Диссертация (1145260), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

В векωторном виде это означает, что VΦ = 2 k.kВолна произвольной формы является суперпозицией элементарных плоских волн. Элементарные волны, из которых состоит волновой пакет, могут перемещаться с различными фазовыми скоростями,а сам волновой пакет движется с групповой скоростью, которая определяется соотношениемV=∂ω∂ω∂ωx̂ +ŷ +ẑ,∂kx∂ky∂kz(7.76)где x̂, ŷ, ẑ — единичные векторы в направлении осей Ox, Oy и Oz.Групповая скорость определяет скорость распространения возмущения.Вычислим групповую скорость по формуле (7.76).

Для компонентскорости имеем:∂ωαλ=±cos ξ cos ψ ±∂kx4πvuu2tα2 cos2 ψ1×244π+ |b0 |2 2 cos2 ϕµρα8παλ2 cos ξ cos2 ψ+b0x |b0 | cos ϕ ,× −2πµρλ∂ωαλ1=±cos η cos ψ ± v×u2∂ky4πu44π222tα2 cos2 ψ + |b0 | 2 cos ϕµρα2 22αλcosηcosψ8π× −+b0y |b0 | cos ϕ ,2πµρλ∂ωαλ sin2 ψ1=±± v×u2∂kz4πu44π222tα2 cos2 ψ + |b0 | 2 cos ϕµρα– 191 –αλ2 cos ψ sin2 ψ8π+b0z |b0 | cos ϕ ,×2πµρλeили, с учетом выражения для µ,∂ω1λ2 µe cos ξ cos ψ2b0x αλ=±cos ξ cos ψ ± √−+,√∂kx4π2πµρ2 1 + µe 22 e2∂ωαλ12bλµcosηcosψ0y−=±cos η cos ψ ± √+ √ ,∂ky4π2πµρ2 1 + µe 2∂ωµeα2 λ sin2 ψαλ sin2 ψ2αb0z =±± √+=√µe µρ∂kz4π2π2α 1 + µe 2e sin2 ψαλ sin2 ψ1αλµ2b0z=±± √+ √ .2e4π2πµρ2 1+µБез учета вращения V = VA ẑ и вектор возмущений распространяется параллельно вектору магнитного поля b0 со скоростью, равнойскорости Альвена VA .При учете вращения под действием силы Кориолиса вектор возмущений распространяется непараллельно вектору магнитного поляb0 . Следовательно, сила Кориолиса отклоняет направление векторавозмущения в процессе его перемещения от направления вектора магнитного поля b0 .Для определения вектора амплитуд ϕ необходимо решить однородную систему линейных уравнений · ϕ = 0, =kx−ωρkyαρikz0ρ0 (k, b0 )(7.77)αi0−ω00−ω00b0x kyµρb0x kzµρω−−Â15−b0y kx b0z kxµρµρb0z kyÂ26µρb0y kzÂ37µρ0000(k, b0 )00ω0000(k, b0 )00ω0kxkykz0000000kxkykz.– 192 –ЗдесьÂ15 =b0y ky + b0z kz,µρÂ26 =b0z kz + b0x kx,µρÂ37 =b0x kx + b0y ky.µρДля каждого значения ω из дисперсионного соотношения (7.74), сточностью до постоянного множителя, система (7.77) имеет нетривиальное решениеbez = b0z ,vez = −ωb0z,(k, b0 )αk k − A x y  ωk bz 0zikz2vex =  ,2αkkkxyxk  − A + k A + A (k, b )xy0ikz2kz22kA + A x  ωk bz 0zkz2vey =  ,2kkαkxyk  − A + k A + A x  (k, b )xy02ikzkz22 kkkαxy + b A + A x   b0x  − A0y2ωρb0z Akz bz0 ikzkz2 2 ,pe =− ωb0z +2kx ky k(k, b0 )µ   αxkx− A 2 + ky A + A 2  ikzkz11bey = − vey (k, b0 ) .bex = − (k, b0 ) ,ωω§ 7.4.Нелинейные стационарные движения электропроводной жидкостиРядом авторов проводились исследования нелинейной конвекциив магнитном поле в приближении быстрого вращения [223, 266, 267,273].

