!¿À2³´2∆D22 Dt −+ ∇H0 , D Dt + αDt −∇ξ −RmµρÃÃ! !´³∆22 2D ln H0 , D Dt + αDt −ξRm+−αD(x, y)"¿À#³´·³´2 ¸1Bn0√ ∇ξ, ∇(H0 + Z) =+D2 + α2 F 2 + αD2Dξ +g(µρ)2 H0 t2H0 f³´2Ã(e)!³´DH0 + bn0D2 ∆22 2=−−DDD−×+αD−ttt(µρ)2 H0Rmµρ·¿À¸× ∆2 P − ∇ ln H0 , ∇P+αD³Dt2+α´2 2Ã+!∆ D (ln H0 , P )Dt −RmD(x, y)(9.109)– 396 –или³D Dt2 + ô2 α2  Dt −Ã!¿À¸∆D2  ·Dt −∆2 ξ + ∇ ln H0 , ∇ξ −RmµρÃ! !∆D ln H0 , α Dt −ξ Rm+−D(x, y)"#À³³´·´ ¸1Bn0 ¿2222 2√+D+αF+αD∇ξ,∇(H+Z)Dξ+=0g(µρ)2 H0 t2H0 fÃ(e)!³´DH0 + bn0∆D2 22 2=−− D Dt + αDt −Dt −×(µρ)2 H0Rmµρ!÷¿À¸³´∆ D (ln H0 , P )22 2.× ∆2 P − ∇ ln H0 , ∇P + αD Dt + αDt −RmD(x, y)(9.110)На основании изложенного приходим к следующему выводу.Утверждение.

Характеристики

Список файлов диссертации