Диссертация (1144294), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Пусть√2 + 4 − ,2+2< 1. + 2(2.14)< 1 и = 1 − .выполненонеравенство(2.13)исепаратриса()+ ,()+ ,()+ седла = = = 0 удовлетворяет соотношению()+ > 0,∀ ∈ (−∞, ].Тогда существует число > 0 (не зависящее от ), что()+ ≤ ,|()+ | ≤ ,|()+ | ≤ ,∀ ∈ (−∞, ].60Доказательство.
Рассмотрим множество{︂Φ={︂√︁⃒(,,) ∈ R ⃒ ∈ [0,0 ], ≤ min , 20 + 2 −3 42 }︂2, ≥ −}︂.Здесь 0 – некоторое положительное число (например, 1), 0 – положительный корень уравнения 4 = 0.(2.15)2Из соотношений (2.14), > 0 и ≤ в некоторой малой окрестности20 + 2 − = = 0 следует, что на некотором интервале (−∞,1 ), 1 < сепаратриса ()+ ,()+ ,()+ принадлежит множеству Φ. Для того чтобы доказать, чтоэта сепаратриса принадлежит Φ на (−∞, ] рассмотрим границы Φ ∩ { > 0} ипокажем, что они трансверсальны. Эти границы – следующие поверхности иличасти поверхностей:{︀1 Φ = (,,) ∈ R3{︀2 Φ = (,,) ∈ R3{︀3 Φ = (,,) ∈ R3{︀4 Φ = (,,) ∈ R3⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒}︀ ∈ (0, 0 ), = , ≥ −2 , ∈ (0, 0 ), 2 = 20 + 2 − 42 ,}︀2 ∈ (0, 0 ), < , = −}︀ = 0 , < 0 .}︀ ≥ −2 ,,Рассмотрим решение системы (),(),(), которое в точке находится на1 Φ.
В этом случае из (2.14) получим соотношение1 − 2 − 1 − 21= − +< − +< − + ,∀ ∈ (0, 0 ].Отсюда следует, что< ,∀ ∈ (0, 0 ], = , ≥ −2 .Таким образом поверхность 1 Φ трансверсальна и если (),(),() находитсяна 1 Φ, то для этого решения существует число () такое, что ( )−( ) < 0,∀ ∈ (, + ()).Рассмотрим теперь решение и (),(),(), которое в момент времени находится на 2 Φ и рассмотрим функцию (, ) = 2 −2 + 2 4 . Легко видеть,61что на 2 Φ выполнены соотношения = 0,(︀)︀˙ (,) = −22 () − 2()() () + 2 () < 0.Отсюда следует, что поверхность 2 Φ трансверсальна и если (),(),()находится на 2 Φ, то для этого решения существует число () такое, что (( ),( )) < 0 ∀ ∈ (, + ()).Рассмотрим теперь решение, которое в точке находится на 3 Φ.
В этомслучае( + 2 )∙ = − − + 2 =( − ) > 0.= ( + (2 − )) = + 2Отсюда следует, что поверхность 3 Φ трансверсальна и если (),(),()находится на 3 Φ, то для этого решения существует число () такое, что( ) + ( )2 > 0, ∀ ∈ (, + ()). Трансверсальность 4 Φ очевидна.Из доказанных выше соотношений и очевидного неравенства ()˙< 0 при() = 0 , () < 0 следует, что ()+ ,()+ ,()+ принадлежит Φ на (−∞, ].Заметим, что из третьего уравнения системы (2.2) имеем соотношение 2( + 2 )∙ + ( + 2 ) =.222Поэтому из ограниченности ()+ ∈ (0,0 ), ∀ ∈ (−∞, ), следует ограниченность ()+ на (−∞, ):()+ + (()+ )2 ≤ 20 , ∀ ∈ (−∞, ).22и имеет место оценка 2 , ∀ ∈ (−∞, ).(2.16)2 0Из второго уравнения системы (2.2) и ограниченности + () и + () на(−∞, ] следует ограниченность + () для > 0 и ограниченность ˙ + () для()+ ≤ = 0. Из первого уравнения системы (2.2) и ограниченности + () и ˙ + () следует ограниченность + () на (−∞, ].
