Диссертация (1145260), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Следовательно, должны быть поставлены определенные граничные условия.– 154 –Рассмотрим простейшие и наиболее часто встречающиеся граничные условия [62]. Если на границе Γ известно значение динамическогодавления p(x, t) на Γ:¯¯p(x, t)¯¯x∈Γ= ϕ(x, t),(6.8)где ϕ(x, t) — известная при x = (x, y, z) ∈ Γ, t ≥ 0 функция, то в этомслучае говорят, что на границе Γ = ∂Ω для системы уравнений (6.4)поставлено условие первой краевой задачи.Если на границе Γ задано условие непротекания жидкости, котороев терминах вектора v(x, t) имеет вид¯¯vn ¯¯x∈Γ=¯¯(v, n) ¯¯x∈Γ= 0,(6.9)где n — внешняя нормаль к Γ, то говорят, что на границе Γ = ∂Ωзадано граничное условие второй краевой задачи.На свободной поверхности z = η(x, y) жидкости, находящейся, например, в сосуде, должны выполняться кинематическое и динамическое условия.

Эти условия в линейном случае представимы в виде¯∂ζ(x, y, t)¯= (v, nη ) ¯¯,z=η(x,y)∂t¯¯p(x, y, t)¯¯= ρ0 gэф ζ(x, y, t),(6.10)z=η(x,y)где ζ(x, y, t) — функция, описывающая возвышение свободной поверхности над невозмущенным уровнем z = η(x, y, t); nη — вектор внешней нормали к свободной поверхности; gэф — эффективное ускорениесилы тяжести, совпадающее в случае плоской свободной поверхностис обычным ускорением свободного падения g. В (6.10) величина p —динамическое давление.Исключая из соотношений (6.10) функцию ζ(x, y, t), получим следующее граничное условие на свободной поверхности:Ã∂pρ0 gэф (v, nη ) −∂t¯!¯¯¯¯¯¯= 0,z=η(x,y)(6.11)– 155 –которое называется граничным условием третьей краевой задачи.Для корректной постановки задачи относительно системы уравнений (6.4) необходимо, кроме граничных условий, задать начальныеусловия.

Они имеют видρ1 (x, 0) = ρ01 (x),v(x, 0) = v0 (x),(6.12)где v0 (x), ρ01 (x) — известные функции при x ∈ Ω.В случае жидкости со свободной поверхностью, на которой выполнено условие (6.10), к совокупности условий (6.12) необходимо добавить начальные условия для возвышения свободной поверхности, которое приводит к начальному условию для динамического уравненияна свободной поверхности:¯¯p(x, 0)¯¯z=η(x,y)= ρ0 gэф ζ0 (x, y).(6.13)Итак, при интегрировании системы (6.4) необходимо использоватьили условие первой краевой задачи (6.8):¯¯p¯¯Γ= ϕ(x, t),где ϕ(x, t) — известная функция при x ∈ Γ, t ≥ 0, или условие второйкраевой задачи¯¯(v, n) ¯¯Γ= 0,где n — внешняя нормаль к Γ, или граничное условие на свободнойповерхности z = 0 (если таковая имеется)Ã∂pρ0 (0)g (v, e) −∂t¯!¯¯¯¯¯¯=0z=0и кроме того, начальные условияv(x, 0) = v0 (x),ρ1 (x, 0) = ρ01 (x),p(x, 0) = p0 (x),x = (x, y, z) ∈ Ω.(6.14)– 156 –Векторная форма системы уравнений (6.4) затрудняет ее исследование, поэтому естественно свести исходную векторную систему (6.4)к эквивалентным скалярным уравнениям относительно новых искомых функций.Будет доказана теорема о представлении решения системы (6.4)в области Ω ∈ R3 , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Γ,на основе которой система (6.4) приводится к скалярным уравнениям относительно новых искомых функций, исследование которых исоставит предмет дальнейшего рассмотрения.Итак, выполним редукцию основных уравнений системы (6.4).Пусть v, ρ1 , p — набор функций, удовлетворяющих системе (6.4),причемv(x, t), ρ1 (x, t), p(x, t) ∈ L2 (Ω),∀t ≥ 0.(6.15)Введем в рассмотрение функции u(x, t) и ψ(x, t), определяемые равенствами∂ ∂2p(x, y, z, t, ) = −g  2 + α2  u(x, y, z, t, ),∂t ∂t∂ψρ1 (x, y, z, t, ) = − ,x ∈ Ω, t ≥ 0.∂t(6.16)(6.17)Заметим, что соотношениями (6.16) и (6.17) функции p и ρ1 определяются неоднозначно.

