Диссертация (1145260), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Первый член представляет собой относительный вихрь, второй описывает вклад от изменений глубины слоя.Последний член несет вклад, обусловленный рельефом поверхностиz = −Z(x, y) и не зависит от движения. Правая часть уравнения(9.125) вносит вклад в уравнение вихря, обусловленный наличиеммагнитного поля.Итак, задача определения квазигеострофического движения сводится к решению системы трех нелинейных уравнений для возмущения поверхности η (или, что то же, для гидромагнитного давления)и для функций f1 (η) и f2 (η), описывающих магнитное поле. Получиврешения η, f1 и f2 уравнений (9.125)–(9.127), компоненты скорости vx ,vy и поля bx , by можно определить из соотношений представленныхранее.Решение η будем искать в видеη = Aei(kx + ly − σt) .Тогда система (9.125)–(9.127) принимает вид!Ã∂ηb∂ηb−k=i −σ(k + l ) + σF + l∂x∂y³´= M f100 (klf1 + l2 f2 ) − f200 (k 2 f1 − klf2 ) Aei(kx + ly − σt) +2³2´+ f10 (klf1 + l2 f2 ) − f20 (k 2 f1 + klf2 ) ,−iσf10 + klf1 + l2 f2 =1 0 21 00 2f1 (k + l2 )Aei(kx + ly − σt) −f1 (k + l2 ),=−RmRmiσf20 + k 2 f1 + klf2 =1 0 21 00 2f2 (k + l2 )Aei(kx + ly − σt) +f2 (k + l2 ).=RmRm(9.128)(9.129)(9.130)– 405 –Функции f1 (η) и f2 (η) в аналитическом виде найдем из системыуравнений (9.129), (9.130).
Исключив функцию f2 из этой системы,получимÃ!11 21 2f2 = 2 iσf10 − klf1 − f100(k + l2 )η − f10(k + l2 ) .lRmRm(9.131)Тогда для функции f1 (η) получим уравнениеÃ!1 22 2(4)(k + l2 )η 2 f1 + 2(k 2 + l2 ) −iσ +(k + l2 ) η 2 f1000 +RmRm!ó´1 2(k + l2 ) iσRm − 2(k 2 + l2 ) f100 = 0+ iσ −Rmи его общее решениеf1 (η) =C3C4η λ1 + 2 +η λ2 + 2 + C1 η + C2 ,(λ1 + 1)(λ1 + 2)(λ2 + 1)(λ2 + 2)гдеqλ1,2a − b ± (b − a)2 − 4ac=,2ak 2 + l2a=,2Rmk 2 + l2 22 b = 2(k + l ) −iσ + 2,Rm´k 2 + l2 ³22iσR−2(k+l).c = −iσ −m2RmВид функции f2 определяется по формуле (9.131).
Но уравнению(9.128) удовлетворяют лишь функции f1 и f2 , для которых C3 и C4равны нулю. Таким образом,f1 (η) = C1 η + C2 ,2(9.132)2iσ − kR+lkC2 kC1mf2 (η) =C−−η.1l2ll(9.133)С учетом выражений (9.132) и (9.133) уравнение (9.128) принимаетвид∂ηBM C12 2i(k 2 + l2 ) ∂ηB2 22−k= 2 (k + l ) σ +.−σ(k + l ) + σF + l∂x∂ylRm(9.134)– 406 –Заметим, что уравнение, представляющее собой условие квазисоленоидальности магнитного поля, удовлетворяется тождественно.Таким образом, справедлив следующий вывод. Для бесконечно протяженной по горизонтали электропроводной вращающейся жидкостипри ∇ηb = const, что эквивалентно предположению о примерном постоянстве наклона поверхности z = −Z(x, y) на расстоянии длиныволны, имеем точное решение системы нелинейных уравнений (9.124):∂η∂η,vy = − ,∂y∂xkC2iσ −Rm C − kC2 − kC1 η.by =1l2llη = Aei(kx+ly−σt) ,bx = C1 η + C2 ,vx =Из уравнения (9.134) следует следующее дисперсионное соотношение∂ηb∂ηb i(k 2 + l2 )C12 Mk−l+∂y ∂x Rm l 2σ=.2kF − 1 + 2 (l2 + C12 M )l(9.135)Отметим, что в случае C1 M = 0 дисперсионное соотношение имееттот же вид, что и для низкочастотной волны Россби в неэлектропроводной жидкости.
В обоих случаях волны с более высокой частотойоказываются отфильтрованными в силу априорного предположенияо квазигеострофическом характере движения. При Rm → ∞ дисперсионное соотношение (9.135) принимает вид дисперсионного соотношения, полученного ранееВ действительной форме основные характеристики движения выглядят следующим образом:η(x, y, t) = Aeσ2 t cos(kx + ly − σ1 t),bx (x, y, t) = (a cos(kx + ly − σ1 t) − b sin(kx + ly − σ1 t)) Aeσ2 t + C2 ,kby (x, y, t) = (b sin(kx + ly − σ1 t) − a cos(kx + ly − σ1 t)) Aeσ2 t −l– 407 –bσ1 + aσ2 +−l2k 2 +l2Rm akC2 ,−lvx = −lAeσ2 t sin(kx + ly − σ1 t),vy = kAeσ2 t sin(kx + ly − σ1 t).Здесьσ1 =∂ηb∂ηb 2abM (k 2 + l2 )2 k2 2k−l−F − 1 + 2 (l + (a2 − b2 )M )2∂y∂xl Rml22k2 2k2 2 − b2 )M ) + 4a2 b2 M 2 1 +F − 1 +(l+(al2l22abM 2 (k 2 + l2 )3 (a2 − b2 )l 4 Rm−2 ,22 2kkF − 1 + (l 2 + (a2 − b2 )M ) + 4a2 b2 M 2 1 +l2l2222 2k∂η∂η2abM(k+l)bb2abM 1 + 2 k−l−l∂y∂xl2 Rmσ2 = 2 +22 2kkF − 1 + (l 2 + (a2 − b2 ))M + 4a2 b2 M 2 1 +22ll2 ³´k(k 2 + l2 )2 (a2 − b2 )M F − 1 + 2 l2 + (a2 − b2 )M 2l Rml+2 ,22 2kkF − 1 + (l 2 + (a2 − b2 ))M + 4a2 b2 M 2 1 +l2l2при этом a, b, σ1 , σ2 ∈ R, C1 = a + ib,σ = σ1 + iσ!2 .
