Диссертация (1145260), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

(8.205)выполнение граничных условий (8.205), а также условий (8.203) и(8.204) накладывает ограничения на выбор функций C3 (z), C4 (z) иTf(θ).Следовательно, выражения для компонент магнитного поля имеютвидRA1 (θ,z)1dθ− B1 (θ,z),=C3 (z)esin θR A1 (θ,z)Z1  0− Bdθf1 (θ,z)bθ = −C3 (z) edθ−sin θbfzZ+ C3 (z) Ã!R A1 (θ,z)− B1 (θ,z) dθ Z A1 0eB1zdθ dθ + C40 (z) .– 315 –8.3.6.Случай∂kctg θ − k 6= 0∂θРассмотрим далее условие∂kctg θ − k 6= 0.∂θИз выражений∂m∂a= 0,= 0 и граничного условия∂λ∂λvλ → 0приz → −∞следует тождество a(θ, λ) ≡ 0.Из условия (8.177) при z = 0 получаемρ(θ, 0) = −∂p(θ, 0) = −Ts (θ) = −m(θ)k(θ),∂zследовательно,m(θ) =Ts (θ),k(θ)(8.206)а из уравнений (8.158)–(8.160) и соотношений (8.186) и (8.206) находим следующие гидродинамические характеристики:Ts (θ) kze ,ρ(θ, z) = −Ts (θ) ekz ,k(θ)1  1 dTs (θ) Ts (θ) dk(θ)Ts dk(θ)  kzvλ (θ, z) =− 2+z e ,cos θ k(θ) dθk (θ) dθk(θ) dθp(θ, z) =(8.207)vθ (θ, z) = 0,vz (θ) = vze (θ).(8.208)Из соотношения (8.186)νk(θ) = vze (θ),и, согласно выражению (8.208), получаем значение скорости в видеvz (θ) = νk(θ).Уравнения Максвелла (8.174)–(8.176) с учетом представлений (8.207)– 316 –и (8.208) запишутся в видеÃ!dvze1∂p ∂bz∂bzbθ−− vze= 0,(8.209)dθcos θ sinθ∂θ∂λ∂zÃ!1∂p ∂bθ∂bθ= 0,(8.210)+ vzecos θ sin θ ∂θ ∂λ∂zÃ!Ã!∂1 ∂p1∂p ∂bλbz ∂ 2 p∂bλbθ+−− vze= 0.∂θ cos θ ∂θcos θ ∂z∂θ cos θ sin θ ∂θ ∂λ∂z(8.211)Рассмотрим далее случай ν = 0.

Из уравнений (8.163), (8.209)–(8.211)bθ = bθ (θ, z),bz = bz (θ, z),bλ = bλ (θ, z),Ãbz =1 ∂ψ,sin θ ∂θ!∂ψ ∂1 ∂p1 ∂ψ ∂ 2 p−+= 0.∂z ∂θ cos θ ∂θcos θ ∂θ ∂z∂θ1 ∂ψbθ = −,sin θ ∂z(8.212)D(ϕ, ψ)1 ∂p(z, θ)= 0, где ϕ(z, θ) =.D(z, θ)cos θ ∂θИтак, найдено общее решение уравнения (8.212) ψ(z, θ) = Φ (ϕ(z, θ)),Из уравнения (8.212) следуетгде Φ — произвольная дифференцируемая по ϕ функция.Из граничных условий∂ψ=0∂zи∂ψ→0∂zследуетприz=0приz → −∞∂ϕ(θ, z) ¯¯¯Φ (ϕ(θ, 0))=0¯z=0∂z0иlim Φ0 (ϕ(θ, 0))z→−∞илии∂ϕ(θ, z)= 0,∂z¯∂ 2 p(z, θ) ¯¯¯0  1 ∂p(θ, z) ¯¯Φ=0¯¯cos θ ∂θ z=0∂z∂θ z=01 ∂p(θ, z)  ∂ 2 p(z, θ)= 0,lim Φ0 z→−∞cos θ ∂θ∂z∂θ– 317 –или, с учетом (8.190), так как∂p(θ, z)  Ts0 (θ) k 0 (θ)Ts (θ)k 0 (θ)  kz=− 2 Ts (θ) +z e ,∂θk(θ)k (θ)k(θ)и∂ 2 p(θ, z) Ts (θ)k 0 (θ)=(1 + k(θ)z) ekz ,∂z∂θk(θ)что1  Ts0 (θ) k 0 (θ)− 2 Ts (θ) = 0Φ0 cos θ k(θ)k (θ)(8.213)и1  Ts0 (θ) k 0 (θ)Ts (θ)k 0 (θ)  kz lim Φ − 2 Ts (θ) +z e ×z→−∞cos θ k(θ)k (θ)k(θ)Ts (θ)k 0 (θ)×[1 + k(θ)z] ekz = 0.(8.214)k(θ)0При Φ(θ, z) = J0 (θ, z) условие (8.213) запишется в виде1  Ts0 (θ) k 0 (θ)J1 − 2 Ts (θ) = 0,cos θ k(θ)k (θ)где J0 , J1 — функцииБесселя нулевогои первого порядков.

