Диссертация (1145260), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Полагая G2 (z) = G2 (ρs (z)),для функции G2 (ρs (z)) получаем неоднородное уравнениеG002 ρ2s+G02 ρsfG2= 2 2,S Fобщее решение которого представимо в видеfln |ρs (z)| Z G2 dρs (z)−G2g.n. (ρs (z)) = C1 + C2 ln |ρs (z)| +S 2F 2ρ2s W1 Z ln |ρs (z)| f dρs (z)− 2 2G2,S Fρ2sWгде W =в виде1— определитель Вронского функций 1 и ln |ρs (z)|, или,ρs (z)G2 (ρs (z)) = G2 (z) = C1 + C2 ln |ρs (z)| +ln |ρs (z)| Z fG2 d (ln |ρs (z)|) −S 2F 21 Zf− 2 2 ln |ρs (z)|G2 d (ln |ρs (z)|) .S F(8.339)Граничные условияvx = 0,by = 0приz = 0,выполняются, так как vz ≡ 0 и by ≡ 0. Выполнение условийbx = 0,vx → 0,приz = 0,bx → 0приz → −∞эквивалентно выполнению следующих условий для функции G2 (z):G0002 = 0,G002 → 0иG0002 → 0приприz = 0,z → −∞.(8.340)(8.341)– 353 –Выполнение условий (8.341) следует из следующих представлений2G002 = G002 (ρs (z)) (ρ0s (z)) − SF G02 (ρs (z)) ρ0s (z),30000000002 2 00G0002 = G2 (ρs (z)) (ρs (z)) + 3G2 (ρs (z)) ρs (z)ρs (z) + S F G2 (ρs (z)) ρs (z)и того факта, что ρ0s (z) равно нулю при больших значениях аргумента.Далее, так как³´2 2000000G0002 = −S F ρs [G2 (ρs (z)) + 3ρs (z)G2 (ρs (z)) + G2 (ρs (z))] ,(8.342)и из выражения (8.339) при C2 = 0 следует, чтоf 0Z G12 ρs= 2 2dz,S F ρsρsf 0fG1 Z G2 ρs2dz + 2 2 2 ,G002 (ρs (z)) =SF ρsρsS F ρsf 0ff1 Z GG2G2 ρs22G000(ρ(z))=dz+−,s2222ρsρsSF ρs S F ρ3sG02 (ρs (z))то, удовлетворяя граничному условию (8.340), получим выражение"#"Z3111f+G++ 2 22 d (ln |ρs (z)|) +ρs SFS F ρsρsf32  G2+−= 0 при z = 0,2SFSF ρs SF ρsкоторое накладывает условие для параметров задачи.

Например, можно положить311++ 2 2=0ρs (0) SFS F ρs (0)откудаρs (0) = −fи G2 (0) = 0,3SF,S 2F 2 + 1q2 µλρs (0)= γ, где γ — нуль функb0z SFb20z S 2 F 2 2ции J0 , и, следовательно, λ =γ . Итак, все граничные условия4µρs (0)выполнены.в выражении (8.338) CG4 = 0, а– 354 –8.4.5.Обобщение предельного случая экваториальной динамики∂= 0, vy = 0, by = 0. Тогда∂yисходная система уравнений принимает видПоложим в основных уравнениях y = 0,∂vx ∂p1∂bx+−b0z= 0,∂x∂x µρs∂z1 ∂ 2pvz = −,S ∂t∂z∂vx ∂vz+= 0,∂x∂z∂bx ∂bz+= 0,∂x∂z∂bx∂vx= b0z,∂t∂z∂vz∂bz= b0z,∂t∂z∂pρ=− .∂z(8.343)(8.344)(8.345)(8.346)(8.347)(8.348)(8.349)Продифференцируем уравнение (8.343) по t:∂ 2 bx∂ 2 vx∂ 2p1+−b,0z∂t2∂t∂x µρs ∂t∂z(8.350)а уравнение (8.347) по z:∂ 2 bx∂ 2 vx= b0z 2 .