В рамках этого подхода полагают, что в уравнении движенияможно пренебречь силой инерции. При этом, если полностью пренебречь вязкостью, нелинейные модели приводят к трудностям, причина которых в том, что геострофическая скорость не подчиняетсямагнитострофическому уравнению.

В данном и следующим за ним– 193 –параграфах производится учет инерционных членов, в связи с чем невозникает необходимости искусственного привлечения сил вязкости.Предположим, что скорость v и магнитное поле B не зависят отx. Уравнения, описывающие такие движения, имеют вид"#∂B2  1∂Bx∂Bx+− p +By+ Bz= 0,∂x2µµ∂y∂z"#∂By∂By∂ B2 1By+ Bz= 0,−p+− 2ωρvx +∂y2µµ∂y∂z"#∂ B2  1∂Bz∂Bz−ρg −By+ Bz= 0,p++∂z2µµ∂y∂z∂vx∂vxBy+ Bz= 0,∂y∂z∂By ∂Bz+= 0.∂y∂z(7.78)(7.79)(7.80)(7.81)(7.82)В рассматриваемом случае vy = 0, vz = 0.

Преобразуем уравнения(7.79) и (7.80):∂ B2 −p+− 2ωρvx +∂y2µÃ"!#´∂Bz ∂By1 1 ∂ ³ 22B + Bz − Bz+−= 0,µ 2 ∂y y∂y∂z∂ B2 −ρg −p++∂z2µ"!#ô1 1 ∂ ³ 2∂Bz ∂By2+B + Bz + By−= 0.µ 2 ∂z y∂y∂z(7.83)(7.84)∂Bz ∂By−, уравнения (7.83) и (7.84) можно записать,∂y∂zсоответственно, в виде (7.79) и (7.80):Обозначая ξ =Bx2 1∂ p+− 2ωρvx ,Bz ξ = −µ∂y2µ1Bx2 ∂ − By ξ = −p+− ρg.µ∂z2µ(7.85)(7.86)Исключим из уравнений (7.85) и (7.86) давление p:Ã!Ã!∂ 1∂vx∂ 1Bz ξ +By ξ = −2ωρ.∂z µ∂y µ∂z(7.87)– 194 –Из уравнения (7.87) с учетом (7.82):"#1∂ξ∂ξ∂vxBz+ By= −2ωρ.µ∂z∂y∂z(7.88)Уравнение (7.82) позволяет ввести в рассмотрение функцию ψ(y, z),такую, что∂ψ∂ψ,By = − ,∂y∂zпри этом ξ = ∆ψ.

Тогда уравнение (7.81) примет видBz =−(7.89)∂ψ ∂vx ∂ψ ∂vx+= 0.∂z ∂y∂y ∂zСледовательно, тождественноD(vx , ψ)= 0.D(y, z)(7.90)Тождество (7.90) означает, что между величинами ψ и vx существуетфункциональная связь, не содержащая в явном виде y и z:vx = vx (ψ).(7.91)Из уравнения (7.88) с учетом (7.89):D(∆ψ, ψ)∂vx= −2ωµρ,D(y, z)∂z(7.92)причем∂vxD(y, vx )= 2ωµρ.∂zD(y, z)Следовательно, из (7.92) имеем−2ωµρD(y, vx )D(∆ψ, ψ)= 2ωµρ.D(y, z)D(y, z)(7.93)Учитывая зависимость (7.91), якобиан в правой части (7.93) преобразуется к виду2ωµρD(y, vx ) D(2ωµρyvx0 (ψ), ψ)=,D(y, z)D(y, z)и уравнение (7.93) можно записать в формеD(∆ψ − 2ωµρyvx0 (ψ), ψ)= 0.D(y, z)(7.94)– 195 –Тождество (7.94) позволяет утверждать, что между функцией ψи выражением ∆ψ − 2ωµρyvx0 (ψ) существует функциональная связь:∆ψ − 2ωµρyvx0 (ψ) = F (ψ),(7.95)где F (ψ) — некоторая функция.Заметим, что в уравнении (7.95) неизвестные функции vx0 (ψ) иF (ψ) могут быть найдены в процессе решения задачи из граничныхи других дополнительных условий.

