Диссертация (1144294), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В пространстве параметров системы (2.1) с помощью теоремы обнаружена граница,разделяющая две области с различным типом поведения траекторий: 2 = , + = 0. Оказалось, что при численном интегрировании на конечном интервале времени траекторий системы (2.1) с параметрами в малой окрестностиэтой границы устоявшееся поведение (sustained behavior) системы (периоди-53ческое или хаотическое) сложно отличить от переходного поведения (transientbehavior) [136, 137], которое, тем не менее, может сохраняться долгое время.Поэтому компьютерные эксперименты на конечных интервалах времени, проведенные без дополнительной проверки, могут давать результаты, противоречащие утверждениям теоремы 5.
Опишем здесь такие эксперименты.(a) ”Предельный цикл” в системе (2.1), ∈ [0, 200].(b) Раскрутка сепаратрисы системы (2.1), ∈ [0, 2000].Рисунок 2.4: Эксперимент №1. Система (2.1) при = 0, = 35, = −35 − , = 70 − , = 10−4 .Эксперимент №1.В рамках первого компьютерного эксперимента, вы-берем начальную точку в окрестности седла 0 системы (2.1) на неустойчивом одномерном многообразии и численно проинтегрируем соответствующуюсепаратрису.
Для следующих значений параметров = 0, = 35, = −35, = 2 = 70, лежащих на границе, разделяющей две области с различнымтипом поведения траекторий, рассматриваемая сепаратриса задает гомоклиническую траекторию. Для значений параметров = 0, = 35, = −35 − , = 70 − , лежащих вблизи границы, численный эксперимент может бытьинтерпретирован следующим образом: сепаратриса, выпущенная из седла 0 ,притягивается к предельному циклу.
Здесь малое положительное число. Для = 10−4 , интегрируя сепаратрису с начальными условиями 0 = 0.00447,0 = 0.00894, 0 = 0 (эти условия с большой точностью принадлежат неустойчивому многообразию седла) на интервале времени [0, 200], получаем стремление этой сепаратрисы к предельному циклу, который изображен на рис. 2.4a.Период цикла примерно равен 0.4788, а невязка между начальной и конечно54точкой цикла примерно равна 0.0018. В рамках этого эксперимента мы ожидали, что повышение точности численного интегрирования (и соответствующееуменьшение адаптивного шага в процедуре ode45) приведет к исчезновениюцикла и стремлению почти всех траекторий к бесконечности.
Численная проверка этого предположения для значений RelTol = AbsTol = {10−10 , 10−12 }показала, что этого не происходит.Как видно, результат этого численного эксперимента, интерпретированныйтаким образом, противоречит теореме 5. Проведем дополнительную проверкуэтого результата. Для этого, во-первых, визуализируем сепаратрису, полученную с помощью численного интегрирования системы (2.1), не одним цветом, асопоставим отрезку времени интегрирования шкалу цветов (например, от синего цвета до красного) и покрасим сепаратрису согласно этой шкале. Во-вторых,для численной проверки поведения сепаратрисы проинтегрируем ее на большем интервале времени.
Результаты этого эксперимента для интервала времени, увеличенного в 10 раз, изображены на рис. 2.4b. Как видно, для выбранныхпараметров в фазовом пространстве системы (2.1) на самом деле происходитмедленная раскрутка сепаратрисы. Однако, в экспериментах с недостаточнобольшими интервалами времени, проводящимися в отрыве от аналитическихрезультатов теоремы 5, этот эффект не диагностируется и создается впечатление, что в фазовом пространстве существует периодическая траектория.Эксперимент №2.Опишем теперь следующий компьютерный экспери-мент, который дает "хаотический аттрактор". Выберем в фазовом пространствесистемы (2.1) с параметрами = 0, = 35, = −35 − , = 70 − , где = 10−4случайным образом 200 начальных точек в широкой области (25 * randn(3,1))и для каждой точки численно проинтегрируем траекторию на интервале време-ни [0, 10].