Если функция u0 (x, t) удовлетворяет соотношению(6.16),тоочевидно,соотношению(6.16)удовлетворяети любая функция видаu = u0 (x, t) + u1 (x) + u2 (x) cos αt + u3 (x) sin αt,(6.18)где uj (x), j = 1, 2, 3 — произвольные функции x ∈ Ω. Аналогично,функция ψ представима в видеψ = ψ(x, t) + ψ1 (x),где ψ1 (x) — произвольная функция, x ∈ Ω.– 157 –Запишем первое векторное уравнение системы (6.4) покомпонентно:∂v11 ∂p∂v21 ∂p− αv2 = −,+ αv1 = −,∂tρ0 ∂x∂tρ0 ∂y∂v31 ∂pg=−− ρ1 .∂tρ0 ∂z ρ0(6.19)(6.20)Подставив представления для p, ρ1 из (6.16), (6.17) в уравнение(6.20), получим∂v3g ∂ψg ∂  ∂22  ∂u=++α.∂tρ0 ∂tρ0 ∂t ∂t2∂zОтсюда, интегрируя по t, приходим к соотношениюgg ∂2∂uv3 (x, t) = ψ +  2 + α2 + C3 (x),ρ0ρ0 ∂t∂z(6.21)где C3 (x) — произвольная функция, C3 (x) ∈ L2 (Ω).

С учетом u(x, t)из (6.18):∂2g∂u0 ∂u1 (x) .v3 (x, t) = ψ +  2 + α2 + C3 (x) + α2ρ0∂t∂z∂z (6.22)По теореме Хёрмандера [146] об интегрировании в классе L2 (Ω) уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами,∂u1 (x)уравнение C3 (x) + α2= 0 имеет решение u1 (x) =∂zC3 (x)= − 2 , u1 (x) ∈ L2 (Ω). При таком выборе функции u1 (x) выражеαние (6.22) имеет вид∂2g 2  ∂u ψ+.+αv3 (x, t) =ρ0∂t2∂z(6.23)Подставив функции p, ρ1 из (6.16)—(6.18) в уравнения (6.19), получимв матричном видеDt −ααDtv1v2=gDt Dt 2 +ρ0³´α2 uxuy,Dt =∂.∂t(6.24)– 158 –Интегрирование по t соотношения (6.24) приводит к равенствуv1v2=+ C1 (x) αg DtDtρ0 −α Dtcos αt− sin αt+ C2 (x) uxuy+ ,sin αtcos αt(6.25)где C1 (x), C2 (x) — произвольные функции класса L2 (Ω).

Подставляяв (6.25) функцию u(x, t) из (6.18), получимv1v2=αg DtDtρ0 −α DtÃ"+ C1 (x) − α2"∂u2 ∂u3−∂x∂yÃ+ C2 (x) − α2!#∂u2 ∂u3+∂y∂x!#u0xu0y+cos αt− sin αtsin αtcos αt+ .(6.26)Рассмотрим вектор C(x, y) = (C2 (x, y), −C1 (x, y), 0) ∈ H2 (Ω),Cj (x, y) ∈ L2 (Ω), j = 1, 2, где H2 (Ω) — подпространство гильбертова пространства L2 (Ω) вещественных вектор-функций v, определенных в ограниченной области Ω ∈ R3 с кусочно-гладкой границейи имеющих компоненты vk (k = 1, 3), принадлежащие гильбертовупространству вещественных функций L2 :H2 (Ω) = {v ∈ L2 : v = (v1 , v2 , 0)} ,т. е.