При этом несомненный интересимеет задача отыскания классов функций vx0 (ψ) и F (ψ), для которыхуравнение (7.95) с соответствующими граничными условиями имеетнетривиальные решения, описывающие установившиеся волны в рассматриваемой жидкости, и интегрируется в явном виде.Уравнение (7.95) линейное, если только функции vx0 (ψ) и F (ψ) линейны относительно ψ. Рассмотрим некоторые случаи интегрируемости уравнения (7.95).Пусть поле невозмущенного потока постоянно, его величина равнаB0 , и пусть направлено оно вдоль оси Oz. Полагая, далее,ψ = ψe + ψ 0 ,eгде ψe = ψ(y)= B0 y — невозмущенная функция, соответствующаяуказанному полюBy = 0,B z = B0 .eФункция ψ(y)удовлетворяет уравнению (7.95) приF (ψ) = −2ωµρ 0ψvx (ψ).B0(7.96)С учетом (7.96) уравнение (7.95) для функции ψ принимает вид"∆ψ +2ωµρvx0 (ψ)#ψ− y = 0.B0(7.97)В случае нелинейной функции vx0 построение явных решений уравнения (7.97) затруднительно.

Пустьvx (ψ) = αψ,α = const 6= 0,(7.98)– 196 –откудаvx0 (ψ) = α.Продифференцируем равенство (7.98) по y и z:∂vx∂ψ=α ,∂y∂y∂vx∂ψ=α .∂z∂z(7.99)Из равенств (7.99) с учетом выражений (7.89):∂vx= αBz ,∂y∂vx= −αBy ,∂zоткуда Bz = B0 , By = 0 находимvx = B0 y + C,C = const.При условии (7.98) уравнение (7.97) принимает вид∆ψ +2ωµραψ = 2ωµραy.B0(7.100)Если рассматриваемая область Ω ограничена поверхностью Γ, тона ней может быть задана функция ψ, что эквивалентно заданиюфункции Bn на поверхности Γ. Тогда функция ψ является единственным решением задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (7.100).С помощью функции ψ найдем By и Bz из равенств (7.89).Перейдем к определению функций Bx и p из уравнений (7.85) и∂ψ∂ψ(7.86). Умножая уравнение (7.85) на, а уравнение (7.86) наи∂z∂yвычитая из первого результата второй, получимB2D p + x + 2ωρvx (ψ)y + ρgz, ψ 2µ= 0.D(y, z)(7.101)Соотношение (7.101) приводит к функциональной зависимостиp+Bx2+ 2ωρvx (ψ)y + ρgz = Φ(ψ).2µ(7.102)Дифференцируя обе части уравнения (7.102) по x с учетом, что ψ, vxи Bx не зависят от x, получим∂p= 0,∂x– 197 –поэтому давление p не зависит от x.

В этом случае из уравнения (7.78)получимD (Bx , ψ)= 0,D(y, z)следовательно,Bx = Bx (ψ).Полученные выше результаты сформулируем в виде следующегоутверждения.Утверждение. Задача о течении электропроводной вращающейся жидкости в области Ω сводится к соответствующей краевойзадаче для уравнения Гельмгольца (7.100).§ 7.5.Точные решения уравнений магнитной гидродинамики в виде плоской волны произвольной конечной амплитудыРассмотрим некоторые точные решения уравнений магнитной гидродинамики в виде плоской волны произвольной конечной амплитуды.