Параметры процедуры интегрирования выберем такими же, как и впрошлом эксперименте. В результате получим следующую картину: ни одна изтраекторий не уходит на бесконечность (как следует из теоремы 5), а все онистремятся к некоторому аттрактору, напоминающему аттрактор Лоренца [6].Так же, как и в предыдущем эксперименте, результат сходимости траекторийвесьма устойчив и не меняется при увеличении точности численной процедуры.55(a) ”Хаотический аттрактор” в системе (2.1), 200случайно выбранных точек,(b) Покрытие аттрактора траекториями, ∈ [0, 10].(c) Раскрутка траекторий, ∈ [0, 10].
∈ [0, 2000].Рисунок 2.5: Эксперимент №2. Система (2.1) при = 0, = 35, = −35 − , = 70 − , = 10−4 .Для проверки этого результата опять воспользуемся покраской траекторий.Если полученный в эксперименте аттрактор действительно существует и является хаотическим, то раскрашенные разным цветом траектории после притяжения на аттрактор перемешаются и аттрактор будет иметь смешанный цвет.
Впротивном случае, траектории будут ложиться на аттрактор слоями, а сам аттрактор будет полосатым. В результате этого эксперимента мы получаем именно второй случай, означающий, что аттрактор не хаотический. Кроме этого,если каждую траекторию проинтегрировать на большем интервале времени ипокрасить согласно цветовой шкале, аналогичной предыдущему эксперименту, то опять можно показать, что все траектории медленно раскручиваются.56Этот факт показывает, что полученное в фазовом пространстве траекторноемножество не является аттрактором. Описанные численные эксперименты реализованы в MATLAB и представлены в приложении В.1.Таким образом, в этом разделе для систем лоренцевского типа со сжатием объемов были получены аналитические критерии глобальной устойчивостии неустойчивости их стационарных множеств.
Описаны и проанализированыкомпьютерные эксперименты для исследования качественного поведения траекторий систем лоренцевского типа, интерпретация которых, без дополнительнойпроверки, ориентированной на аналитические результаты, может приводить кневерным заключениям. Это обстоятельство проблематизирует использованиетолько компьютерного моделирования в отрыве от аналитических подходов.2.3Гомоклинические траектории в системе лоренцевского типаПри исследовании нелинейных систем важную роль играют такие феномены как гомоклинические бифуркации.
Они связаны с появлением в фазовомпространстве изучаемой системы гомоклинических траекторий и глобальными изменениями ее динамики, такими как изменения в бассейнах притяженияаттракторов и возникновение хаотической динамики [5,102,103,138,139]. Сложность исследования движений в окрестности гомоклинической траектории исамой гомоклинической траектории были обнаружены А. Пуанкаре [140]. Гомоклинические бифуркации исследуются и применяются в различных областях,таких как механика, теория популяций и химия (см., например, [141–143]).В этом разделе будет построена область параметров, в которой будет аналитически доказано существование гомоклинической траектории к нулевомусостоянию равновесия седлового типа в системе лоренцевского типа (2.2) дляслучая неотрицательной седловой величины.
Затем, для качественного описания различных типов гомоклинических бифуркаций, будет проведен численныйанализ обнаруженной области параметров.572.3.1 Аналитическое доказательство существования гомоклинических траекторийОпределение 8. Гомоклинической траекторией x() автономной системыдифференциальных уравнений ∈ R,ẋ = (x, ),x ∈ R(2.12)при заданном значении параметра ∈ R называется фазовая траектория,двоякоасимптотическая к некоторому седловому состоянию равновесия x0 ,т.е.lim x() = lim x() = x0 .→+∞→−∞Здесь (x,) – гладкая вектор-функция, R = {x} – фазовое пространствосистемы (2.12), R = {} – пространство параметров системы (2.12).
