Диссертация (1145260), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Представлено аналитическое решение. Полученные дисперсионные соотношения и аналитическое решение позволяют выявить общие закономерности исследуемого процесса и определить влияние рельефа верхней границыобласти и динамики нижней границы на магнитогидродинамическиехарактеристики волнового процесса.Результаты данной главы основаны на публикациях [98, 154, 157,158, 160, 227, 227, 228, 238].Глава 8Магнитогидродинамические волныв стратифицированной вращающейся жидкости§ 8.1.Волновые движения в стратифицированной электропроводной вращающейся жидкостиПроведем редукцию нелинейной системы уравнений в частных производных, моделирующей возмущения в идеальной электропроводнойвращающейся жидкости, с учетом инерционных сил, сил тяжести, Кориолиса, Лоренца, а также имеющихся неоднородностей плотности.Интерес к земному ядру обусловлен тем, что оно оказывает существенное влияние на многие геофизические явления и процессы,происходившие и происходящие в Земле, которые могут проявлятьсяи на ее поверхности.

Кроме того, идеи, высказанные С.И. Брагинским [21] о существующей стратификации плотности жидкого ядраЗемли, определяющей в целом ряде случаев его основную динамику,как важный фактор эволюции планеты, представляют интерес длядальнейшего аналитического исследования.Итак, рассмотрим движение идеальной электропроводной несжимаемой стратифицированной вращающейся жидкости.

Колебания рассматриваемой жидкости описываются следующей системой уравнений:∇p1∂v+ (v · ∇) v = −− 2 ω × v − gz +rot B × B,∂tρµρdiv v = 0,dρ= 0,dt(8.1)(8.2)(8.3)– 262 –∂B= rot (v × B) ,∂tdiv B = 0.(8.4)(8.5)Исследуем распространение малых возмущений в проводящей среде,находящейся в однородном постоянном магнитном поле b0 . Предположим, что полное магнитное поле B = b0 + b представляет собойсуперпозицию невозмущенного поля b0 и индуцированного поля b,которое обусловлено волновым движением.

Предположим, что жидкость стратифицированна вдоль вертикальной оси, ее плотность вневозмущенном стационарном состоянии является функцией лишь z,т. е. ρ0 = ρ0 (z) иρ(x, y, z, t) = ρ0 (z) + ρ1 (x, y, z, t),где ρ1 (x, y, z, t) — динамическая добавка, описывающая изменениеплотности, вызванное движениями жидкости.Уравнения (8.1)–(8.5) для малых возмущений b, ρ, p и v примутвид∂v∇p gρ11+α×v =−−z−b0 × rot b,∂tρ0ρ0µρ0(8.6)div v = 0,(8.7)∂ρ1+ ρ00 (z) (v · z) = 0,∂t∂b= rot (v × b0 ) ,∂tdiv b = 0,(8.8)(8.9)(8.10)где α = 2 ω .Преобразуем в уравнении (8.6) последнее слагаемое, используя векторное тождествоa × (b × c) = b (a · c) − c (a · b) :b0 × rot b = b0 × (∇ × b) = ∇ (b0 · b) − b (b0 · ∇) == ∇ (b0 · b) − (b0 ∇) b.(8.11)– 263 –Аналогично преобразуем правую часть уравнения (8.9):rot (v × b0 ) = ∇ × (v × b0 ) = v (∇ · b0 ) − b0 (∇ · v) == (b0 · ∇) v.(8.12)С учетом преобразований (8.11) и (8.12) система уравнений (8.6)–(8.10) сводится к следующей системе уравнений в частных производных:∂v1(b0 · b)  gρ1+ α × v + ∇ p +z−+∂tρ0µρ01−(b0 · ∇) b = 0,µρ0div v = 0,∂ρ1+ ρ00 (z) (v · z) = 0,∂t∂b= (b0 · ∇) v,∂tdiv b = 0.(8.13)(8.14)(8.15)(8.16)(8.17)Если продифференцировать по t уравнение (8.13) и воспользоваться уравнением (8.15), то оказывается возможным исключить функцию ρ1 , и система (8.13)–(8.17) может быть представлена в видеÃ!∂vx∂η 1ρ0− αvy +− Dbx = 0,∂t∂x µ!Ã∂vy∂η 1+ αvx +− Dby = 0,ρ0∂t∂yµ22∂ vz∂ η1 ∂vtρ0  2 + ω02 vz  +− D= 0,∂t∂t∂z µ ∂tdiv b = 0,∂b= Dv,∂t(8.18)(8.19)(8.20)(8.21)(8.22)где ω02 — квадрат частоты Вяйсяля–Брента, определяемый формулойgρ0 (z)(b0 · b)ω02 = − 0 ; η = p +— гидромагнитное давление, D =ρ0 (z)µ= b0 · ∇ — дифференциальный оператор.– 264 –eeВведем в рассмотрение функции η(x,y, z, t), b(x,y, z, t), определя-емые равенствами³´³³´³η(x, y, z, t) = −ρ0 Dt2 + α2b(x, y, z, t) = µρ0 Dt2 + α2´eDt2 + ω02 η(x,y, z, t),´eDt2 + ω02 b(x,y, z, t),(8.23)(8.24)∂.∂tЗаметим, что соотношениями (8.23) и (8.24) функции η и b опреде-где Dt =ляются неоднозначно.