При Rm → ∞ знакÃ∂ηb∂ηbσ2 зависит от знака выражения ab k−l. Для существования∂y∂xограниченного решения необходимо, чтобы удовлетворялось неравенствоÃ!∂ηb∂ηb−l< 0.ab k∂y∂xПроекция уравнения магнитной индукции на вертикальную осьпозволяет установить связь между амплитудой внешнего магнитного поля, рельефом внешней поверхности слоя, амплитудой колебанийвнутренней границы и амплитудой генерируемого магнитного полявнутри жидкого слоя. Действительно, в условиях рассматриваемой−– 408 –задачи уравнение [5] при bz = b(e)z0 принимает видÃ!∂ηk 2 + l2D,Ziσ−(e)(e)∂bz0D(η, bz0 )1∂yRm++C−= 0,∆b(e)12∂tD(x, y)lD(x, y)Rm z 0из которого для периодического по горизонтальным координатам ивремени поля b(e) , т.е., например, при b(e) = Bei(kx + ly − σt) следует,z0чтоz0Ã!k ∂Z ∂Z−.(9.136)B = AC1l ∂y∂xСледует отметить, что полученное соотношение (9.136) имеет тотже вид как и в случае вмороженного магнитного поля.Подведем итоги выполненного в данной главе исследования.Представленные аналитические решения позволяют судить о влиянии динамики рельефа области на магнитогидродинамические характеристики волнового процесса внутри жидкого слоя.Представленные исследования позволяют сделать вывод о том, чтогенерация магнитных полей в электропроводной жидкости являетсяследствием неустойчивости, характеризуемой соответствующими соотношениями между силами гравитации, Кориолиса, магнитной силой и особенностями топографии рельефа.В представленном исследовании с внешним магнитным полем, параллельным оси вращения слоя, диффузия магнитного поля способствует его затуханию.
Доказано существование периодического процесса при стремлении магнитного числа Рейнольдса к бесконечности. В случае, когда вектор внешнего магнитного поля параллеленнормальному вектору к поверхности жидкого слоя, доказано существование волн, обусловленных не только магнитными силами, но исилами Кориолиса и силами гравитации. Причем, при отключениивнешнего поля, параллельного оси вращения слоя, имеет место установившийся режим, а при отключении внешнего поля, параллельногонормальному вектору к поверхности жидкого слоя существует и уста-– 409 –новившийся режим и режим с возможной неустойчивостью.
Причем,установившийся режим имеет место при быстром вращении, а примедленном вращении может быть и возрастание и затухание поля.Итак, на генерацию магнитного поля влияет сила Кориолиса, гравитация, диффузия магнитного поля, магнитная сила, топографияграничных поверхностей.Построена математическая модель динамики пространственных крупномасштабных движений во вращающемся слое идеальной электропроводной несжимаемой жидкости переменной глубины с учетом диссипативных эффектов. Проведена редукция соответствующей линейной системы уравнений в частных производных к одному скалярномууравнению.Сформулировано и доказано утверждение об аналитическом представлении решения задачи о малых возмущениях в слое идеальнойнесжимаемой однородной электропроводной вращающейся жидкостис учетом эффектов диффузии магнитного поля, что позволило построить в явном виде решение, описывающее волны малой амплитуды в бесконечно протяженном по горизонтали прямолинейном слое.В проведенном исследовании произведен учет диссипативных эффектов, а именно, изучено влияние диффузии магнитного поля на егогенерацию.
Доказана возможность существования индуцированногополя на достаточно длительном временном промежутке, а также егосуществование при отключении фонового внешнего поля.В нелинейной постановке рассмотрена задача о квазигеострофических движениях во вращающемся слое электропроводной жидкостипеременной глубины с учетом диссипативных эффектов.Доказано существование волновых колебаний, обусловленных совместным действием магнитных сил, гравитационной силы, силы Кориолиса и граничными эффектами.
Их частота, вообще говоря, —комплексна, а, следовательно, эти волны могут обнаруживать неустой-– 410 –чивость. В то же время, управляя значением фонового магнитногополя, можно наблюдать установившийся во времени процесс, то есть,индуцированное магнитное поля может существовать сколь угоднодлительное время.Результаты данной главы основаны на публикациях [158, 230, 232,235].ЗаключениеВ заключение приведем основные результаты и выводы выполненного исследования.1. Изучен процесс распространения пространственных длинныхволн малой амплитуды во вращающемся прямолинейном канале постоянной и переменной глубины. В случае глубины жидкости, изменение которой от стенки к стенке удовлетворяет уравнению Абелявторого рода, получено точное решение краевой задачи. В частности,это имеет место при изменении глубины канала по экспоненциальному закону.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
