Диссертация (1145260), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Функции vz и bz определяютсяиз уравнений (8.247) и (8.250).Итак, резюмируем полученные выше результаты в виде следующего утверждения.Утверждение. Любое решение v(x, y, z, t), b(x, y, z, t), p(x, y, z, t)пространственной задачи о малых возмущениях крупномасштабных волновых движений стратифицированной электропроводной вращающейся жидкости в экваториальной области, удовлетворяющеенеобходимым условиям гладкости, представимо в виде³´2p(x, y, z, t) = − Dt 2 + y 2 f 2 ξ,– 333 –e bx  e by=bx (x, y, z, t)byyD2Dt f1−yD2 Dt f1´  bx  e  (x, y, z, t),by³= µρs Dt 2 + y 2Dty−y Dt³D D 2t0vxvy=Dty−y Dtfξ ³ D 2t+4y +´2 y 0f 2ξ+DÃDt =∂,∂t∂ξf∂x∂ξ02fy ξ + f∂y+ ,+´2 y +4y ef2 ∂ξ∂x∂ξ2f fy0 ξ + f 2∂y+ebxbey ,(8.263)!´2∂ξ1 ³2f fz0 ξ + f 2vz = Dt Dt 2 + y 2,S∂zÃ!´1 ³ 202 ∂ξ2 2bz = Dt Dt + y D 2f fz ξ + f,S∂zÃ!´³202 ∂ξ2 22f fz ξ + fρ = Dt + y,∂z´´2³³∂D = b0z ,f = Dt 2 µρs Dt 2 + y 2 − D2 + y 2 D4 ,∂zгде функция ξ является решением уравнения (8.262).Обратно: любое решение уравнения (8.262) порождает решениесистемы (8.235)–(8.240), моделирующей малые возмущения пространственных крупномасштабных движений в стратифицированной электропроводной вращающейся жидкости в широтном поле около экватора, если построенные по соответствующим формулам функции v, b, p, ρ удовлетворяют в рассматриваемой области условиямгладкости.Итак, основным результатом проведенного исследования являетсяредукция исходной нелинейной векторной системы уравнений в частных производных к скалярному уравнению и утверждение об аналитическом представлении решения задачи о малых возмущениях в иде-– 334 –альной несжимаемой стратифицированной электропроводной жидкости в экваториальной области.8.4.2.Распространение волновых возмущений с нулевой меридиональной компонентой скоростиВ настоящем параграфе рассмотрим некоторые частные, но содержательные примеры распространения нестационарных волн в экваториальном широтном поясе.Линейные уравнения в приближении экваториальной β–плоскости,полученные в предыдущем параграфе, имеют вид∂vx∂p1− yvy +−Dbx = 0,∂t∂x µρs∂vy∂p1Dby = 0,+ yvx +−∂t∂y µρs1 ∂ 2pvz = −,S ∂t∂zdiv v = 0,div b = 0,∂b= Dv,∂t∂pρ=− .∂z(8.264)(8.265)(8.266)(8.267)(8.268)(8.269)Уравнения (8.264) и (8.265) с учетом уравнения индукции (8.268) запишем следующим образом:Ã!1 2∂ 2pDt −D vx − yDt vy += 0,µρs∂t∂xÃ!1 2∂ 2p2Dt −D vy + yDt vx += 0.µρs∂t∂y2(8.270)(8.271)Исследуем далее возможность существования нетривиальных волновых возмущений, для которых y-компонента скорости vy тождественно равна нулю.

Полагая vy равным нулю и исключая давление изуравнений (8.270) и (8.271), получим уравнение для x-компонентыскорости vx :!Ã∂vx1 2 ∂vxD− yDt= 0.Dt −µρs∂y∂x2(8.272)– 335 –Будем искать решения с разделяющимися переменными видаvx = u(x, y, t)G(z)(8.273)Подставляя (8.273) в уравнение (8.272), получаем∂ 3u∂ 2u∂u−y−λ= 0,∂t2 ∂y∂t∂x∂yd2 G λµρs− 2 G = 0,dz 2b0z(8.274)(8.275)где λ — постоянная разделения.Разделяя далее переменные в уравнении (8.274), т.