H2 (Ω) представляет собой совокупность всех векторов v ∈ L2 (Ω),имеющих нулевую третью компоненту.Для дальнейшего исследования оказывается полезной следующаятеорема о представлении векторов подпространства H2 (Ω) [34].Теорема. Для любого вектора C(x, y) ∈ H2 (Ω) найдутся функцииϕ(x, y), ψ(x, y) ∈ L2 (Ω), такие, что C = (ϕx + ψy , ϕy − ψx , 0), гдеϕx (x, y), ϕy (x, y), ψx (x, y), ψy (x, y) — частные производные функцийϕ(x, y) и ψ(x, y).– 159 –Доказательство теоремы приведено в [34].

Используя эту теоремуи полагаяψ(x),α2из равенства (6.26) получимu2 (x) =v1v2=ϕ(x),α2u3 (x) =αg DtDt ρ0−α Dtuxuy.(6.27)Подставляя (6.16), (6.17), (6.23), (6.27) во второе и третье уравнения системы (6.4), получим систему уравнений для функций u(x, t)и ψ(x, t). Рассмотрим второе уравнение этой системы∂2∂ 2ψg∂u− 2 + ρ00 (z) ψ +  2 + α2   +∂tρ0∂t∂z"Ã!#"Ã!#∂ g ∂∂ g ∂ ∂ux∂uy+ ρ0 (z)+ αuy + ρ0−αux ++∂x ρ0 ∂t ∂t ∂yρ∂t0 ∂t2∂ g ∂∂uψ +  2 + α2   = 0,+ ρ0∂z ρ0∂t∂zили"#∂2 ∂uψtt = g [∆u]tt + gψ+α.∂z∂zРассмотрим третье уравнение упомянутой системы∂ 2ψ∂2g ∂2  ∂2ρ0 ω02 (z) g 22  ∂u ψ+=+αu−+α,∂t2c2 (z) ∂t2 ∂t2gρ0∂t2∂zили∂2g ∂2  ∂222ψtt + ω0 (z) ψ ++ α uz = 2+ α2  u.222∂tc (z) ∂t ∂tСледовательно, имеем систему"#∂u∂ψ + α2,ψtt = g [∆u]tt + g∂z  ∂z222∂g∂∂ψtt + ω02 (z) ψ +  2 + α2  uz  = 2+ α2  u,22∂tc (z) ∂t ∂t(6.28)заменяя первое уравнение системы (6.28) их разностью, получимg∂2ψtt ++= 2 Dutt , D = 2 + α2 ,c (z)∂t21ω0ω022Dutt = [∆u]tt + α uzz + Duz + ψz + ψ.c2 (z)ggω02 (z)ψω02 (z)Duz(6.29)– 160 –На основании изложенного приходим к следующему выводу.Теорема.

Любое решение v(x, t), ρ(x, t), p(x, t) системы (6.4) в ограниченной области Ω ∈ R3 с кусочно-гладкой границей, удовлетворяющее условиям гладкости (6.15), представимо в виде∂  ∂2p = −g+ α2  u,2∂t ∂t∂ψρ = ρ0 (z) −,∂t³´∂g  ∂22∇u − [αα, ∇u] + e3 α uz + ψ  ,v=ρ0 (z) ∂t2∂t(6.30)(6.31)(6.32)где функции u(x, t) и ψ(x, t) являются решением системы (6.29). Обратно, любое решение системы (6.29) порождает решение системы(6.4), если построенные по формулам (6.30), (6.31), (6.32) функцииp, ρ, v удовлетворяют в области Ω условиям гладкости (6.15).Отметим, что подобная задача для однородной жидкости рассматривалась С.А.