Следова001  Ts (θ) k (θ)тельно,− 2 Ts (θ) — нуль функции J1 :cos θ k(θ)k (θ)1  Ts0 (θ) k 0 (θ)− 2 Ts (θ) = C0 = const.cos θ k(θ)k (θ)В этом случаеTs (θ) = Ck(θ) + C0 k(θ) sin(θ),откудаTs (θ).C + C0 sin θЗаметим, что граничное условие (8.214) для функции Φ(θ, z) = J0 (θ, z)k(θ) =выполняется.Итак,Ts (θ)k 0 (θ)  kz z e.ψ(θ, z) = J0 C0 +k(θ) cos θ– 318 –Следовательно, выражения для компонент магнитного поля имеютвид1Ts (θ)k 0 (θ)  kz  Ts0 (θ)k 0 (θ) + Ts (θ)k 00 (θ)bz =J1 C0 +z ek(θ) cos θ−sin θk(θ) cos θk 2 (θ) cos2 θTs (θ)k 0 2 (θ) 2  kzk 0 (θ) cos θ − k(θ sin θ0Ts (θ)k (θ)z +z e ;−k 2 (θ) cos2 θk(θ) cos θ001T(θ)k(θ)T(θ)k(θ)ssbθ = −J1 C0 +z  ekz  (1 + zk(θ)) ekz  .sin θk(θ) cos θk(θ) cos θ8.3.7.Построение нестационарного решения с учетом диссипацииБудем строить спиральные возмущения системы (8.158)–(8.166), для∂которых= 0, bλ = 0.

Тогда исходная система принимает вид∂λvθ = 0,vλ =1 ∂p∂vz∂p,= 0,ρ=− ,cos θ ∂θ∂z∂z232∂ p∂ p∂ pvz 2 = ν 3 −,∂z∂z∂t∂z∂bz∂vz∂bz= bθ− vz,∂t∂θ∂z∂bθ∂bθ= −vz,∂t∂z∂vλ∂vλbθ+ bz= 0,∂θ∂z∂bz ∂bθ++ bθ ctg θ = 0.∂z∂θ(8.215)(8.216)(8.217)(8.218)(8.219)(8.220)Характеристиками уравнения (8.218) являются интегральные кривыеdθсистемы обыкновенных дифференциальных уравнений dt ==0dzbθ− = , имеющей функционально независимые первые интегралыvz0 Rθ = C1 , z − vz (θ, t)dt = C2 , bθ = C3 . Тогда общее решение уравнения(8.218) задается формулойZΦ(θ, z −vz (θ, t)dt, bθ ) = 0,(8.221)где Φ — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Изсоотношения (8.221) следует искомое выражение для θ–компоненты– 319 –Rмагнитного поля bθ = f (θ, z− vz (θ, t)dt), где f — произвольная функция, определяемая из соответствующих граничных условий. ТакимRобразом, существует решение bθ = exp(z − vz (θ, t)dt).