е. полагаяeeu(x, y, t) = u(x,t)u1 (y), получим для определения функций u(x,t)и u1 (y) уравнения:∂ 2 ue∂ 2 ue−ν− λue = 0,∂t2∂t∂xdu1 y− u1 = 0,dyν(8.276)(8.277)где ν — постоянная разделения. Ограниченное при больших y решение уравнения (8.277) существует при ν = −ν12 < 0.

Оно имеет видy22u1 (y) = e 2ν1 ,−(8.278)а решение уравнения (8.276) представляет собой линейную комбинацию произвольных функций вида A1 (x + αt) и A2 (x − αt), т.е.ue = A1 (x + αt) + A2 (x − αt), где функции A1 (x + αt) и A2 (x − αt), какэто следует из уравнения (8.276), должны удовлетворять уравнениям(α 6= 0, λ 6= 0, ν12 6= α):λA1 (x + αt) = 0,α2 + ν12 αλA002 (x − αt) − 2A2 (x − αt) = 0.α − ν12 αA001 (x + αt) −Без ограничения общности можно считать α > 0.(8.279)(8.280)– 336 –Решение уравнения (8.279) приλ< 0 имеет видα2 + ν12 αvuusin tvuu−λ−λtA1 (x + αt) = d1(x+αt)+dcos(x + αt),2222α + ν1 αα + ν12 α(8.281)λа решение уравнения (8.280) при 2< 0 имеет видα − ν12 αA2 (x − αt) = d3vuusin tvuuλλt(x−αt)+dcos(x − αt).4222ν1 α − αν1 α − α 2(8.282)Рассмотрим далее уравнение (8.275) для вертикальной структурыG(z) горизонтальной компоненты vx .

Будем искать функцию G(z) ввидеfG(z) = G(ρs (z)) .С учетом соотношенийf0G0 (z) = G(ρs (z)) ρ0s (z)2f00f0G00 (z) = G(ρ0s (z)) + G(ρs (z)) ρ00s (z)иfуравнение (8.275) переходит в уравнение для функции G(ρs (z)):2f00f0(ρ0s ) G+ ρ00s G−Из равенстваS=−λµρs fG = 0.b20z(8.283)1 ∂ρs= constF ρs ∂zполучаем, чтоρ0s = −SF ρs ,ρs00 = S 2 F 2 ρs ,поэтому уравнение (8.283) приводится видуf00f0ρ2s G+ ρs G−λµρs fG = 0,b20z S 2 F 2(8.284)общее решение которого представимо в виде линейной комбинациифункций Бесселя и Неймана нулевого порядка [46]: т. е.qq2|λ1 | µρs (z) 2|λ1 | µρs (z) f+ C2 Y0 ,G(ρs (z)) = C1 J0 b0z SFb0z SF– 337 –где C1 и C2 — произвольные постоянные.Если α = ν12 , то A2 (x − αt) ≡ 0 иA1 (x + ν12 t) = d1 sin|λ1 ||λ1 |√ (x + ν12 t) + d2 cos 2 √(x + ν12 t).2ν1 2ν1 2Итак, при λ = −λ21 < 0 и α > ν12 > 0 общее решение уравнения (8.272)имеет видy2 −|λ1 ||λ1 |2qvx = e 2ν1 d1 sin q(x+αt)+dcos(x + αt)+2α2 + ν12 αα2 + ν12 α|λ1 ||λ1 |(x − αt) + d4 cos q(x − αt) ×+ d3 sin qα2 − ν12 αα2 − ν12 αqq2|λ1 | µρs (z) 2|λ1 | µρs (z) × C1 J0 + C2 Y0 .b0z SFb0z SF(8.285)Примем следующие граничные условия при z = 0:vz = 0,bx = 0,(8.286)by = 0.Учитывая, что мы ищем решения, сосредоточенные вблизи границыжидкого ядра с мантией, потребуем выполнения условийvx → 0,bx → 0,by → 0приz → −∞.(8.287)Интегрируя уравнение (8.268) по времени, получим выражения длякомпонент индукции магнитного поля:y2 q√ 0−C|λ|µρ(z)2|λ|µρ(z)2111ss+qJ00 bx (x, y, z, t) = b0z e 2ν1 b0z SFb0z SF ρs (z)q√ 0C2 |λ1 | µρs (z) 0  2|λ1 | µρs (z) q+J0×b0z SFb0z SF ρs (z)qd1 α2 + ν12 α|λ1 |(x + αt)+× −cos qα|λ1 |α2 + ν12 αqd2 α2 + ν12 α|λ1 |+(x + αt)+sin qα|λ1 |α2 + ν12 α– 338 –q−d4qd3 α2 − ν12 α|λ1 |+cos q(x − αt)−α|λ1 |α2 − ν12 αα2−α|λ1 |ν12 α|λ1 |(x − αt) + C3 (x, y, z),22α − ν1 αsin q(8.288)by (x, y, z, t) = by (x, y, z, t),y2 q−µρ(z)2|λ|2s1+bz (x, y, z, t) = −b0z e 2ν1 C1 J0 b0z SFq 2|λ1 | µρs (z)   d1|λ1 |+C2 Y0 sin q(x + αt)+b0z SFαα2 + ν12 αd2|λ1 |d3|λ1 |q+ cos qsin(x+αt)−(x − αt)−ααα2 + ν12 αα2 − ν12 α|λ1 |d4(x − αt) + C5 (x, y, z).− cos q22αα − ν1 α(8.289)Интегрируя уравнение неразрывности по z, получим выражение длявертикальной компоненты скорости:y2−2vz (x, y, z, t) = −e 2ν1Z×d1 |λ1 ||λ1 |qcos(x + αt)−α2 + ν12 αα2 + ν12 αd2 |λ1 ||λ1 |q−qsin(x + αt)+α2 + ν12 αα2 + ν12 αd3 |λ1 ||λ1 |q+qcos(x + αt)−α2 − ν12 αα2 − ν12 α|λ1 |d4 |λ1 |sin q(x + αt) ×−q2222α − ν1 αα − ν1 αqqq2|λ1 | µρs (z) 2|λ1 | µρs (z) C J + C2 Y0 dz + C4 (x, y, t).1 0b0z SFb0z SF(8.290)Из первого равенства условий (8.286) получаем, чтоC4 (x, y, t) = ue 0x (x, t)u1 (y)Z¯¯f ¯Gdz¯z=0,выполнение второго равенства условий (8.286) приводит к равенству– 339 –C2 = 0 и к определению числа |λ1 |:|λ1 | =γ02 SF b0zq,2 µρs (0)где γ02 — нуль функции Бесселя J1 .

