Диссертация (1145260), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Ось вращения жидкости совпадает с осью z, т. е. ω = kω, гдеω — угловая скорость вращения слоя. Будем решать задачу в рамках нелинейных уравнений длинноволнового приближения (7.214)–(7.220):Ã!∂vx∂vx∂vx∂η1∂bx∂bx+ vx+ vy= 2ωvy + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂x µρ∂x∂yÃ!∂vy∂vy∂vy∂η1∂by∂by+ vx+ vy= −2ωvx + g+bx+ by,∂t∂x∂y∂y µρ∂x∂y∂η∂∂+[(H0 + η)vx ] +[(H0 + η)vy ] = 0,∂t ∂x∂yÃ!∂bx ∂by(hB − Z)++ b(e)z0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0,∂x∂y∂bx∂bx∂vx∂vx∂bx+ vx+ vy− bx− by= 0,∂t∂x∂y∂x∂y∂by∂by∂vy∂vy∂by+ vx+ vy− bx− by= 0,∂t∂x∂y∂x∂y∂bz∂bz∂bz∂bz∂vz∂vz∂vz+ vx+ vy+ vz− bx− by− bz= 0.∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z(7.296)(7.297)(7.298)(7.299)(7.300)(7.301)(7.302)Проведем анализ порядков членов уравнений (7.296)–(7.302).Пусть L — линейный масштаб, U — масштаб скорости, B — масштаб магнитного поля, T — масштаб времени, N — масштаб ординатыповерхности η(x, y, t).
Введем безразмерные переменныеx0 ,y0,t = Lt0 ,t0 ,vx0 ,vx = U vx0 ,vy0 ,b0x ,vy = U vy0 ,b0y ,η0,bx = Bvx0 ,x = Lx0 ,y = Ly 0 ,by = Bb0y ,η = N η0.Тогда основные уравнения (7.296)–(7.302) принимают вид (штрихиопущены):Ã!∂vx∂vygN ∂η∂vx+ ε vx+ vy− vy =+εT∂t∂x∂yLαU ∂xà !Ã!1 B 2∂bx∂bx+ε bx+ by,µρ U∂x∂y(7.303)– 253 –Ã!∂vy∂vy∂vygN ∂η+ ε vx+ vy+εT+ vx =∂t∂x∂yLαU ∂yÃà !!1 B 2∂by∂by+ε bx+ by,(7.304)µρ U∂x∂yÃ!à !à !∂η∂η∂η∂ Z∂ Z+ εF vx+ vy− vx− vy+εT F∂t∂x∂y∂x D∂y D!Ã!Ã∂vx ∂vyZ+= 0,(7.305)+ 1 + εF η −D∂x∂yÃ!Ã!Z ∂bx ∂by1 + εF η −++ b(e)z0 (x, y, t) − bz0 (x, y, t) = 0, (7.306)D ∂x∂yÃ!∂bx∂bx∂vx∂vx∂bxεT+ ε vx+ vy− bx− by= 0,(7.307)∂t∂x∂y∂x∂yÃ!∂by∂by∂by∂vy∂vyεT+ ε vx+ vy− bx− by= 0.(7.308)∂t∂x∂y∂x∂yЗдесь1Uf 2 L2, ε=, F =, α = 2ω,TαLαgDH = H0 (x, y) + η(x, y, t) = D − Z + η, H0 — невозмущенная глубинаεT =жидкости, D — постоянная величина.Далее примемgN= 1.LαU(7.309)LαUB2.
Из проведенного выше анализа следует=gµρU 2= O(1), F = O(1). Кроме того, будем предполагать, чтоТогда N =Z= εηb ,Db(e)z0 − bz0 = εbh ,(7.310)где ηb , bh имеют порядок единицы. Условие (9.122) означает, что число Россби ε, оставаясь малым, еще настолько велико, что движениесущественно отличается от строго геострофического движения.Числа Россби εT и ε являются мерой отношения локального и адвективного ускорений к ускорению Кориолиса. Отношение локального ускорения к адвективному определяется параметромLεT=.εUT– 254 –В случае, когда этот параметр велик, уравнения по существу линейны, т. е.
локальная производная по времени преобладает над нелинейными адвективными членами. Предположим, что нелинейные членытак же важны, как и локальное ускорение. Иными словами, будемсчитать, чтоεT= 1,εLимеUет тот же порядок, что и временной масштаб локальных изменений.т. е. будем рассматривать такие случаи, когда время адвекцииИспользуя условия (7.309), (7.310) и применяя к уравнениям (7.303),(7.304) оператор rot, с учетом уравнения (7.305) при εT = ε из системы уравнений (7.303)–(7.308) в первом приближении (ε = 0) получимуравненияÃ!Ã!∂∂∂ζ∂ζ∂+ vx+ vy(Ω − F η + ηb ) = M bx+ by;∂t∂x∂y∂x∂y∂η∂η∂by ∂bxvx =, vy = − , Ω = −∆η, ζ =−;∂y∂x∂x∂y∂bx ∂by+= 0;∂x∂y∂bx∂bx∂bx∂vx∂vx+ vx+ vy− bx− by= 0,∂t∂x∂y∂x∂y∂by∂by∂by∂vy∂vy+ vx+ vy− bx− by= 0,∂t∂x∂y∂x∂y(7.311)(7.312)(7.313)(7.314)(7.315)B2где M =.
