Диссертация (1145260), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В этом случаеbr =fbλ = H(rsin θ),α ctg θα,bθ = − ,rrvλ = F (r sin θ),Wλ =α.r2 sin2 θ2) ψ = G(r sin θ). Тогда vλ = F (ψ), bλ = H(ψ), br =G0= − , а равенство (7.165) принимает видrG0 ctg θ, bθ =rWλ = A(ψ).(7.166)Подставляя в (7.166) представление (7.165) для Wλ , получимψ 00 −ψ0− r sin θA(r sin θ) = 0.r sin θ(7.167)Уравнение (7.167) имеет общее решениеZ1Z1A(u)u2 duψ(r, θ) = C1 r2 sin2 θ + C2 + r2 sin2 θ A(u)du −22с произвольными постоянными C1 и C2 .– 212 –3) vλ = −ωr sin θ.

В этом случае уравнение (7.164) принимает видÃ!(H 0 )2 WλD ψ, 2 2D ψ,2r sin θr sin θ −= 0,D(r, θ)D(r, θ)откуда(H 0 )2 WλD ψ,−r sin θ 2r2 sin2 θ= 0.D(r, θ)Wλ(H 2 )0Следовательно, между выражением−и функциейr sin θ 2r2 sin2 θψ(r, θ) существует функциональная связь(H 2 )0fWλ −= r sin θK(ψ).2r sin θ(7.168)Из (7.168) с учетом (7.165):"#2∂ψ∂ψ(H 2 )0∆ψ − 2 ctg θ+r+= r2 sin2 θK(ψ).(7.169)r∂θ∂r2bλ0При bλ =выражение (H 2 )0 обращается в нуль, поэтому уравr sin θнение (7.169) для функции ψ(r, θ) принимает вид"#∂ψ∂ψ2+r= r2 sin2 θK(ψ).∆ψ − 2 ctg θr∂θ∂r(7.170)Если K(ψ) тождественно равно нулю, что соответствует равенствунулю λ-компоненты магнитного поля, то уравнение (7.170) принимаетвид"#2∂ψ∂ψ∆ψ − 2 ctg θ+r= 0.(7.171)r∂θ∂rПри K(ψ) = 0 и функции H(ψ), удовлетворяющей условию"#4∂ψ∂ψ(H ) = 2 ctg θ+r,r∂θ∂r2 0уравнение (7.169) переходит в уравнение Лапласа∆ψ = 0,решение которого представляется в видеψ(r, θ) =∞ ÃXn=0!BnAn ρ + n+1 Pn (cos θ).ρn– 213 –§ 7.8.Волны в сферическом слоеИсследуем волновые движения в тонком вращающемся с угловойскоростью ω сферическом слое электропроводной несжимаемой жидкости.