Пусть(), ∈ [0,1] – гладкий путь в пространстве параметров {}. Сформулируем проблему Трикоми [144] для системы (2.12) и для пути (): существуетли точка 0 ∈ {(), ∈ [0,1]} такая, что система (2.12) с = 0 имеетгомоклиническую траекторию?Рассмотрим систему (2.12) с = () и введем следующие обозначения:x(,)+ – сепаратриса седла x0 , т.е. lim x(,)+ = x0 , xΩ ()+ – точка первого→−∞пересечения сепаратрисой x(,)+ замкнутого множества Ω:x(,)+ ̸∈ Ω, ∈ (−∞, ),x(,)+ = xΩ ()+ ∈ Ω.Если такой точки пересечения не существует, то примем, что xΩ ()+ = ∅. Здесь∅ – пустое множество.Теперь сформулируем общий метод доказательства существования гомокли-нических траекторий для системы (2.12), называющийся принципом рыбака:Теорема 6 (Принцип рыбака [145–147]). Предположим, что для пути () существует ограниченное многообразие Ω размерности (−1) с кусочно-гладкимкраем Ω и обладающее следующими свойствами:1) для любого x ∈ Ω ∖ Ω и ∈ [0,1] вектор (x,()) трансверсален кмногообразию Ω ∖ Ω,582) для любого ∈ [0,1] выполнено равенство (x0 ,()) = 0 и x0 ∈ Ω –состояние равновесия системы (2.12) седлового типа,3) при = 0 выполнено соотношение xΩ (0)+ ∈ Ω ∖ Ω,4) при = 1 выполнено соотношение xΩ (1)+ = ∅,5) для любого ∈ [0,1] и y ∈ Ω ∖ x0 существует -окрестность (y, ) = {x ∈ R | |x − y| < }такая, что xΩ ()+ ̸∈ (y,).Тогда существует число 0 ∈ [0,1] такое, что x(,0 )+ – гомоклиническая тра-ектория седла x0 .Доказательство и геометрическая интерпретация теоремы 6 даны, например, в [145].
Применим теорему 6 для доказательства существования гомоклинических траекторий в системе (2.2).Вначале докажем несколько вспомогательных утверждений, используя приэтом функцию Ляпунова (2.5)422− + (,,) = −22из доказательства теоремы 5.Лемма 1. Пусть = 0, > 0. Тогда сепаратриса системы(2.2), выходящаяиз седла = = = 0:lim () = lim () = lim () = 0,→−∞→−∞→−∞стремится к бесконечности при → +∞.Доказательство. Предположим противное. В этом случае рассматриваемая сепаратриса имеет -предельную точку 0 , 0 , 0 .
Используя рассуждения, аналогичные рассуждениям, изложенным в доказательстве теоремы 5, получим, что˜ , ˜(), ∈ [0, ] с начальными данными ˜(0) = 0 ,кусок траектории ˜(), ()˜(0)= 0 , ˜(0) = 0 также состоит из -предельных точек и удовлетворяетсоотношению ˜() = 0, ∀ ∈ [0, ]. Но тогда из третьего уравнения системы59˜ ˜() = 0, ∀ ∈ [0, ]. Отсюда следует соотношение(2.2) получим равенство ()˜ = 0,(˜()2 )∙ = 2˜() ()∀ ∈ [0, ].˜ = 0, ˜() = 0, ∀ ∈ [0, ]. Легко видеть, что тогдаПоэтому ˜() = const, ()˜ , ˜() является состоянием равновесия.˜(), ()Из (2.6) и соотношения (0,0,0) = 0 > −1/2 = (±1,0,0) следует, что˜ = ˜() ≡ 0.
В этом случае траектория (),(),() является гомо˜() = ()клинической и ((),(),()) ≡ 0. Но тогда из (2.6) следует, что () ≡ 0.˜Повторяя рассуждения, которые мы провели ранее для ˜(), (),˜(), по-лучим, что () = () = () ≡ 0. Последнее противоречит предположению отом, что (),(),() – сепаратриса седла = = = 0.Таким образом, сепаратриса (),(), () не имеет -предельных точек и,следовательно, стремится к бесконечности при → +∞.Рассмотрим систему (2.2) с ≥ 0, > 0 и предположим, что√︀( 2 + 4 + ) > 2( − 2).(2.13)Из неравенства (2.13) следует, что существует число > 0, для которого выполнены неравенства>Введем обозначения =Лемма2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