Если функция η0 (x, y, z, t) удовлетворяет соотношению (8.23), то очевидно, соотношению (8.23) — и любая функциявидаηe = η0 (x, y, z, t) + η1 (x, y, z) cos αt + η2 (x, y, z) sin αt ++ η3 (x, y, z) cos ω0 t + η4 (x, y, z) sin ω0 t,(8.25)где ηj (x, y, z), j = 1, 4 — произвольные функции. Аналогично, функeция bпредставима в видеeb= b(0) (x, y, z, t) + b(1) (x, y, z) cos αt + b(2) (x, y, z) sin αt ++ b(3) (x, y, z) cos ω0 t + b(4) (x, y, z) sin ω0 t,(8.26)где b(j) , j = 1, 4 — произвольные функции своих аргументов в рассматриваемой области.Предположим далее, что функция ρ0 (z) является экспоненциальной, т.

е. ρ (z) = Ae−βz , где A и β — положительные константы. В0этом случае ω02 = const.Подставив функции η, b из выражений (8.23) и (8.24) в уравнения(8.18) и (8.19), получим в матричном виде³= Dt2 + α2´³Dt2 +Dt −ααDtex´ ηω02 ηeyvxvy+ D += e bx  b0z  e  .ρ0byρ00(8.27)– 265 –Интегрирование соотношения (8.23) по t приводит к равенствуvxvy ³ 2= Dt+´ω02 Dtαex  η + D +eDtηy−α+ C1 (x, y, z) cos αt− sin αt+ C2 (x, y, z)  e bx  b0z  e  +ρ0byρ00sin αtcos αt,(8.28)где C1 (x, y, z) и C2 (x, y, z) — произвольные функции.

Подставляя вeee bравенство (8.23) функции η,x и by (8.23) из представлений и (8.23),получим:vxvy ³ 2= Dt+´ω02 Dtα−α Dt"η0xη0y³+ C1 (x, y, z) + α ω02 − α2³+ α ω02 − α2´"D+ρ00ρ0+D´Ã´Ãρ0b0z !³³+ρ00´ cos αt− sin αt!∂η2 ∂η1+−∂y  ∂x ´+´  sin αtρ00  ³ (2)2 2D + b0z by − b(1)+ α ω0 − αxρ0cos αt³(0)bx  +b(0)y∂η1 ∂η2++∂y  ∂x(2)b0z  b(1)y + bx+ C2 (x, y, z) + α ω02 − α2.(8.29)Рассмотрим вектор C(x, y, z) = (C2 (x, y, z), −C1 (x, y, z), 0) ∈ H 2 (ΩΩ),Cj (x, y, z) ∈ L2 (ΩΩ), j = 1, 2, где HH2 (ΩΩ) — подпространство гильбертова пространства L2 (ΩΩ) вещественных вектор-функций v== (v1 , v2 , v3 ), определенных в ограниченной области Ω ∈ R3 с кусочно-гладкой границей и имеющих компоненты vk (k = 1, 3), принадлежащие гильбертову пространству вещественных функций L2 :H 2 (ΩΩ) = {v ∈ L2 : v = (v1 , v2 , 0)} ,т.

е. H 2 (ΩΩ) представляет собой совокупность всех векторов v ∈ L2 (ΩΩ),имеющих нулевую третью компоненту.Для дальнейшего исследования оказывается полезной следующаятеорема о представлении векторов подпространства H 2 (ΩΩ) [34].– 266 –Теорема. Для любого вектора C(x, y, z) ∈ H 2 (ΩΩ) найдется пара функций ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) ∈ L2 (ΩΩ), такая, что C(x, y, z) == (ϕx + ψy , ϕy − ψx , 0), где ϕx , ϕy , ψx , ψy — частные производныефункций ϕ(x, y, z) и ψ(x, y, z).Используя теорему и полагаяψ(x, y, z),η2 = −α(ω02 − α2 )ϕ(x, y, z)η1 =,α(ω02 − α2 )получим(2)b(1)y = −bx ,b(1)xvxvy³= Dt2 + ω02ex  ηeηy× + D +=´ρ00ρ0(8.30)b(2)y ,Dtα−α Dtb0z  ebxbey× .(8.31)Подставив выражения (8.23) и (8.24) в уравнение (8.20), получим³´Dt2 + ω02 vz =³= Dt Dt2 + α2´³ρ0b0z ρ00 e Dt2 + ω02  0 ηe + ηez + Dbez +bz .ρ0ρ0´(8.32)Интегрируя соотношение (8.32) по времени, получим выражение длявертикальной компоненты скорости vz :00³´bρ0z022  ρ0 eη + ηez + Dbez +bez  +vz = Dt Dt + αρ0ρ0+ d1 (x, y, z) sin ω0 t + d2 (x, y, z) cos ω0 t,(8.33)где dj (x, y, z), j = 1, 2 — произвольные функции.