Магнитогидродинамические уравнения, описывающие представленную модель, имеют вид∂ v2∂vr++ vλ Ωθ − vθ Ωλ − 2ω sin θvλ =∂t∂r 2∂W1 ∂p1=−−+[bλ Wθ − bθ Wλ ] ,∂rρ ∂r µρ∂vθ 1 ∂ v 2++ vr Ωλ − vλ Ωr − 2ω cos θvλ =∂tr ∂θ 21 ∂W1 ∂p1=−−+[br Wλ − bλ Wr ] ,r ∂θρr ∂θ µρ∂vλ1 ∂ v2++ vθ Ωr − vr Ωθ + 2ω (cos θvθ + sin θvr ) =∂tr sin θ ∂λ 21 ∂W1 ∂p1=−−+[bθ Wr − br Wθ ] ,r sin θ ∂λρr sin θ ∂λ µρ1 ∂vr1 ∂vr∂vr1 ∂br∂br= bθ+ bλ+ br− vθ−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θ∂br∂br1−vλ− vr,r sin θ ∂λ∂r∂bθ1 ∂vθ1 ∂vθ∂vθ1 ∂bθ= bθ+ bλ+ br− vθ−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θ∂bθ∂bθ1−vλ− vr,r sin θ ∂λ∂r∂bλ1 ∂vλ1 ∂vλ∂vλ1 ∂bλ= bθ+ bλ+ br− vθ−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rr ∂θ∂bλ∂bλ1vλ− vr,−r sin θ " ∂λ∂r#1 ∂ ³ 2 ´1∂∂vλr vr +(sin θvθ ) += 0,r ∂rsin θ " ∂θ∂λ #1 ∂ ³ 2 ´1∂∂bλr br +(sin θbθ ) += 0,r ∂rsin θ ∂θ∂λгде"2v =vr2+vθ2+vλ2 ,#∂∂vθ1(sin θvλ ) −,Ωr =r sin θ ∂θ∂λ– 214 –#"1∂vr∂1 ∂(rvθ ) ∂vr Ωθ =− (r sin θvλ ) ,Ωλ = −,r sin θ ∂λ∂rr∂r∂θ"#∂∂bθ1Wr =(sin θbλ ) −,r sin θ" ∂θ∂λ #1∂∂brWθ =−(r sin θbλ ) ,r sin θ " ∂λ ∂r#1 ∂∂brWλ =(rbθ ) −.r ∂r∂θЗапишем проекции уравнения движения на оси θ и λ, пренебрегаячленами с составляющими скорости и магнитного поля по оси r:∂vθ1 ∂p− vλ (Ωr + 2ω cos θ) = −−∂trρ∂θ1 ∂  v21−+ W  − bλ W r ,r ∂θ 2µρ∂vλ1 ∂p+ vθ (Ωr + 2ω cos θ) = −−∂trρsinθ∂λ11 ∂  v2+ W  + bθ W r .−r sin θ ∂λ 2µρ(7.172)(7.173)Предполагая движение квазисоленоидальным (при этом обращаетсяв нуль дивергенция горизонтальной составляющей скорости и магнитного поля жидкости), уравнения неразрывности и соленоидальностиполя можно представить, соответственно, в виде:∂(vθ sin θ) +∂θ∂(bθ sin θ) +∂θ∂vλ= 0,∂λ∂bλ= 0.∂λ(7.174)(7.175)Уравнения (7.174) и (7.175) позволяют ввести функции ψ(θ, λ, r, t) иϕ(θ, λ, r, t), такие, чтоvθ = −1 ∂ψ,r sin θ ∂λvλ =1 ∂ψ,r ∂θ(7.176)bθ = −1 ∂ϕ,r sin θ ∂λbλ =1 ∂ϕ.r ∂θ(7.177)– 215 –Следствием применения к уравнениям (7.172) и (7.173) оператора rotи учета соотношений (7.176) и (7.177) является уравнениеÃ!∂∆ψ1∂ψ ∂∆ψ ∂ψ ∂∆ψ∂ψ+ 2−+ 2ω=∂tr sin θ ∂θà ∂λ∂λ ∂θ∂λ!1∂ϕ ∂∆ϕ ∂ϕ ∂∆ϕ=−.µρr2 sin θ ∂θ ∂λ∂λ ∂θ(7.178)Будем искать решение нелинейного уравнения (7.178) в видеϕ(θ, λ, r, t) = F (ψ(θ, λ, r, t)) .(7.179)Тогда∆ϕ = F 0 (ψ)∆ψ +Ã!2∂ψ00F (ψ) ∂θÃ1∂ψ+sin2 θ ∂λ!2 ,и уравнение (7.178) в терминах функции ψ примет вид1D(∆ψ, ψ)(F 0 )2+F 0 F 002µρr sin θ D(θ, λ)Ã!2∂ψD+Ã!∂ψ 2 1,ψ ∂θ sin2 θ ∂λ−D(θ, λ)Ã!∆ψD+ 2ω cos θ, ψ21∂∆ψr−= 0.−∂tsin θD(θ, λ)(7.180)Пусть далее, F (ψ) = αψ.

Тогда уравнение (7.180) примет видÃ!∆ψD+ 2ω cos θ, ψ2∂∆ψ1α2D(∆ψ, ψ)r+−= 0 (7.181)∂tsin θD(θ, λ)µρr2 sin θ D(θ, λ)или∆ψ α2 D+ 2ω cos θ, ψ 1−∂∆ψ1r2µρ+= 0.∂tsin θD(θ, λ)(7.182)Решение уравнения (7.182) будем искать в видеψ(θ, λ, r, t) = −r2 β cos θ + Jn (θ, λ − σn t),где Jn (θ, λ) — сферическая функция порядка n:Jn (θ, λ) =nXm=0mmAmn Pn (cos θ) cos(mλ + Bn ),(7.183)– 216 –mпричем β, σn , Amn , Bn — константы.Так как ∆Jn = −n(n + 1)Jn , то∂∆ψ∂Jn= −n(n + 1)=∂t∂t∂Jn∂∆ψ∂Jn= n(n + 1)σn,= −n(n + 1),∂λ∂λ∂λ∂∆ψ∂Jn= −2r2 β sin θ − n(n + 1),∂θ∂λ∂ψ∂Jn∂ψ∂Jn= r2 β sin θ +,=.∂θ∂θ∂λ∂λПодставляя эти выражения в уравнение (7.182), придем к соотноше∆ψ = 2r2 β cos θ − n(n + 1)Jn ,нию22∂Jn ααn(n + 1)σn − βn(n + 1) 1 −  + 2β 1 −  + 2ω  = 0.∂λµρµρ(7.184)Равенство (7.184) выполняется при любых λ и θ, если толькоα2 α2 n(n + 1)σn − βn(n + 1) 1 −+ 2β 1 −+ 2ω = 0.

