Диссертация (1144294), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Заменой2 := ( − ), := −систему (2.1) приведем к форме˙ = ,˙ = −( + ) + + ( − ) − 3 ,(2 − )˙ = − −.Далее заменой√︀ := ( − ), := √︀,( − ) := √, :=−( − )46эту систему приведем к следующему виду˙ = ,˙ = − − + − 3 ,(2.2)˙ = − − ,где( + )2 − = √︀, = √︀, =.( − )( − )Легко показать, что состояния равновесия системы (2.2) имеют следующий вид0 = (0, 0, 0),(2.3)± = (±1, 0, 0).Матрица Якоби правой части системы (2.2) имеет следующий вид⎞⎛010⎟⎜2⎟.(,,) = ⎜−3−+1−−⎠⎝−− −(2.4)Далее воспользуемся стандартным подходом современной теории устойчивости [128] и некоторыми идеями теории стабилизации [129–133].
Введем в рассмотрение функцию Ляпунова242 (,,) = −− + .22(2.5)Производная вдоль решений системы (2) имеет вид˙ ((),(),()) = 2(−()2 + ()2 ).(2.6)Пусть выполнены условия первой части теоремы: 2 > , + < 0. Тогда < 0, > 0 и(︂)︂˙ ((), (), ()) = 2 −()2 + ()2 > (()2 + ()2 ).(2.7)47Предположим, что решение ((), (), ()) - ограничено на [0, +∞).
Тогда из(2.2) следует, что ˙ , ˙ – ограничены. Из (2.7) следует, что (︀∫︁ ((), (), ()) > ((0), (0), (0)) + )︀( )2 + ( )2 .(2.8)0Так как ((), (), ()) – ограничено, то∫︁+∞ (︀)︀( )2 + ( )2 < +∞.(2.9)0Тогда, по лемме Барбалата [134], из ограниченности ˙ , ˙ и (2.9) следует, чтоlim (()2 + ()2 ) = 0.→+∞Отсюда следует, что () → 0, () → 0 при → +∞. Первые два уравнениясистемы (2.2) можно переписать в виде¨ − + 3 = (),(2.10)где () = −() − ()() → 0 при → +∞. Так как функция () – ограничена, то существует последовательность моментов времени { } такая, что( ) → при → +∞. Поскольку ()˙= () → 0 при → +∞, то длялюбого можно выбрать такое 1 , что |()|˙< при > 1 . Предположим, что(, 0) не является состоянием состоянием равновесия системы (2.10) при = 0.Поскольку () → 0, то для любого малого можно выбрать такой моментвремени 2 , что | ()| < при > 2 .
По теореме о непрерывной зависимостирешения от параметра решение системы (2.10) при = 0 c начальными данными (0) = , (0)˙= 0 на некотором интервале времени [0, 3 ] будет близко крешению системы (2.10) при | ()| < .График решений уравнения (2.10) при = 0 в плоскости (, )˙ изображенна рисунке 2.1. Как видно из рисунка, для решения с начальными данными(0) = , (0)˙= 0, где (, 0) — не является состоянием равновесия системы(2.10), можно выбрать такое , что, начиная с некоторого момента времени4 < 3 , |()|˙> для любого > 4 , что противоречит утверждению ()˙=48ẋ2-2-112x-2Рисунок 2.1: График решений уравнения ¨ − + 3 = 0.() → 0 при → +∞. Значит – одно из состояний равновесия и либо = 0,либо = −1, либо = 1.Таким образом, предполагая ограниченность произвольного решения((), (), ()) системы (2.2) при → +∞, мы получили, что оно попадаетв сколь угодно малую окрестность одного из состояний равновесия 0 , ± и су-ществует момент времени > 0 такой, что при ≥ это решение принадлежитдостаточно малой окрестности одного из состояний равновесия.При любом состояние равновесия 0 является седлом, так как матрицаЯкоби (2.4) в точке 0 имеет следующие собственные числа:s = − < 0,ss =− −√2 + 42< 0,u =− +√2 + 42> 0.(2.11)Воспользуемся критерием Рауса-Гурвица и покажем, что при < 0, > 0состояния равновесия ± являются неустойчивыми.
Коэффициенты характери-стического многочлена 3 + 1 2 + 2 + 3 = 0 матрицы Якоби в состоянияхравновесия ± имеют следующий вид:1 = + ,2 = − + 2,3 = 2.Согласно критерию Рауса-Гурвица, состояния равновесия ± устойчивы, тогдаи только тогда, когда 1 > 0, 3 > 0 и 1 2 − 3 > 0. Покажем, что 1 2 − 3 < 0при + < 0, 2 > . Запишем правую часть неравенства в терминах , , и49:2 + + ( + )− √︀=1 2 − 3 = √︀( − ) ( − )( − )( + − + + 2 + 3)==(( − ))3/2(︀)︀ ( + − ) + + − + 2 + 2 + ==(( − ))3/2 (( + − ) + ( + )( + ) + (2 − ))=< 0,(( − ))3/2так как , , положительные, > , а из предположения, что + < 0, 2 > следует, что < − < 0 и + < 0 ⇔ 2 + < 2 > ⇔ 2 + > + }︃⇒ > + .Таким образом, все состояния равновесия 0 , ± системы (2.2) являютсянеустойчивыми.
В случае, если при некоторых параметрах состояния равно-весия ± , также как и 0 , являются седлами, то в окрестности этих состоянийравновесия к ним могут притягиваться только траектории, лежащие на соответствующих устойчивых многообразиях размерности 1 или 2. Получаем противоречие с исходным предположением об ограниченности произвольного решениясистемы (2.2).
