Диссертация (1144294)
Текст из файла
2ОглавлениеВведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Отрицательное решение проблемы Калмана и доказательствосуществования скрытого странного аттрактора . . . . . . . . . 101.1Дифференциальные включения: определения решений . .
. . . .111.1.1Подход Филиппова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.1.2Подход Айзермана-Пятницкого . . . . . . . . . . . . . . . .141.1.3Подход Гелига-Леонова-Якубовича . . . . . . . . . . . . . .161.2Проблема Калмана . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .191.3Построение контрпримеров к гипотезе Калмана . . . . . . . . . .241.3.1Поиск самовозбуждающихся колебаний . . . . . . . . . . .241.3.2Метод точечных отображений А.А. Андронова . . . . . . .261.3.3Анализ возможного существования скрытых колебаний.1.4Метод продолжения по параметру . . . . .
. . . . . . . . .34Двумерная модель Келдыша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372 Численное моделирование системы лоренцевского типа:асимптотическое поведение решений, хаос и гомоклинические бифуркации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1Система лоренцевского типа .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2Асимптотическое поведение решений и структуры компьютерных2.343ошибок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.2.1Аналитический критерий неустойчивости . . . . . . . . . .442.2.2Численное определение границ областей неустойчивости .502.2.3Моделирование системы вблизи границы неустойчивости .52Гомоклинические траектории в системе лоренцевского типа.
. .5632.3.1Аналитическое доказательство существования гомоклинических траекторий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.257Численный анализ гомоклинических бифуркаций в системе лоренцевского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.65Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Список таблиц . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99А Определения: динамические системы с непрерывным временем и аттракторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Б Реализация алгоритма построения контрпримера к гипотезеКалмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 104Б.1 Локализация периодического решения в системе Фиттса с разрывной правой частью методом точечных отображений . . . . . . 104Б.2 Локализация хаотического решения в системе Фиттса с разрывной правой частью методом продолжения по параметру . . .
. . . 113Б.3 Локализация хаотического решения в системе Фиттса с кусочногладкой и гладкой правой частью с использованием обратногосценария разрывной аппроксимации и метода продолжения по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117В Численное моделирование системы лоренцевского типа . .
. . 121В.1 Реализация алгоритма численного определения границ областейнеустойчивости системы лоренцевского типа . . . . . . . . . . . . 122В.2 Реализация алгоритма моделирования и анализа поведения сепаратрис седла и поведения отображений Пуанкаре системы лоренцевского типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 129В.2.1 Алгоритм численного сканирования области параметров ианализа поведения сепаратрис седловых состояний равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294В.2.2 Алгоритм для численного моделирования отображенияПуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 1375ВведениеНачиная с 40-х годов прошлого века стали разрабатываться критерии отсутствия колебаний в системах автоматического регулирования. В 1944 году былаопубликована знаменитая работа А.И. Лурье и В.Н. Постникова [1], в которой был предложен эффективный подход для получения достаточных условийотсутствия колебаний и глобальной устойчивости для математической моделисистемы регулирования с одной скалярной нелинейностью (такую систему влитературе часто называют системой Лурье). Далее для системы Лурье с единственным состоянием равновесия и нелинейностью из заданного линейного сектора возник вопрос совпадения условия глобальной устойчивости нелинейнойсистемы с условием устойчивости линейного приближения.
В рамках исследования этого вопроса Рудольфом Калманом в 1957 году была сформулированаизвестная гипотеза [2] о моноустойчивости такой системы управления. В общемслучае эта гипотеза оказалась неверна. В работах Р.Э. Фиттса, Н.Е. Барабанова,Х. Берната, Ж. Либре, Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова исследовались контрпримеры к гипотезе Калмана, в которых устойчивые периодические решениясосуществовали с единственным состоянием равновесия. Трудность численногопоиска таких скрытых колебаний связана с тем, что их область притяженияможет быть мала и не связана с состоянием равновесия. В настоящей работе,на основе развития теории разрывных систем и применения метода точечныхотображений Андронова, построен контрпример к гипотезе Калмана с хаотической динамикой.Одним из актуальных направлений исследования является разработкаэффективных аналитико-численных методов, использующих вычислительныемощности современных ЭВМ и продуктивные аналитические подходы.