∂t∂z∂z(8.351)Исключив из уравнений (8.350) и (8.351) bx , получим уравнения2∂ 2 vx∂ 2p12 ∂ vx+−(b0z )∂t2∂t∂x µρs∂z 2илиПусть1 2∂ 2p∂2−Dv=−.x∂t2 µρs∂t∂x(8.352)(8.353)∂21 2∂ 2pep= 2−D vx = −p(x,z, t),∂tµρs∂t∂xтогда уравнение (8.353) примет вид∂2ef p,f vx =∂t∂x(8.354)– 355 –∂21 2D , илигде f — дифференциальный оператор, f = 2 −∂tµρs∂ 2 pef vx = f.∂t∂x(8.355)Применив к уравнению (8.355) оператор f −1 , получим∂2vx =A(x, z, t),∂t∂xгде A(x, z, t) — ядро оператора f , т.е.∂21 2−D A = 0.∂t2 µρsПусть (Ax, z, t) = Re ei(kx − σt) G(z), тогда G(z) является решениемуравнения∂2 1σ 2 +b0zG(z) = 0µρs ∂z 2илиG00 +σ 2 µρs (z)G = 0,b0z 2решение которогоqq2σ µρs (z) 2σ µρs (z) + C 2 Y0 .G(z) = C1 J0 SF b0zSF b0z(8.356)Уравнение (8.344) с учетом представления (8.354) примет видvz =откуда1 ∂2ef p(x,z, t),S ∂t∂z"#∂vz1 ∂2∂ pe=f.∂zS ∂z 2 ∂tВычислив"#∂∂ pe∂ 3 pe∂ pef= fz0+f 2 ,∂z ∂t∂t∂z ∂t#22 "ee∂ pe∂ 3 pe∂00 ∂ p0 ∂ pf= fz+ 2fz+ fz 2 ,∂z 2 ∂t∂t∂z∂t∂z ∂tУравнение (8.345) примет вид1 00 ∂ pe 2 0 ∂ 2 pef ∂ 3 pe∂ 3 pei(kx−σt)+ ikeG(z) + fz+ f+∂t∂x2S ∂t S z ∂z∂t S ∂z 2 ∂t(8.357)– 356 –или с учетом равенствρ0s∂2SF 2 ∂ 2= 2 b0z 2 = −b,µρs ∂zµρs 0z ∂z 2S 2F 2 2 ∂ 2SF ρ0s 2 ∂ 2b=−,fz00 =bµρ2s 0z ∂z 2µρs 0z ∂z 2fz0вид∂ 3 peSF 2 2 ∂ 3 pei(kx−σt)−+ ikeG(z) −b∂t∂x2µρ2s 0z ∂z 2 ∂t2F 2 ∂ 4 pe1 ∂21 2  ∂ 3 pe−b0z 3 +  −D= 0.µρs ∂z ∂t S ∂t µρs∂t∂z 2Будем искать решение уравнения (8.358) в виде(8.358)pe = Re ei(kx − σt) G1 (z).Тогда для функции G1 (z) получим уравнениеσ 2 µρs  00(0002 2G1 4) + 2F SG1 + S F + 2G1 +b0zk 2 SµρskSµρsG1 = 0.+ 2 G01 +b0zb20z(8.359)Будем искать решение уравнения (8.359) в видеfG1 = G1 (ρs (z)) .Тогда2f0 0G01 = G1 ρs ,f00 0f0 00f00 2 2 2f0 2 2G001 = G1 ρ s + G1 ρ s = G1 S F ρ s + G1 S F ρ s ,³´³´3 33 3f000f00 2 2 2f00ρ2s −ρ3s + 2GG0001 = G1 −S F1 S F ρs (−SF ) + G1 −S F3 3 3 f0003 3 2 f003 3 f0f0 3 3−G1 S F ρs = −S F ρs G1 − 3S F ρs G1 − S F ρs G1 ,(4)4 4 4 f(4)4 4 f04 4 2 f00ff000G+ 6S 4 F 4 ρ3s G1 = S F ρs G1 + S F ρs G1 + 7S F ρs G1 =(4)4 4 3 f0004 4 2 f004 4 f0f= S 4 F 4 ρ4s G1 + 6S F ρs G1 + 7S F ρs G1 + S F ρs G1 .fУравнение (8.359) в терминах функции G1 (ρs (z)) принимает вид(4)4 4 3 f0004 4 2 f004 4 f0fS 4 F 4 ρ4s G1 + 6S F ρs G1 + 7S F ρs G1 + S F ρs G1 +no3 3 2 f003 3 f0f000+2F S −S 3 F 3 ρ3s G1 − 3S F ρs G1 − S F ρs G1 +!Ãiσµρs h 2 2 2 f002 2f0S F ρs G1 + S 2 F 2 ρs G+ S F +1 +b0z– 357 –+kSµρs f0 kSµρs fG1 +G1 = 0.b0z8b20z(8.360)илиf(4)ρ4s G1"#"#σµρs f00σµρ2s f02 + 2 2 2 G1 + 2 2 2 G1 ++S F b0zS F b0zk 2 Sµρs f0kµρsG=0(8.361)+ 4 4 2 G1+S F b0zσb20z S 3 F 4+f0004ρ3s G1+f0004ρ2s G1ρ2sилиf(4)ρ3s G1σµρs f00σµρs f0G++ ρs 2 + 2 2 2 G+S F b0z 1 S 2 F 2 b20z 1k 2 µ f0kµ+ 3 4 2 G1 + 2 3 4 G = 0.(8.362)S F b0zσb0z S FТак какfG1p.h.