Пусть плоская волна является функцией x и t. Обратимся кисходной системе уравнений магнитной гидродинамики (7.78)–(7.81)для этого случая. Уравнение неразрывности (7.78) запишется в виде∂vx= 0,(7.103)∂xиз условия соленоидальности магнитного поля (7.81) следует, что∂bx= 0.(7.104)∂xРассмотрим соответствующие проекции уравнения индукции магнитного поля (7.80) на направление осей Ox, Oy, Oz:∂bx= 0,∂t∂by∂vy∂by= bx0− vx (t),∂t∂x∂x∂bz∂vz∂bz= bx0− vx (t).∂t∂x∂x(7.105)(7.106)(7.107)– 198 –Из (7.104) и (7.105) следует, что bx = const = bx0 .Проекции уравнения движения (7.79) на оси Ox, Oy, Oz с учетом(7.105)–(7.107) представимы, соответственно, равенствами∂vx1 ∂ b2 p++ αvy ,=−∂tρ ∂x2µÃ!∂vy∂vy1∂by+ vx= −αvx +bx0,∂t∂xµρ∂xÃ!∂vz1∂bz∂vz+ vx= −g +bx0.∂t∂xµρ∂x(7.108)(7.109)(7.110)Введем далее в рассмотрение новую переменную величинуx∗ = x − ct.(7.111)С учетом (7.111) уравнения (7.106)–(7.107), (7.109) и (7.110) примутвид∂vyvx − c ∂by=,∗∂xbx0 ∂x∗∂vzvx − c ∂bz=,∂x∗bx0 ∂x∗∂vybx0 ∂by(vx − c) ∗ = −αvx +,∂xµρ ∂x∗∂vzbx0 ∂bz(vx − c) ∗ = −g +.∂xµρ ∂x∗(7.112)(7.113)(7.114)(7.115)∂by ∂bz ∂vy ∂vz,,,системы (7.112)–(7.115)∂x∗ ∂x∗ ∂x∗ ∂x∗получим выражения для градиента магнитного поля:Из линейной относительноαµρbx0 vx∂by,=−∂x∗(vx − c)2 µρ − b2x0(7.116)∂bzgµρbx0=−∂x∗(vx − c)2 µρ − b2x0(7.117)и выражения для градиента скорости:αµρ (vx − c) vx∂vy=−,∂x∗(vx − c)2 µρ − b2x0∂vzgµρ (vx − c)=−.∂x∗(vx − c)2 µρ − b2x0(7.118)(7.119)– 199 –Результат дифференцирования уравнения (7.108) по x:b2 1 ∂2 ∂vy−p++α=0ρ ∂x22µ∂xс учетом (7.111) запишется в форме∂2 b2 ∂vyp+−αρ= 0,∂x∗22µ∂x∗или, используя (7.118), в форме∂2 b2 α2 µρ2 (vx − c) vx.p+=−∂x∗22µ(vx − c)2 µρ − b2x0(7.120)Переходя в (7.120) от x∗ к x и затем интегрируя дважды по x, получимx2b2p = − + D(t) + C1 (t)x + C2 (t),2µ2(7.121)гдеα2 µρ2 (vx − c) vxD(t) = −,(vx − c)2 µρ − b2x0а функции C1 (t), C2 (t) могут быть определены из граничных условий.При этом функция C2 (t) численно равна давлению в среде при x = 0и функция C1 (t) численно равна градиенту давления вдоль потока.При vx = c система уравнений (7.116)–(7.119) имеет вид∂by∂bz∂vyαµρgµρ∂vz,,===0,= 0,∂x∗bx0∂x∗bx0∂x∗∂x∗откудаvy = const,vz = const,gµραµρ(x − ct) + d1 ,bz =(x − ct) + d2 .by =bx0bx0Из выражения (7.121) при vx = c получаемb2p = − + C1 (t)x + C2 (t).2µПоложим, далее, vx = 0.

Характеристики

Список файлов диссертации