(7.185)µρµρТаким образом, волна (7.183) представляет собой точное решениеmнелинейного уравнения (7.180) при произвольных Amn , Bn и функ-ции F (ψ) = αψ, если относительно частоты σn выполняется условие(7.185), представимое в виде1α2 β 1 −σn =(n(n + 1) − 2) − 2ω  ,n(n + 1)µρили, преобразуя, в виде(7.186)α2 β 1 −+ ω22αµρσn = β 1 −  −.µρn(n + 1)Для нахождения r-компонент скорости жидкости и магнитного поля обратимся к составляющим по осям r, θ, λ уравнения магнитнойиндукции1 ∂vrbλ ∂vr∂vr∂br= bθ++ br−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂r1 ∂brvλ ∂br∂br− vθ−− vr,r ∂θr sin θ ∂λ∂r(7.187)– 217 –∂bθ1 ∂vθbλ ∂vθ∂vθ= bθ++ br−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂r1 ∂bθvλ ∂bθ∂bθ− vθ−− vr,r ∂θr sin θ ∂λ∂r∂bλ1 ∂vλbλ ∂vλ∂vλ= bθ++ br−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂r1 ∂bλvλ ∂bλ∂bλ− vθ−− vr.r ∂θr sin θ ∂λ∂r(7.188)(7.189)Уравнения (7.188) и (7.189) с учетом вышеприведенного исследованияпринимают вид∂vθ∂vθ∂vθ= br− αvr,∂t∂r∂r∂vλ∂vλ∂vλα= br− αvr.∂t∂r∂rα(7.190)(7.191)Результатом сложения произведений уравнения (7.190) на vλ и уравнения (7.191) на vθ является соотношение∂(vθ vλ )br− vr = ∂t.∂α(vθ vλ )∂r(7.192)В дальнейшем примем следующее обозначение правой части равенства (7.192):∂(vθ vλ )∂t= Φ(r, θ, λ, t).∂(vθ vλ )∂rС учетом (7.192) и (7.193)(7.193)br = αvr + αΦ,(7.194)а подставляя соотношение (7.194) в уравнение (7.187) для r-компонентымагнитного поля, получимÃ!∂brvθ ∂vrvλ ∂vr∂vr=α++ (αvr + αΦ)−∂tr ∂θr sin θ ∂λ∂rvθ ∂brvλ ∂br∂br−−− vr,r ∂θr sin θ ∂λ∂r– 218 –откудаÃ!dvr ∂vr∂vrdvrdΦα++ αΦ=α+α ,dt∂t∂rdtdtили, упрощая,∂vr∂vrdΦ−Φ=− .(7.195)∂t∂rdtХарактеристиками уравнения (7.195) являются интегральные кривыесистемы обыкновенных дифференциальных уравненийdt = −drdvrdλ dθ=−== ,dΦΦ00dt(7.196)имеющей функционально независимые первые интегралыZθ = C1 ,λ = C2 ,r+Φdt = C3 ,vr + Φ = C4 ,где Φ = Φ(r, C1 , C2 , t).

Тогда общее решение уравнения (7.195) задается формулойZef (θ, λ, r +Φdt, vr + Φ) = 0,(7.197)∂ fe(α, β, γ, δ)где f — произвольная функция класса C ,6= 0.∂δИз соотношений (7.194) и (7.197) следуют искомые выражения дляe1r-компонент скорости и магнитного поля:Zvr = f (θ, λ, r +ZΦdt) − Φ,br = αf (θ, λ, r +Φdt),(7.198)где f — произвольная функция, определяемая из соответствующихграничных условий.Обращаясь, далее, к уравнению (7.173), после квадратуры по λполучим выражение для давления p:Zv2∂vλdλ − ρ − ρr sin θ vθ Ωr dλ −p(θ, λ, r, t) = −ρr sin θ∂t2Zr sin θ Z− ωρr sin 2θ vθ dλ +bθ Wr dλ + d0 (θ, r, t),µZздесь d0 — произвольная функция, определяемая из начальных и граничных условий.– 219 –В горизонтальных уравнениях движения пренебрегли членами сvr и br , но это не означает, что vr и br равны нулю.

Они находятся из уравнений индукции, в которых члены с vr и br не малы. Вдальнейшем следует произвести более строгий анализ масштабов и,соответственно, порядков членов рассматриваемых модельных уравнений.§ 7.9.Динамика тонкого вращающегося слоя идеальной электропроводной несжимаемойжидкостиИзучим динамику тонкого вращающегося слоя идеальной электропроводной несжимаемой жидкости.Векторный характер системы нелинейных уравнений в частныхпроизводных, описывающей динамику вращающегося слоя идеальнойэлектропроводной несжимаемой жидкости, приводит к определеннымтрудностям ее исследования. Поэтому естественным является стремление свести ее к эквивалентным скалярным уравнениям для вспомогательных функций.Целью исследования является редукция нелинейной системы уравнений в частных производных, моделирующей возмущения в слое идеальной электропроводной вращающейся жидкости, ограниченном поверхностями, изменяющимися в пространстве и во времени, с учетоминерционных сил; а также построение аналитических решений соответствующих краевых задач.Согласно работам известного шведского физика и астрофизикаГ.

Характеристики

Список файлов диссертации