Функция by (x, y, z) связана с произвольными функциями C3 (x, y, z) и C5 (x, y, z) соотношением∂C3 ∂C5 ∂by++= 0,∂x∂z∂yкоторое является следствием уравнения индукции магнитного поля.ПустьC3 (x, y, z) =тогдаy2ikx− 2Re yezez ,C5 (x, y, z) =by (x, y, z) = Re (1 +y2ikx− 2Re ye(z− 1)ez ,y2ikx− 2zik)eze ,и, следовательно, третье равенство граничных условий (8.286) такжевыполняется. Условие (8.287) выполняется вследствие известного поведения функций Бесселя при больших значениях аргумента и учетатого, что функция ρ0s (z) в условиях рассматриваемой задачи при больших z равна нулю. Давление и плотность определяются из уравнений(8.266) и (8.269) соотношениямиZt Zzp(x, y, z, t) = −Se τ ) dτ dz,evz (x, y, z,0 0Ztρ(x, y, z, t) = Svz (x, y, z, τ ) dτ dz.0Таким образом, проведенный анализ свидетельствует о существовании в экваториальной зоне волн Кельвина, распространяющихся квостоку и к западу, причем зональная скорость в волне Кельвина неудовлетворяет геострофическому соотношению, что следует из уравнения (8.265), как это обычно бывает в неэлектропроводной жидкости.