Габовым [33, 35]. В этом случае задача сводится к решению скалярного уравнения1 ∂4∂2α2 ∂ 2 uu = 2 ∆u − 2 2 + α2 uzz .24c ∂t∂tc ∂tЗапишем систему (6.29), используя явный вид оператора D:1 ∂ 4 u ω02 ∂ 2α2 ω02α21ω02=uz +uz − 2 u + ψtt + ψ,c2 ∂t4g ∂t2gcgg2 21 ∂ 4u∂2α2 ∂ 2 uω∂uzu = 2 ∆u − 2 2 + α2 uzz + 0 2 +24c ∂t∂tc ∂tg ∂t2 22α ω0ω+u z + 0 ψ + ψz .gg(6.33)(6.34)Преобразуем систему (6.34), вводя вместо функции ψ функцию Φgпо формуле ψ = Φtt + 2 utt .

В результате вместо первого уравненияcсистемы (6.34) получим уравнениеα2 ω02 ∂ 2α21ω02ω02ω02 ∂ 2uz +uz − 2 u + Φtttt + Φtt + 2 utt = 0,g ∂t2g ∂t2cggcилиΦtttt +ω02 Φtt22gα2gω022 ∂2 2 ∂= − 2 utt − ω0 2 uz − α ω0 2 uz + 2 u.c∂t∂tc– 161 –eПоложим Φtt = ψ,следовательноgψtt+ω02 ψe22gω02gα22 ∂2 2 ∂= − 2 utt − ω0 2 uz − α ω0 2 uz + 2 u.c∂t∂tcВторое уравнение системы (6.34) приводится к виду1α2ω02α2 ω022u=[∆u]−u+αu+u+uz +ttttttzzttzttc2c2ggÃ!Ã!gω02uttΦtt + 2 utt + Φttz + g 2 ,+gcc zилиÃ!1ω02uttω02 − α2 utttt − [∆u]tt = uttz + g 2 +utt + α2 uzz +22cgc zcα2 ω02ω02 ee+uz + ψz + ψ,ggследовательно1ω02gω02 − α2 2gc0 utttt − [∆u]tt =+ 2 uttz +− 3 utt +c2gcc2cα2 ω02ω2 e+ α2 uzz +uz + ψez + 0 ψ.ggПолучили системуψett 1gα2gω0222 2+= − 2 utt − ω0 uttz − α ω0 uz + 2 u,cc0 22ω−αρ002gcutttt − [∆u]tt = − uttz +  0 2− 3  utt +2cρ0cc22 2ω eα ω0uz + ψez + 0 ψ,ψe = Φtt .+ α2 uzz +ggω02 ψe(6.35)Рассмотрим систему (6.29).