Уравнение(8.220) позволяет ввести функцию ψ(θ, z) соотношениямиbz =1 ∂ψ,sin θ ∂θbθ = −1 ∂ψ,sin θ ∂zоткуд൶Zψ(θ, z, t) = − sin θ exp z −vz (θ, t)dt + C0 (θ, t),(8.222)и, следовательно,µbz = exp z −¶ "ZZvz (θ, t)dt#0∂vzC0θ(θ, t)dt − ctg θ +.∂θsin θПодставив последнее выражение в уравнение (8.217), получим00C0θt= 0,следовательно,C0 (θ, t) = C1 (θ) + C2 (t),0C0θ(θ, t) C10 (θ) g== C1 (θ).sin θsin θУравнение (8.219) в терминах функции ψ примет вид−∂ψ ∂vλ ∂ψ ∂vλ+=0∂z ∂θ∂θ ∂zилиD(vλ , ψ),D(θ, z)следовательно, vλ = F (ψ) и из выражений (8.215)Zp(θ, z, t) =Zρ(θ, z, t) = −cos θF (ψ) dθ + C1 (z, t),∂ψ0cos θF 0 (ψ)dθ − C1z(z, t).∂zДалее, вычислив∂ 2p Z=∂z 2∂p Z∂ψ0= cos θF 0 (ψ)dθ + C1z(z, t),∂z ∂zÃ!22∂ψ∂ψ00000cos θ F (ψ)+ F (ψ) 2  dθ + C1zz(z, t),∂z∂z– 320 –Ã∂ 3p Z∂ψ= cos θ F 000 (ψ)3∂z∂z!3∂ 2 ψ ∂ψ∂ 3ψ 0+ F (ψ) 3 dθ++ 3F (ψ) 2∂z ∂z∂z00000+C1zzz(z, t),получим выражение для vz :ZÃ!∂ 2 ψ ∂ψ∂ 3ψ ∂ψ 3000000+ 3F (ψ) 2+ F (ψ) 3 dθ+vz (θ, t) = νcos θ F (ψ)∂z∂z ∂z∂z2Z∂ψ∂ψ∂ψ000 dθ − C 00 (z, t) ×+ C1zzz+ F 0 (ψ)(z, t)] − cos θ F 00 (ψ)1zt∂z ∂t∂t∂zZ×Ã∂ψcos θ F (ψ)∂z00!2−1∂ 2ψ 00+ F (ψ) 2 dθ + C1zz(z, t)∂z0.Для удобства дальнейшего изложения целесообразно предложитькакую-либо простейшую функциональную зависимость F (ψ).

