Диссертация (1144294), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В диссертации разработананалитико-численный метод, основанный на методе разрывной аппроксимации,для локализации и определения параметров скрытых колебаний в нелинейныхсистемах, который можно применить для различных систем управления, используемых, например, в летательных аппаратах и буровых установках.Для обобщенной системы Лоренца в пространстве параметров аналитическипостроена граница областей глобальной устойчивости и неустойчивости решений для дальнейшего исследования турбулентности.Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством.Апробация работы.Основные результаты работы докладывались намеждународных научных конференциях: 2nd International Scientific Conference”Autumn Mathematical Readings in Adyghea” (Russia, Maykop - 2017),International Scientific Conference on Mechanics ”The Eight Polyakhov’sReading” (Russia, Saint Petersburg - 2018).Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета СанктПетербургского государственного университета и кафедры математических информационных технологий университета Ювяскюля (University of Jyväskylä,Финляндия).По результатам работы над гипотезой Калмана было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ (№2018610372 от11.01.18).9Работа поддержана грантом Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки Ведущих научных школ РоссийскойФедерации на 2018-2019 годы (НШ-2858.2018.1).Публикации.
Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 публикациях [9–14], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных Высшейаттестационной комиссией [9–11].В работах [13, 15] диссертанту принадлежит вывод критерия неустойчивости в системах лоренцевского типа и численное определение границ областей неустойчивости, соавторам — постановка задачи и экспериментов. В работах [10–12] диссертанту принадлежит реализация алгоритма для построенияконтрпримеров к проблеме Калмана, основанного на методе разрывной аппроксимации и построение гладкого контрпримера к проблеме Калмана; постановказадачи и остальные результаты принадлежат соавторам. В работах [13, 14] диссертанту принадлежат вывод аналитического критерия существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа, численные результаты, связанные с существованием гомоклинической бифуркация слияния странных аттракторов, и с отсутствием возникновения хаотической динамики, соавторам — постановка задачи.Объем и структура работы.Диссертация состоит из введения, двухглав, заключения и трех приложений.
Полный объем диссертации составляет 150 страниц с 66 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит177 наименований.10Глава 1ОтрицательноеманаирешениедоказательствопроблемыКал-существованияскрытого странного аттрактораЗарождение теории дифференциальных включений обычно связывают с работами французского математика А. Маршо [16, 17] и польского математикаС.К. Зарембы [18,19]. Однако развитию теории дифференциальных включенийспособствовали не только исследования в области абстрактной математики, нои изучение конкретных механических задач (задачи пластичности, задачи с сухим трением, задачи управления с релейными элементами, задачи в областитрибологии и другие задачи – см., например, [20–48]). Т.е.
наряду с общимирассуждениями и попытками понять, как вводится понятие производной длядифференциальных включений, существовали другие направления, связанныес конкретными потребностями прикладных задач (например, исследование двумерной модели демпфирования флаттера систем управления самолётами [49],задача стабилизации курса нейтрального самолёта при помощи автопилота спостоянной скоростью сервомотора [50–53]).
Материал и основные результатыэтой главы основаны на публикациях [10–12].111.1Дифференциальные включения: определения решенийРассмотрим следующую системуẋ = (,x), ∈ R,x ∈ R ,(1.1)где : R × R → R – кусочно-непрерывная функция с множеством точекразрыва меры нуль.Большинство определений решений могут быть введены следующим образом: для каждой точки (,x) области определяется множество (,x) (доопределение разрывной правой части) в пространстве размерности .
Если непрерывна в (,x) то множество (,x) состоит из одной точки и совпадает с в этой точке. Если (,x) – это точка разрыва функции , то (,x) определяется тем или иным образом в зависимости от определения, т.е. вместо (1.1) мырассматриваем дифференциальное включение(1.2)ẋ ∈ (,x),где (,x) является многозначной функцией.Математики обычно ставят задачу определения многозначной функции по заданной функции , тогда как в механике многозначная функция частозадана.Определение 1.
Решением системы (1.1) или соответствующего дифференциального включения (1.2) называется абсолютно непрерывная1 векторфункция x(), определенная на интервале , для которой производная суще1 Пустьx() : → R называется абсолютно непрерывной на если для любого положительного найдется положительное т.ч. для любой конечной последовательностипарных непересекающихся подынтервалов (1 , 2 ) из где 1 , 2 ∈ , удовлетворяющих∑︁(2 − 1 ) < , ⊂ ⊂ R– интервал времени. Функциявыполняется∑︁||x(2 ) − x(1 )|| < .Хорошо известно, что абсолютно непрерывная вектор-функцияx(),определенная на интервале,являетсядифференцируемой почти всюду на I.