(ρs (z)) = αρs (z),α = const,нетривиальное частное решение соответствующего однородного уравk2нения (при G ≡ 0) при σ = −, то заменаSF 2fG1 (ρs (z))=fG1p.h. (ρs (z))ZfG2 (ρs (z)) d (ρs (z))приводит уравнение (8.362) к линейному уравнению третьего порядка:"#σµf0++ ρs 14 + 2 2 2 ρs G2+SFb0z#σµρskµf+ 4 + 3 2 2 2 ρs Gρs G.2 = −S F b0zσαS 3 F 4 b20zРассмотрим далее уравнение (8.363) в видеf000ρ3s G2"f008ρ2s G2h(8.363)i2 f002f000f0fρ3s G2 + 8ρs G2 + αρs + 14ρs G2 + [3αρs + 4] G2 = g0 (ρs ) ,(8.364)гдеσµkµG (ρs ) .,g(ρ)=−0sS 2 F 2 b20zσαS 3 F 4 b20z ρsДифференциальное уравнение (8.364) с особой точкой ρs = 0 расα=сматривается при ρs > 0. Запишем уравнение (8.364) в видеh2 f002 f0f000f0ffρ3s G2 + 8ρs G2 + 14ρs G2 + 4G2 = g0 (ρs ) − α 3ρs G2 + ρs G2i(8.365)– 358 –и будем считать величину α малым отрицательным параметром. Рассмотрим уравнение (8.365) при α = 0:2 f00f000f0fρ3s G2 + 8ρs G2 + 14ρs G2 + 4G2 = g0 (ρs ) .(8.366)Соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение2 f00f000f0fρ3s G2 + 8ρs G2 + 14ρs G2 + 4G2 = 0(8.367)является дифференциальным уравнением Эйлера.

Подставляя в (8.367)ρ s = eµ ,eff2fdGe dG2e  d G22−µ−2µf0f00G2 = e,G2 = e−,2dµedµedµef3f2fdGdGdGe222−3µ f000,G−3 2 +22 =edµe 3dµedµeполучим дифференциальное уравнениеfffd3 Gd2 GdG222f+5+8+ 4G2 = 0,32eeedµdµdµхарактеристическое уравнение которого имеет корни k1 = −1, k2 == k3 = −2. Следовательно,1e(ρ)=,10sρs1e20 (ρs ) = 2 ,ρsln ρs e10 (ρs ) =ρs базис решений уравнения (8.367), аfG20=3Xκ=1(Cκ + Cκ (ρs )) eκ0 (ρs )искомое общее решение дифференциального уравнения (8.366), гдеCκ — произвольные постоянные. Функции Cκ (ρs ) находятся из системы дифференциальных уравненийln ρs 01 0C2 (ρs ) +C (ρs ) = 0,ρsρs 32 ln ρs − 1 02C3 (ρs ) = 0,C10 (ρs ) + C20 (ρs ) +ρsρs66 ln ρs − 5 02C10 (ρs ) + C20 (ρs ) +C3 (ρs ) = g0 (ρs )ρsρsC10 (ρs ) +– 359 –в видеZρsC1 (ρs ) =Zρse dµ,eg0 (µ)C2 (ρs ) =ρs 0e dµ,eµe (ln µe − 1) g0 (µ)ρs 0ZρsC3 (ρs ) = −e 0 (µ)e dµ,eµgρs 0где ρs0 > 0 — некоторое число.