В отсутствие магнитного поля такое приближение вµρU 2гидродинамике называют квазигеострофическим [52].Решение системы нелинейных уравнений можно искать в виде функциональной зависимости компонент магнитного поля от функции η:bx = f1 (η),by = f2 (η).(7.316)Тогда исследуемые уравнения в терминах функции η принимают видÃ!∂∂η ∂∂η ∂+−(−∆η − F η + ηb ) =∂t ∂y ∂x ∂x ∂y– 255 –Ã!2Ã! ∂η ∂η ∂η 2 00 ∂η ∂η− f1 f1+ f2+=M+ f2∂x ∂y∂x ∂y∂y2∂ 2η ∂ 2η∂ 2 η 0 ∂ η0+ f2 f1 2 + f2− f1 f1+ f2 2 ;(7.317)∂x∂x∂y∂x∂y∂y∂ 2η∂ 2η0 ∂ηf1− f1− f2 2 = 0,(7.318)∂t∂x∂y∂y∂η∂ 2η∂ 2ηf20+ f1 2 + f2= 0.(7.319)∂t∂x∂x∂yЧлены в выражении −∆η − F η + ηb полностью определяются отf 00 f12∂η∂xносительным движением.
Первый член представляет собой относительный вихрь, второй описывает вклад от изменений глубины слоя.Последний член несет вклад, обусловленный рельефом поверхностиz = −Z(x, y) и не зависит от движения. Правая часть уравнения(7.317) вносит вклад в уравнение вихря, обусловленный наличиеммагнитного поля.Итак, задача определения квазигеострофического движения сводится к решению системы трех нелинейных уравнений для возмущения поверхности η (или, что то же, для гидромагнитного давления)и для функций f1 (η) и f2 (η), описывающих магнитное поле.
Получиврешения η, f1 и f2 уравнений (7.317)–(7.319), компоненты скоростиvx , vy и поля bx , by можно определить из соотношений (7.316).Решение η будем искать в видеη = Aei(kx + ly − σt) .Тогда система (7.317)–(7.319) принимает видÃ!∂ηb∂ηb22i −σ(k + l ) + σF + l−k=∂x∂y³´= M f 00 (klf + l2 f ) − f 00 (k 2 f − klf ) Aei(kx + ly − σt) +112³212´+ f10 (klf1 + l2 f2 ) − f20 (k 2 f1 + klf2 ) ,−iσf10 + klf1 + l2 f2 = 0;iσf20 + k 2 f1 + klf2 = 0.(7.320)(7.321)Функции f1 (η) и f2 (η) в аналитическом виде найдем из системы уравнений (7.320), (7.321). Исключив функцию f2 из этой системы, полу-– 256 –чимiσ 0 kf − f1 .l2 1 lТогда для функции f1 (η) получим уравнениеf2 =(7.322)f1 (η)00 = 0и его общее решениеf1 (η) = C1 η + C2 .(7.323)СледовательноiσC1 kC2 kC1−−η.(7.324)l2llС учетом выражений (7.323) и (7.324) уравнение (7.320) принимаетf2 (η) =вид∂ηb∂ηbσC12 2−σ(k + l ) + σF + l−k= M 2 (k + l2 ).∂x∂yl22(7.325)Заметим, что уравнение (7.313), представляющее собой условиеквазисоленоидальности магнитного поля, удовлетворяется тождественно.Таким образом, справедлив следующий вывод.
Для бесконечно протяженной по горизонтали электропроводной вращающейся жидкостипри ∇ηb = const, что эквивалентно предположению о примерном постоянстве наклона поверхности z = −Z(x, y) на расстоянии длиныволны, имеем точное решение соответствующей исследуемой системы нелинейных уравнений:η = Aei(kx+ly−σt) ,bx = C1 η + C2 ,∂η∂η,vy = − ,∂y∂xiσC1 kC2 kC1−η.by = 2 −lllvx =Из уравнения (7.325) следует следующее дисперсионное соотношение∂ηb∂ηb−l∂y ∂x.σ=2k22F − 1 + 2 (l + C1 M )lk(7.326)– 257 –Отметим, что в случае C1 M = 0 дисперсионное соотношение имееттот же вид, что и для низкочастотной волны Россби в неэлектропроводной жидкости. В обоих случаях волны с более высокой частотойоказываются отфильтрованными в силу априорного предположенияо квазигеострофическом характере движения.В действительной форме основные характеристики движения выглядят следующим образом:η(x, y, t) = Aeσ2 t cos(kx + ly − σ1 t),bx = (−a sin(kx + ly − σ1 t) + b cos(kx + ly − σ1 t)) Aeσ2 t + C2 ,kby = − (−a sin(kx + ly − σ1 t) + b cos(kx + ly − σ1 t)) Aeσ2 t −lÃ!σ1 a + σ2 b kC2−−,l2lvx = −lAeσ2 t sin(kx + ly − σ1 t),vy = kAeσ2 t sin(kx + ly − σ1 t).ЗдесьÃσ1 =σ2 =∂ηb∂ηbk−l∂y∂x!F Mk2 2− 1 + 2 (l M + a2 − b2 ) Ml22 ,22 ,k2 2k2 2222F M − 1 +(l M + a − b ) + 4a b 1 + 2l2l!2 Ãk∂ηb∂ηbM32ab 1 + 2 k−ll∂y∂xk2 2k2 2 − b2 ) + 4a2 b2 1 +F M − 1 +(lM+al2l2при этом a, b, σ1 , σ2 ∈à R, C1 = a +!ib, σ = σ1 + iσ2 .