Вклад в отклонение от геострофичности скорости вносит наличиемагнитного поля, а именно, его меридиональная компонента.– 340 –8.4.3.Распространение волновых возмущений с отличной от нуля меридиональной компонентой скоростиВ этом пункте мы продолжим рассмотрение различных типов волн,возникающих в зоне экватора в случае отличной от нуля меридиональной компоненты скорости.Исключая давление из уравнений импульса (8.270), (8.271) и (8.266),используя уравнение неразрывности (8.267), получаем0Ã∂ 2 vx  ρ0s  21ρ0s2 ∂+D+2D+Dt2 −222∂xSµρsSµρs ∂z S∂ 2 vyy ∂ 2 vy+ Dt=−,∂x∂y S ∂z 20Ã∂ 2 vy  ρ0s  2ρ0s12 ∂+D +2D+Dt2 −222∂ySµρsSµρs ∂z S∂ 2 vxy ∂ 2 vx=−− Dt.∂x∂y S ∂z 2!1 2 ∂2 Dvx =µρs∂z 2(8.291)!1 2 ∂2 Dvy =µρs∂z 2(8.292)Будет искать решения для vx и vx видаvx = Re u(y, z)ei(kx − σt) ,vy = Re v(y, z)ei(kx − σt) ,тогда функции u(y, z) и v(y, z) должны удовлетворять уравнениям∂v iσy ∂ 2 v−k u + Au = −ik−,∂yS ∂z 2∂ 2v∂u iσy ∂ 2 u+Av=−ik−,∂y 2∂yS ∂z 22(8.293)(8.294)где0Ã!ρ0s  2ρ0s11 2 ∂222 ∂A=D +2+Dt −DDSµρ2sSµρ2s ∂z Sµρs∂z 2суть дифференциальный оператор.

Решения с разделяющимися переменными уравнений (8.293) и (8.294) возможны при условии следующей меридиональной структуры поля скорости:eu = u(y)u1 (z)ev = v(y)v1 (z)eu(y)=y2−C02 2,yeev(y)=y2−C02 2,e(8.295)– 341 –причемiσ d2 u1 (z)ikv1 (z) = 2 u1 (z) +.(8.296)C0SC04 dz 2С учетом соотношений (8.295) и (8.296) уравнения (8.293) и (8.294)примут видσ 2 d4 u1 (z)Au1 = 2 4,S C0 dz 4σd2 u1 (z)σ d2 u1 (z)Au1 +A−= 0.SkC02dz 2kS dz 2(8.297)(8.298)(4)Вычисляя u1 и Au1 , с помощью уравнения (8.293) получим(4)u1¶kS 001 µ 00 00(4)0 0000 (3)=(A u1 + 2A u1 + Au1 ) + 2 A u1 + 2A u1 + Au1 ,σC0σσ 00Au1 = −Au001 +u ,2SkC0kS 1где штрихи означают порядок производной, из которых получаем одно уравнение для функции u1 (z):(−Au001+C02 u001σk kS 00=(A u1 + 2A0 u01 + Au001 ) +2SC0 σ)¶1 µ 00 00(4)0 (3)+ 2 A u1 + 2A u1 + Au1 ,(8.299)C023422222σ∂∂FSb∂Fbb0z,A = − +  2 + 0z 3 + 0zµρsS ∂zµρs ∂zµρs S ∂z 43 2 222 2324FSb∂SFb∂bF∂0z0z,A0 = − ++ 0z(8.300)23µρs ∂zµρs ∂zµρs ∂z 44 3 222 3 2322 4FSb∂SFb∂bSF∂0z0z.++ 0zA00 = − 23µρs ∂zµρs ∂zµρs ∂z 4С учетом соотношений (8.300) уравнение (8.299) запишем в виде200  C0 µρs+u1b20z2 42 2 3k2S 3F 4 4k 2 SF 2(3) 3k S F(4)  2+ u1+ u1 F S ++C02C02C022kσS Fσ 2 µρs k 2 3kσSF 3 (5)  3k F++1 + 2 + u1++C04Sb0zC0C02C042234kσSFkkσµρ1s (7) 3kσF(8) kσ(6)+u+u+= 0.+u1  + 2 +11S C0 SC04S 2 C04 b20zC04 SS 2 C04(8.301)– 342 –При k = 0 порядок уравнения (8.301) понижается:2σ 2 µ  1 (6)(4)  200 C0 µρsu1 2 + u1 F S + 2 ρs + u1 = 0.b0zSb0zSПолагая в последнем уравнении u001 (z) = u2 (z), получимσ2µ C02 Sµρs(4)00  2 2u2 + u2 F S + 2 ρs + u2= 0.b0zb20zC02При σ = 2 возможно интегрирование в квадратурах.

Характеристики

Список файлов диссертации