Значительными результатами, полученными на основе таких подходов, являютсякомпьютерное доказательство (computer-assisted proof) действительного суще-6ствования хаотического аттрактора в классической системе Лоренца [3], и обнаружение скрытых аттракторов в системах лоренцевского типа [4]. Однимиз центральных направлений современных исследований сценариев переходак хаотической динамике в многомерных системах является исследование гомоклинических бифуркаций в работах нижегородской школы Л.П.
Шильникова [5]. За последнее время в этом направлении представителями этой школыполучен ряд новых результатов для систем лоренцевского типа. В настоящейработе изучается обобщенная система Лоренца, которая включает в себя математические модели, описывающие процесс конвекции жидкости [6], динамикуволн в лазерах [7] и другие физические процессы [8]. Для этой системы проведены аналитико-численные исследования, связанные с развитием аналитическихкритериев рождения гомоклинической бифуркации и с численной проверкойвозможности возникновения хаоса.Первой целью данной диссертационной работы является разработка эффективного алгоритма для аналитико-численного построения контрпримеров кпроблеме Калмана с хаотической динамикой и анализ физических экспериментов Фиттса.Второй цельюданной работы является построение аналитических кри-териев неустойчивости в системах лоренцевского типа со сжатием объемов иразработка эффективного алгоритма для численного определения границ областей неустойчивости.
Под системами лоренцевского типа понимаются классическая система Лоренца, а также известные системы Чена, Лу, Тигана-Янгаи Шимицу-Мориока, которые в работе обобщаются специальной системой с кубической нелинейностью.Третьей целью является получение аналитических критериев существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа и разработкаэффективных численных алгоритмов для анализа гомоклинической бифуркации и соответствующих сценариев возникновения хаоса.Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующиезадачи:1. Разработать аналитико-численный алгоритм, основанный на методе точечных отображений, методе продолжения по параметру и на обратном7сценарии разрывной аппроксимации Айзермана-Пятницкого, для построения контрпримеров к проблеме Калмана;2.
Разработать алгоритм численного определения границ областей неустойчивости, основанный на моделировании и анализе поведения траекторийобобщенной системы Лоренца;3. Разработать алгоритм моделирования и анализа поведения сепаратрисседла и алгоритм моделирования и анализа поведения отображений Пуанкаре в обобщенной системе Лоренца при изменяющемся бифуркационномпараметре для численного анализа возможности возникновения хаотического поведения в окрестности гомоклинической бифуркации;4. Реализовать разработанные алгоритмы в виде комплекса программ в пакете вычислений MATLAB.Методы исследования1.
Для построения контрпримеров к проблеме Калмана применен метод точечных отображений и символьные вычисления для локализации периодических решений, а также подход, основанный на обратном сценарииразрывной аппроксимации, для перехода к системе с гладкой нелинейностью.2. Аналитический метод построения области глобальной устойчивости и глобальной неустойчивости в системах лоренцевского типа.3. Аналитический метод доказательства существования гомоклиническихбифуркаций в системах лоренцевского типа.Основные положения, выносимые на защиту1. Алгоритм синтеза моделей со скрытыми колебаниями для класса моделейуправления в форме Лурье. Алгоритм для построения контрпримеров кпроблеме Калмана, основанный на обратном сценарии разрывной аппроксимации Айзермана-Пятницкого.
Контрпример с гладкой нелинейностьюк проблеме Калмана на основе системы Фиттса, демонстрирующий скрытый хаотический аттрактор.2. Аналитический критерий неустойчивости для класса моделей лоренцевского типа со сжатием объемов. Алгоритм для численного определенияграниц областей неустойчивости.83. Алгоритм синтеза моделей с гомоклинической траекторией для классамоделей лоренцевского типа.
Аналитический критерий существования гомоклинических траекторий и алгоритм для численного исследования гомоклинических бифуркаций для класса моделей лоренцевского типа. Численное обнаружение гомоклинической бифуркации слияния странных аттракторов.Научная новизна. Пункты 1-3, перечисленные в положениях, выносимыхна защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.Теоретическая и практическая значимость.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