Продифференцируем второе уравнениедважды по t:ω02ω02 ∂ 21 ∂42Du = (∆u)tttt + ψttz + α uttzz + ψtt +Duz .c2 ∂t4gg ∂t2(6.36)Из первого уравнения системы (6.29):ψtt =−ω02 ψ−ω02 Duzg ∂2+ 2 2 Dutt .c ∂t(6.37)– 162 –Подставим ψtt из (6.37) в уравнение (6.36):1 ∂4g ∂222Du = (∆u)tttt − ω0 ψz − ω0 Duzz + 2 2 Duz +c2 ∂t4c ∂t 2 222ωg∂ω ∂+ α2 uttzz + 0 −ω02 ψ − ω02 Duzz + 2 2 Du + 0 2 Duz .gc ∂tg ∂t(6.38)Из второго уравнения системы (6.29):ω021 ∂2ω022ψz + ψ = 2 2 Du − [∆u]tt − α uzz − Duz .gc ∂tg(6.39)С учетом (6.39) уравнение (6.38) имеет вид21 ∂4ω0221 ∂2Du = [∆u]tttt − ω0 2 2 Du − [∆u]tt − α uzz − Duz  −24c ∂tc ∂tg242 2g ∂ω0ω0 ∂ω02 ∂ 222− ω0 Duzz + 2 2 Duz + α uttzz − Duz + 2 2 Du +Duz ,c ∂tgc ∂tg ∂t2или, в явном виде,21 ∂4  ∂22 22 22  ∂ uzz +αu=[∆u]+ω[∆u]+ωαu−ω+ttttttzz000c2 ∂t4 ∂t2∂t222 2g ∂ 2  ∂ 2 uz∂∂uωz+ 2 2+ α2 uz  + α2 uttzz + 20 2  2 + α2 uz  ,2c ∂t∂tc ∂t∂tследовательно,³´1 ∂ 6 u α2 ∂ 4 u222+=[∆u]+ω[∆u]+α−ωtttttt00 uttzz +c2 ∂t6c2 ∂t4222 2gωgαωα+  2 + 0  uttttz +  2 + 0  uttz .(6.40)cgcge получимПолагая в (6.40) utt = u,³´1 ∂ 4 ue α2 ∂ 2 uee tt + ω 2 ∆ue + α2 − ω 2 ue zz ++=[∆u]00c2 ∂t4c2 ∂t2 222 2gαωωαg+  2 + 0  ue ttz +  2 + 0  ue z .cgcg(6.41)eТаким образом, система (6.29) сводится к уравнению относительно u:³´α2 ρ001 ∂ 4 ue α2 ∂ 2 ueρ00222e tt + ω ∆ue + α −ω ue zz −+ 2 2 = [∆u]ue ttz −ue z ,00c2 ∂t4c ∂tρ0ρ0– 163 –или´1 ∂ 4 ue α2 ∂ 2 ueρ00 ³2e22eeeeu+αu+=[∆u]+ω∆u+αu−ttzz , (6.42)3 ttzz0 2c2 ∂t4c2 ∂t2ρ0откуда1 ∂2∂2ρ00 ∂22eeeeDu = 2 ∆3 u + ω0 ∆2 u + α uzz −Due z ,c2 ∂t2∂tρ0 ∂zили(6.43)1 ∂2∂2ρ00 ∂ e = Due zz + e+Du+ ω02  ∆2 u.222c ∂tρ0 ∂z∂t(6.44)Рассмотрим уравнение (6.42).

Полагая здесьue = v(x, t)e−βz ,(β > 0),где v(x, t) — новая неизвестная функция, получимue xx = vxx e−βz ,ue zzue yy = vyy e−βz ,ue z = (vz − βv) e−βz ,³´= vzz − 2βvz + β 2 v e−βz .Подставляя вычисленные производные в уравнение (6.42), получим1 ∂ 4 v α2 ∂ 2 vρ00 2vttz ++ 2 2 = [∆3 v]tt + ω0 ∆2 v − 2β +c2 ∂t4c ∂tρ002 02 0βραρβαρ00+ β 2 + 0  vtt + α2 vzz − 2βα2 +vz + β 2 α2 +v,ρ0ρ0ρ0илиα2 βρ00 ρ00 1 ∂ 4v22vttz + β − 2 +vtt += [∆3 v]tt + ω0 ∆2 v − 2β +c2 ∂t4ρ0cρ02 02 0αρβαρ00+ α2 vzz − 2βα2 +vz + β 2 α2 +v,ρ0ρ0откуда 1 ∂ 4v∂2 α2 βρ00  ρ00 2= 2 ∆3 v − 2β +vz + β − 2 +v +c2 ∂t4∂tρ0cρ02 02 0βαραρ00+ ω02 ∆2 v + α2 vzz − 2βα2 +vz +  β 2 α 2 +v.

Характеристики

Список файлов диссертации