Следовательно, общее решение уравнения (8.366) имеет видffG20 (ρs ) = C1 e10 (ρs ) + C2 e20 (ρs ) + C3 e30 (ρs ) + G20r (ρs ),fG20r (ρs ) = e10 (ρs )Zρs(8.368)Zρse dµe + e20 (ρs )g0 (µ)ρs0e (ln µe − 1) g0 (µ)e dµ−eg0 (µ)ρs 0Zρs−e30 (ρs )e 0 (µ)de µ.eµg(8.369)ρs 0Правая часть дифференциального уравнения (8.365) линейна относительно α, следовательно, аналитична, поэтому искомое решениеfG2 (ρs , α) при α < 0 находим в виде степенного ряда относительно αffG2 (ρs , α) = G20 (ρs ) +∞Xn=1nfG2n (ρs )α ,(8.370)результатом подстановки которого в уравнение (8.365) является соотношение∞ ³Xf000ρ3s G2nn=1´nff0f00+ 8ρ2s G2n + 14ρs G2n + 4G2n α ==−∞ ³Xn=1´2 f0n+1f3ρs G.2n + ρs G2n αПриравнивая коэффициенты при одинаковых степенях α, получаемрекуррентную систему дифференциальных уравнений2 f00f000f0fρ3s G2n + 8ρs G2n + 14ρs G2n + 4G2n = gn (ρs ),(8.371)2 f0fgn (ρs ) = − 3ρs G2n−1 + ρs G2n−1 ,(8.372)³´fиз которой функции G2n будем находить с начальными условиями– 360 –fG2n (ρs0 ) = 0, n ∈ N.

Используя обозначения³´ϕκ1 (ρs ) = 3ρs eκ0 (ρs ) + ρ2s e0κ0 (ρs ) ,ZρsZρsϕκ1 dµe + e20 (ρs )eκ1 = e10 (ρs )(8.373)ρs 0eµe (ln µe − 1) ϕκ1 dµ−ρs 0Zρsee κ1 dµ,µϕ−e30 (ρs )ρs 0³(8.374)´2 f0fge1 (ρs ) = − 3ρs G20r (ρs ) + ρs G20r (ρs ) ,fG21r (ρs )Zρs= e10 (ρs )(8.375)Zρsge1 dµe + e20 (ρs )ρs 0eµe (ln µe − 1) ge1 dµ−ρs 0Zρseµe ge1 dµ,−e30 (ρs )(8.376)ρs 0получим из уравнения (8.371) при n = 1ffG21 (ρs ) = C1 e11 (ρs ) + C2 e21 + C3 e31 (ρs ) + G21r (ρs ).Аналогично, используя обозначения´³ϕκn (ρs ) = − 3ρs eκ,n−1 (ρs ) + ρ2s e0κ,n−1 (ρs ) ,Zρseκn (ρs ) = e10 (ρs )(8.377)Zρsϕκn dµe + e20 (ρs )ρs 0eµe (ln µe − 1) ϕκn dµ−ρs0Zρs−e30 (ρs )e κn dµ,eµϕρs 0µ(8.378)¶2 f0fgen (ρs ) = − 3ρs G2n−1,r (ρs ) + ρs G2n−1,r (ρs ) ,fG2nr (ρs )Zρs= e10 (ρs )(8.379)Zρsgen dµe + e20 (ρs )ρs 0eµe (ln µe − 1) gen dµ−ρs 0Zρs−e30 (ρs )eµe gen dµ,(8.380)ρs 0получим из (8.371) и (8.372)ffG2n (ρs ) = C1 e1n (ρs ) + C2 e2n + C3 e3n (ρs ) + G21n (ρs ).В результате общее решение уравнения (8.365) имеет видfG2 (ρs , α) =3Xκ=1Cκ ∞Xn=0eκn (ρs )αn  +∞Xn=0nfG2nr (ρs )α .(8.381)– 361 –Исследуем сходимость степенных рядов, представляющих общее решение (8.381).