ПустьF (ψ) = αψ, α = const, тогдаµ Z¶∂ ipα exp(z) Z(i)sin 2θ exp − vz (θ, t)dt dθ + C1z (z, t), i = 1, 2, 3,=−i∂z2 RRαsin 2θ(ν + vz ) exp (− vz (θ, t)dt) dθ + C2 (t) − C20 (t)2µ Z¶vz (θ, t) = −,αZsin 2θ(ν + vz ) exp − vz (θ, t)dt dθC2 (t) −2где C2 (t) = exp(−z)C1 (z, t).Из выражения (8.222)µ Z¶α exp(z) Zsin 2θ exp − vz (θ, t)dt dθ+2Z+ cos θC0 (θ, t)dθ + C1 (z, t),p(θ, z, t) = −из граничного условия при z = 0:∂p(θ, 0, t) = −Ts (θ, t) =∂z¶vz (θ, t)dt dθ − C2 (t) = −Ts (θ, t),ρ(θ, 0, t) = −=µ ZαZsin 2θ exp −2следовательно,Ts (θ, t) = C2 (t) −µ Z¶αZsin 2θ exp − vz (θ, t)dt dθ2– 321 –иµ Z¶αZν(Ts − C2 ) + C2 −sin 2θvz exp − vz (θ, t)dt dθ − C20 (t)2vz (θ, t) =.Ts (θ, t)(8.223)Учитывая граничные условия (8.179)vλ → 0приbz = b(e)z (θ, t)(e)bθ = bθ (θ, t)z → −∞,приz = 0,приz = 0,получаемC0 (θ, t) = 0,gC1 (θ)=b(e)z (θ, t)µZ−vz (θ, t) = −¶µ− ctg θ exp −1(e)0(e)bθ (θ, t)¶Z0vzθdtvz (θ, t)dt ,bθt (θ, t).∂vz= 0 и vz = vze при z = 0, следовательно vz (θ, t) =∂zvze (θ, t) при любом значении z.Далее, так какИтак, найдены следующие магнитогидродинамические характеристики:µvθ = 0,vλ (θ, z, t) = −α sin θ exp z −vz (θ, t) = vze (θ, t),¶Zvz (θ, t)dt ,bλ (θ, z, t) = 0,µ Z¶α exp(z) Zp(θ, z, t) = −sin 2θ exp − vz (θ, t)dt dθ + exp(z)C2 (t),2 Zµ Z¶αρ(θ, z, t) = exp(z) sin 2θ exp − vz (θ, t)dt dθ − exp(z)C2 (t),2µ¶Zbθ (θ, z, t) = exp z − vz (θ, t)dt ,µbz (θ, z, t) = exp z −Z¶ "Zvz (θ, t)dt#∂vzgdt − ctg θ + C1 (θ),∂θгде функция C2 (t) определяется соотношением (8.223).

В частности,при C2 (t) = 0µ Z¶α Zvz (θ, t) = ν −vz sin 2θ exp − vz (θ, t)dt dθ2Ts– 322 –илиRRα vz sin 2θ exp (− vz (θ, t)dt) dθTs (θ, t) =.2(ν − vz )И в отличие от рассмотренных выше стационарных моделей величина vz∞ явно определяется не только параметром ν, характеризующим интенсивность диссипации, но и распределением функции поверхностной температуры.Частота вращения явно не входит в окончательные выражения длямагнитогидродинамических полей, представленных в безразмерномвиде. Это обусловлено тем, что масштаб движения настолько велик,что характерные изменения нормальной компоненты угловой скорости вращения слоя на этом масштабе равны O(1). Кроме того, следуетотметить, что угловая скорость вращения слоя явно входит в выражения, описывающие полные изменения полей плотности и давленияв пространстве, представленных в размерном виде, что следует изсоотношений (8.143) и (8.144).В заключение отметим, что основным результатом представленного исследования является построенные аналитические решения системы нелинейных уравнений в частных производных, моделирующей геострофическое движение в слое идеальной электропроводнойнеоднородной вращающейся жидкости как для стационарного, так инестационарного случаев с учетом диссипации.

Структура представленных полей магнитогидродинамических величин позволяет сделатькачественный вывод о существовании сильных изменений в тонкомслое, примыкающем к границе. В дальнейшем возможно проведениечисленного анализа полученных аналитических результатов с цельювыявления численных оценок параметров жидкого слоя и сравненияих с известными из сейсмических и гравитационных наблюдений.– 323 –§ 8.4.Динамика вращающегося слоя идеальной электропроводной несжимаемой жидкости в экваториальнойобластиВблизи экватора нормальная компонента угловой скорости вращения сферической области представляет собой малую величину и обращается в нуль на экваторе, и, как следствие, геострофическое приближение перестает быть справедливым.Таким образом, для описания природы экваториальной динамикинеобходим детальный анализ исходных магнитогидродинамическихуравнений с учетом особенностей экваториальной области.8.4.1.Редукция основных уравненийРассмотрим уравнения динамики волн в широтном поясе около экватора.

Характеристики

Список файлов диссертации