Отметим, что Лебегова -мерная мера множества точек, которыестремятся к состояниям равновесия 0 , ± равна 0. Так как из (2.8) следует,что ((), (), ()) → ∞ при → +∞, то почти любое решение системы (2.2)(и системы (2.1)) стремится к бесконечности при → +∞.Пусть выполнены условия второй части теоремы: 2 < , + > 0.
Тогда > 0, < 0. Воспользуемся здесь принципом инвариантности Ла-Салля:Принцип Ла-Салля [135]: Пусть Ω – компактное множество, обладающеесвойством, что любое решение системы (2.2) с началом в Ω остаетсядля всех будущих моментов времени в Ω. Пусть существует скалярная,непрерывно-дифференцируемая в Ω функция (x), такая что ˙ (x) ≤ 0 в Ω.Пусть = {x ∈ Ω | ˙ (x) = 0} и – наибольшее инвариантное множество50из . Тогда любое решение начинающееся в Ω стремится к при → +∞.Отметим, что в доказательстве этого принципа компактность множества Ωиспользуется для того, чтобы показать ограниченность снизу функции (x) наΩ.
В нашем случае можно показать, что)︀2 11 (︀ 212+ −1 − ≥− (,,) = +(−) 2222для любых (,,) ∈ R3 . Поэтому в качестве множества Ω можно рассматриватьR3 . Так как ˙ ≤ 0 на всем R3 , то невозрастающая функция и ((),(),())сходится к некоторому при → +∞. Так как непрерывная функция, то (,,) = на –предельном множестве + любого решения ((),(),())системы (2.2). Поскольку множество + инвариантное, то на нем выполнено˙ (,,) = 0. Значит + ⊂ и все решения системы (2.2) стремятся к при → +∞.Из равенства˙ (,,) = 2(−2 + 2 ) = 0следует, что = 0, = 0. Тогда из (2.2) следует, что = 0, ± 1. Таким образом,множество состоит из состояний равновесия 0 , ± системы (2.2) и любоерешение системы (2.2) (и системы (2.1)) стремится при → +∞ к некоторомусостоянию равновесия.2.2.2 Численное определение границ областей неустойчивостиДополним этот аналитический результат следующим компьютерным экспериментом, рассмотрев параметры системы (2.1), для которых := + > 0, ∈ (0, 1] и < 2 .
Для рассматриваемых параметров исследуем зависимостьповедения траекторий в фазовом пространстве системы (2.1) при фиксированном и изменяемом . В плоскости (, ) численно построим границу, отделяющую область, для которой траектории системы стремятся к некоторым устойчивым инвариантным множествам (стационарным точкам, предельным циклам,хаотическим аттракторам), от области, для которой почти все траектории уходят на бесконечность.51(a) = 0.75– стремление траектории системы (2.1)(b) = 0.8– раскрутка траектории системы (2.1).к предельному циклу.Рисунок 2.2: Поведение траекторий системы (2.1) на интервале времени[0, 400] при фиксированных = − − = −, = 36, = 0.2 и различных .Для численного интегрирования системы (2.1) используем стандартную процедуру ode45 математического пакета MATLAB. Параметры процедуры, задающие погрешность, выбраны следующим образом RelTol = 10−8 , AbsTol = 10−8 .Численная процедура выглядит следующим образом: на полуинтервале(0, 1] выберем разбиение с шагом 0.1 и для каждого фиксированного значениипараметра ∈ (0, 1] будем изменять значение параметра , начиная с 0, с шагом0.1.
Для отслеживания качественного изменения поведения траекторий будемвизуализировать траектории средствами пакета MATLAB, сопоставив отрезкувремени интегрирования шкалу цветов (например, от синего цвета до красного)и покрасив соответствующую траекторию согласно этой шкале (см. рис. 2.2).Если в рамках эксперимента внешние края задаваемого проинтегрированнойтраекторией геометрического объекта будут красными, то можно диагностировать, что траектория раскручивается.
В качестве тестовых траекторий будемрассматривать две траектории: первая – с начальными данными, выбраннымив окрестности седла 0 системы (2.1) на неустойчивом одномерном многообразии (чтобы исследовать поведение траекторий вблизи состояний равновесия),и вторая – с начальными данными, выбранными достаточно далеко от стационарных точек (чтобы исследовать поведение траекторий "на бесконечности").
Вкачестве таких начальных данных мы рассматривали точки вида: 0 = 0 = ,0 = 2 , где = 1000.52Определив при фиксированном некоторое значение параметра * , при котором поведение траекторий качественно меняется, далее мы рассматривалиокрестность [* − , * + ], где < 0.1 с меньшим разбиением и исследова-ли описанным образом её. Повторяя эту процедуру несколько раз, мы, такимобразом, уточняли граничное значение * .
В нашем эксперименте итоговый ми-ε=σ+dнимальный шаг разбиения по был равен 0.05.bРисунок 2.3: Граница + = 1 , ≈ 4 разделяющая области с различнымипроведениями траекторий системы (2.1).Для системы (2.1) при фиксированном значении параметра = 36 и при =− − = − в результате описанного численного эксперимента оказалось, что вплоскости параметров (, ) искомая граница, разделяющая параметры на двамножества, соответствующие разным проведениям траекторий, приближеннозадается следующим линейным уравнением: = + =2.3).1 ,где ≈ 4 (рис.2.2.3 Моделирование системы вблизи границы неустойчивостиИз доказанной выше теоремы вытекает следующий интересный факт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