Знак σ2 зависит от∂ηb∂ηb−l. Для существования ограниченнознака выражения ab k∂y∂xго решения необходимо, чтобы удовлетворялось неравенствоÃ!∂ηb∂ηbab k−l< 0.∂y∂xПроецируя уравнение магнитной индукции на вертикальную ось, можно установить связь между амплитудой внешнего магнитного поля,– 258 –рельефом верхней границы и амплитудой колебаний нижней границыжидкого слоя.
Действительно, в рассматриваемой задаче уравнение(7.302) принимает видÃ!∂η(e)D,Z(e)D η, bz0iσC1∂bz0∂y++ 2= 0.∂tD (x, y)lD (x, y)µ¶Из этого уравнения для периодического по горизонтальным коорди(e)натам и времени поля bz0 , т. е., например, приbz0 = Bei(kx + ly − σt)(e)следуетB!.k ∂Z ∂ZC1−l ∂y∂xИтак, представленные аналитические решения позволяют, в частноA=Ãсти, определять влияние рельефа границ слоя и их динамики на магнитогидродинамические характеристики волнового процесса внутрислоя. Результаты этих исследований могут быть использованы в астрофизике и геофизике, в частности при изучении процессов, происходящих в жидком ядре Земли и недрах звезд. Границы слоя играютважную роль в его эволюции, в динамических процессах, происходящих внутри жидкого слоя, например, в геофизике рельеф мантиирегулирует скорость динамики твердого ядра, что, в свою очередь,может влиять на скорость роста внутреннего ядра, и, следовательно,на мощность, необходимую для запуска для механизма динамо.
Характером и интенсивностью взаимодействия между жидким слоем иего границами определяется квазигеострофическое течение в слое.Подведем итоги выполненного в данной главе исследования.Проведен анализ нелинейных течений и волн во вращающемся слоенесжимаемой электропроводной жидкости. Представлено точное решение уравнений магнитной гидродинамики вращающейся жидкостив виде плоской волны произвольной амплитуды.– 259 –Изучен процесс распространения пространственных волн малойамплитуды во вращающемся слое электропроводной жидкости. Решение соответствующей задачи построено в виде гармонической волны,получены дисперсионные соотношения, устанавливающие связь между частотой, волновым вектором, параметром Кориолиса и невозмущенным полем магнитной индукции, на которое накладывается индуцированное поле, обусловленное волновым движением. Представлены выражения для фазовой и групповой скоростей, а также длявсех магнитогидродинамических параметров.В нелинейной постановке рассмотрена задача о течениях и волнахво вращающемся сферическом слое идеальной несжимаемой электропроводной жидкости.
Поставленные краевые задачи приведены к задаче для одного нелинейного уравнения, допускающего для частныхслучаев аналитические решения.Построена математическая модель динамики пространственных крупномасштабных движений во вращающемся слое идеальной электропроводной несжимаемой жидкости переменной глубины. Проведенаредукция соответствующей линейной системы уравнений в частныхпроизводных к одному скалярному уравнению. Рассмотрены задачиоб излучении волн во вращающуюся несжимаемую электропроводнуюжидкость плоскими горизонтальной и вертикальной стенками, совершающими, начиная с некоторого момента времени, гармонические колебания. Проведен анализ предельного поведения решения.
Доказаноутверждение об аналитическом представлении решения задачи о малых возмущениях в слое идеальной несжимаемой однородной электропроводной вращающейся жидкости. Это позволило построить вявном виде решения начально-краевых задач, описывающих волнымалой амплитуды в бесконечно протяженном по горизонтали прямолинейном слое, в канале и в цилиндрическом кольцевом слое переменной глубины.– 260 –В нелинейной постановке рассмотрена задача о квазигеострофических движениях во вращающемся слое электропроводной жидкостипеременной глубины. Поставленная задача приведена к решению системы трех нелинейных уравнений для гидромагнитного давления идля двух функций, описывающих магнитное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