Здесь и далее будем подразумевать, что выражение “почти всюду наI” означает “для всех ∈ ,для которых существуетẋ()”(см. [54, p. 60]).12ствует почти всюду на иẋ() ∈ (,x()).(1.3)Как было отмечено во введении, начало исследований теории дифференциальных включений обычно связывают с работами французского математикаА. Маршо и польского математика С.К. Зарембы, опубликованными в 19341936 [16, 17, 55, 56].
Они исследовали уравнения видаx ⊂ (,x),(1.4)где ∈ ⊂ R, x ∈ x ⊂ R и (,x) – многозначная вектор-функция, котораякаждой точке (,x) некоторой области = × x сопоставляет множество (,x) точек из R . Для оператора Маршо и Зарембой были введены понятияконтингенции и паратингенции.Определение 2.
Контингенцией вектор-функции x() в точке 0 называется множество Cont x(0 ) всех предельных точек последовательностейx( ) − x(0 ), → 0 , = 1,2,... − 0Определение 3. Паратингенцией вектор-функции x() в точке 0 называется множество Parat x(0 ) всех предельных точек последовательностейx( ) − x( ), → 0 , → 0 , = 1,2,... − Т. Важевский продолжил исследования Маршо и Зарембы и доказал [57],что, если x() является решением дифференциального включения (1.4) в смыслеМаршо (т.е. это решение уравнения в контингенциях), то вектор-функция x()является абсолютно непрерывной.Введение свойства абсолютной непрерывности для решения x() сыгралоключевую роль в развитии теории дифференциальных включений и уравненийс разрывной правой частью, т.к. это позволило избежать использования искусственных конструкций в Определении 2 и Определении 3 и рассматриватьобычную производную почти всюду. Ниже мы рассмотрим три из возможныхподходов к доопределению разрывных систем и определению их решений (различные другие подходы обсуждаются, например, в [54, 58–62]).131.1.1 Подход ФилипповаВ 1960-м году А.Ф.
Филипповым были опубликованы работы [63, 64], гдеон рассмотрел в качестве решений дифференциального уравнения с разрывнойправой частью абсолютно непрерывные функции. Подход Филиппова являетсяодним из самых распространенных среди других определений решений системс разрывной правой частью. Следуя работе [63], рассмотрим систему (1.1).Определение 4. Вектор-функция x(), определенная на промежутке , называется решением системы (1.1) если она абсолютно непрерывна и для почтивсех ∈ вектор ẋ() принадлежит минимальному замкнутому выпуклому множеству, которое содержит все (,x′ ) когда x′ пробегает почти всю -окрестность точки x() в R (для фиксированного ), т.е.ẋ() ∈∏︁ ∏︁>0 =0conv (,(x(),) − ).(1.5)Здесь правая часть (1.5) называется доопределением по Филиппову.Рассмотрим случай, когда система (1.1) автономна и вектор-функция (x)разрывна на некоторой гладкой поверхности в R и непрерывна в окрестности этой поверхности.
Пусть существуют правосторонний и левостороннийпределы + (x) и − (x) вектор-функции (x), когда точка x приближается к по-верхности с одной или другой стороны. Предположим, что оба вектора + (x)и − (x) направлены к разрывной поверхности . Тогда появляется скользящийрежим. Согласно Определению 4 (см. формулу (1.5)), векторное поле скользящего режима на разрывной поверхности может быть доопределено следующимобразом. Построим плоскость, касательную к поверхности в точке x и отрезок, который соединяет концы векторов + (x) и − (x). Тогда может быть построенвектор с началом в точке x и концом в точке пересечения отрезка и касательной плоскости: 0 = 0 (x). Согласно Определению 4, вектор 0 (x) определяетвекторное поле в точке x.Полученное решение системы (1.1) удовлетворяет Определению 4, но существует большое количество важных прикладных задач, для которых Определение 4 неприменимо.
В качестве примера такой задачи рассмотрим задачусинтеза управлений 1 и 2 , которые ограничены, |1 | ≤ 1, |2 | ≤ 1, и которые14оптимально быстро отображают каждую точку (1 (0),2 (0)) системы˙ 1 = 2 1 ,˙ 2 = 2(1.6)в начало координат. Хорошо известно [65], что синтез такого управления возможен на всей плоскости (1 , 2 ). Например, для первого квадранта плоскостиоптимальным управлением будет следующее управление⎧⎨1,при 1 < 0.522 ,1 =⎩−1, при ≥ 0.52 ,12⎧⎨−1, при 1 ≤ 0.52 ,22 =⎩1,при 1 > 0.522 .(1.7)В частности, оптимальной является траектория 1 = 0.522 и для этой траектории система (1.6) принимает вид ˙ 1 = −2 , ˙ 2 = −1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