Рассмотрим степенной ряд∞Xn=0|G2nr (ρs )| |α|n .ПустьB = max {e0κ0 (ρs )} ,A = max {eκ0 (ρs )} ,D = max {1; ρs (ln ρs − 1) ; ρs } ,B = max |g0 (ρs )| ,где максимум вычисляется по ρs при ρs ∈ [ρs0 ; a], a > ρs0 . Из (8.369)получаем оценку¯¯¯f¯¯G20r (ρs )¯≤ ADM (a − ρs0 ) .(8.382)Согласно (8.380)f0G2nr (ρs )=e010 (ρs )Zρsgen dµe +ρs 0−e030 (ρs )e020 (ρs )Zρseµe (ln µe − 1) gen dµ−ρs 0Zρseµe gen dµ,(8.383)ρs 0так какe10 (ρs ) + (ρs ) (ln ρs − 1) e20 (ρs ) − ρs e30 (ρs ) =11ln ρs=+ ρs (ln ρs − 1) · 2 − ρs · 2 ≡ 0.ρsρsρsИз (8.383) при n = 0, где полагаем ge0 (ρs ) ≡ g0 (ρs ), получаем¯¯ f0¯G2¯(ρs )¯¯ ≤ BDM (a − ρs0 ) .0r(8.384)Поэтому из (8.379) при n = 1 с учетом (8.382) и (8.384)³´|ge1 (ρs )| ≤ 3aA + a2 B DM (a − ρs0 ) ,а из (8.380), (8.383) при n = 1 и (8.385)¯¯¯f¯¯G21r (ρs )¯¯¯¯ f0¯¯G2 (ρs )¯1r³´³´≤ AD2 3aA + a2 B M (a − ρs0 )2 ,≤ BD2 3aA + a2 B M (a − ρs0 )2 .(8.385)– 362 –С целью использования метода полной математической индукциипредположим, что верны оценки³|gen−1 (ρs )| ≤ Dn−1 3aA + a2 B¯¯¯f¯¯G2n−1,r (ρs )¯¯¯¯ f0¯¯G¯¯ 2n−1,r (ρs )¯´n−1M (a − ρs0 )n−1 ,³´n−1³´n−1≤ ADn 3aA + a2 B≤ BDn 3aA + a2 BM (a − ρs0 )n ,M (a − ρs0 )n .Тогда из (8.379) следует, что³|gen (ρs )| ≤ Dn 3aA + a2 B´nM (a − ρs0 )n ,(8.386)M (a − ρs0 )n+1 .(8.387)а из (8.380) с учетом (8.386)¯¯¯f¯¯G2nr (ρs )¯≤ ADn+1³23aA + a B´nСогласно методу полной математической индукции оценка (8.387)справедлива для всех n ∈ N.Степенной ряд∞X³ADn+1 3aA + a2 B´nn=0M (a − ρs0 )n+1 |α|nсходится по признаку Даламбера при α ∈ (−R; R), гдеR=1.D (3aA + a2 B) (a − ρs0 )Следовательно, ряд∞Xn=0nf0G2nr (ρs )αсходится абсолютно и равномерно по ρs при ρs ∈ [ρs0 ; a], α ∈ (−R; R).Рассмотрим далее степенной ряд∞Xn=0|eκr (ρs )| |α|n .Из (8.373) получаем оценку|ϕκ1 (ρs )| ≤ 3aA + a2 B,(8.388)– 363 –а из (8.374) и следствия из (8.378)0eκn(ρs )=e010 (ρs )Zρsϕκn dµe +ρs 0−e030 (ρs )e020 (ρs )Zρseµe (ln µe − 1) ϕκn dµ−ρs0Zρse κn dµ,eµϕ(8.389)ρs 0при n = 1 с учетом (8.388) имеем, что³´³´|eκ1 (ρs )| ≤ AD 3aA + a2 B (a − ρs0 ) ,|e0κ1 (ρs )| ≤ BD 3aA + a2 B (a − ρs0 ) .Предполагая, что верны оценки³|ϕκ,n−1 (ρs )| ≤ Dn−2 3aA + a2 B´n−1³´n−1³´n−1|eκ,n−1 (ρs )| ≤ ADn−1 3aA + a2 B¯¯¯ 0¯¯eκ,n−1 (ρs )¯(a − ρs0 )n−2 ,≤ BDn−1 3aA + a2 B(a − ρs0 )n−1 ,(a − ρs0 )n−1 ,из (8.377) и (8.378) получаем³|ϕκn (ρs )| ≤ Dn−1 3aA + a2 B|eκn (ρs )| ≤ BDn−1³23aA + a B´n´n(a − ρs0 )n−1 ,(a − ρs0 )n .(8.390)По индукции оценка (8.390) справедлива для всех n ∈ N.

Характеристики

Список файлов диссертации