Учитывая представление (8.25) и (8.26), запишем выражение (8.33) следующим образом:0´2  ρ0ηαb0z ρ00 (0) bvz =+++0 + η0z +ρ0ρ0 z0³´ ρ0ρ002(3)2+d1 (x, y, z)+ω0 ω0 −α  η3 +η3z + D+b0z bz  sin ω0 t+ρ0ρ00³´ ρ0ρ cos ω t.+d2 (x, y, z)−ω0 ω02 −α2  0 η4 +η4z + D+b0z 0 b(4)0ρ0ρ0 z³Dt Dt2Db(0)z(8.34)– 267 –Выберем произвольные функции ηj (x, y, z), b(j)z (x, y, z), (j = 3, 4)таким образом, чтобы выражения, стоящие в квадратных скобкахв выражении (8.34), обратились в нуль. Возможность такого выбора функций ηj , bz(j) при ω0 6= α обусловлена при ω0 6= α теоремойХёрмандера об интегрировании уравнений в частных производных спостоянными коэффициентами в L2 (ΩΩ) [34].

Согласно этой теореме,найдутся функции ηj (x, y, z), b(j)Ω), (j = 3, 4), имеющиеz (x, y, z) ∈ L2 (Ωпроизводные по x, y и z и такие, что³ω0 ω02−´2 α∂b(j)∂b(j)1 ∂z(j)(ρ0 ηj + b0z ρ0 bz ) + b0x+ b0y z  =ρ0 ∂z∂x∂y= (−1)j dj (x, y, z),j = 3, 4.При таком выборе функций ηe и bez уравнение (8.34) примет видvz =³Dt Dt2+0´2  ρ0 eηαρ0b0z ρ00 e ee+ η z + D bz +bz .ρ0(8.35)Объединяя формулы (8.30) и (8.35) в векторной записи, получимv=³Dt2+0³³´ρ∇ρ0 ηe02 eD+eα−(αα × ∇η)+b0z  Dt b−ω0 Dtρ0ρ0 00³´ρρ0022+ α − ω0 Dt  ηe + ηez + D + b0z  bez  z.ρ0ρ0e´´×b+(8.36)Уравнение (8.22) с учетом выражения (8.36) примет вид³µρ0 Dt Dt2 + α2´³´eDt2 + ω02 b=0³³´eρ∇ρη0eD+ 0 b  D b−eα−(αα × ∇η)+= Dt Dt2 +ω02 Dtt0zρ0ρ0 00³´ρρ+ D α2 − ω02 Dt  0 ηe + ηez + D + 0 b0z  bez  z.ρ0ρ0³×´´e b+(8.37)Вводя вместо функции ηe функцию ξ по формуле·ηe=Dt2³µρ0 (Dt22+α )−f´22 2+α f¸hµρ0 (Dt2+ω02 )i− f ξ,(8.38)ρ00где f = D + b0z — дифференциальный оператор, уравнение (8.37)ρ02– 268 –для горизонтальных компонент поля представим в матричном виде³2 Dt µρ0 (Dt2+α )−αfDt µρ0 (Dt2 +³= D Dt2 µρ0 (Dt2 + α2 ) − f´2×Dte³αf·´  bx ´  e 2α)by¸h=i+ α2 f 2 µρ0 (Dt2 + ω02 ) − f ×α−α Dtηxηy.(8.39)Интегрирование по t соотношения (8.39) приводит к равенствуe bx  e byh= D µρ0 (Dt2 + ω02 ) −if Dtα−α Dtξxξy.(8.40)Проинтегрировав вертикальную составляющую уравнения (8.37) сучетом выражения (8.38), для компоненты поля bez получим следующее выражение:·³bez = D Dt2 µρ0 (Dt2 + α2 ) − f´2+ α2 f 2¸ρ0 0ξ + ξ  .zρ0(8.41)Произвольные функции результата интегрирования можно исключить используемым выше методом.Вектор b является решением системы (8.18)–(8.22), поэтому подстановка выражений (8.40) и (8.41) в уравнение (8.21), приводит куравнению для функции ξ(x, y, z, t):³´Dt µρ0 (Dt2 + α2 ) − f ∆2 ξ + F ξzz +³´ρ00F + µρ00 Dt2 (Dt2 + α2 ) µρ0 (Dt2 + α2 ) − f  ξz ++2ρ02³´ρ00  ρ02022222F  ξ = 0,+ 2µ Dt (Dt + α ) µρ0 (Dt + α ) − f +ρ0ρ0³где F = Dt2 µρ0 (Dt2 + α2 ) − f´2(8.42)+ α2 f 2 — дифференциальный опе∂2∂2+.

Характеристики

Список файлов диссертации