Отсюда следует утверждение леммы.62Лемма 3. Пусть выполнено условие(2.13) и[︂]︂ 2 > 4 (1 + )0 − 1 ,22(2.17)где 0 – положительный корень уравнения (2.15).Тогда ()+ > 0, ∀ ∈ (−∞, + ∞).Доказательство. Здесь выполнены условия леммы 2. Поэтому, если ()+ > 0,∀ ∈ (−∞, ), то выполнено соотношение (2.16).Если ( )+ = 0, то для любого положительного числа существует < такое, что( )+ = − ( )+ ,()+ > − ()+ ,∀ ∈ (−∞, ).(2.18)Для соотношения ( ) = − ( ) из (2.16) имеем> − + , = (1 + )20 − 1.2Отсюда получим неравенство( + ) > − += 0,при =√+ 2 −4.2(2.19)Здесь мы используем условие (2.17).Из (2.19) следует, что(( )+ )∙ + (( )+ )∙ > 0.Это неравенство противоречит (2.18).
Полученное противоречие доказываетнеравенство ()+ > 0, ∀ ∈ (−∞, + ∞).Доказанные леммы 1, 2 и 3 и теорема 6 (принцип рыбака) позволяют сформулировать для системы (2.2) следующий результат. Рассмотрим гладкий путь(),(),(), ∈ [0,1) в пространстве параметров системы (2.2).63Теорема 7. Пусть(0) = 0,lim sup () < +∞,→1lim () = +∞,→1lim sup () < +∞(2.20)→1и выполнено неравенство√︀()( ()2 + 4 + ()) > 2(() − 2), ∀ ∈ [0,1].(2.21)Тогда существует 0 ∈ (0,1) такое, что система (2.2) с (0 ),(0 ),(0 ) имеет гомоклиническую траекторию.Доказательство.
Приведем здесь схему доказательства. В качестве Ω рассмотрим множество⃒{︀}︀Ω = (,,) ∈ R3 ⃒ = 0, ≤ 0, 2 + 2 ≤ ,где – достаточно большое число. Условия 1) и 2) теоремы 6 выполнены длялюбых ∈ [0,1).Из леммы 1 и леммы 2 следует, что при = 0 выполнено условие 3) теоре-мы 6, а из леммы 2 и леммы 3 следует, что при = 1 достаточно близких к 1выполнено условие 4) теоремы 6.Система (2.2) имеет решение() = () ≡ 0, () = (0) exp(−).Отсюда следует выполнение условия 5) теоремы 6. (Подробнее об этом эффекте[145, 148–152]).Таким образом, для пути с ∈ [0,1 ] выполнены все условия теоремы 6 и,следовательно, существует 0 , для которого имеет место утверждение теоремы 7.Следствие 1.
Заметим, что если () ∈ (0, 2] и условия(2.20) выполняютсядля любого ∈ [0,1] то существует 0 ∈ (0,1) такое, что система (2.2)с (0 ), (0 ), (0 ) имеет гомоклиническую траекторию. Этот результатбыл получен в работе [153].64Следствие 2. Особый интерес для нашего исследования представляет путь() = √√() = 1 − ,,1−() ≡ ∈ (0, 2 + ),(2.22)0 < ≤ 1.Для этого пути выполнены все условия теоремы 7 и, следовательно, существует 0 ∈ (0,1) такое, что при = 0 система (2.2) имеет гомоклини-ческую траекторию к грубому состоянию равновесия 0 = (0,0,0) седловоготипа.При этом условия (2.22) задают в плоскости параметров (, ) трапециевидную область значений параметров (см.
рис. 2.6).β32+β<2.5δ21.510.5000.20.40.60.811.1δРисунок 2.6: Область параметров в плоскости (, ), для которой существуетгомоклиническая траектория в системе (2.2).Собственные числа и собственные вектора матрицы линейной части (2.2) вточке 0 имеют следующий вид:√s = − = − 1 − ,(︀ √︀)︀ss11 = 2 − 2 + 4 − = − √1−,√︀)︀ √(︀2 + 4 − = 1 − ,u = 21vs = (0, 0, 1),(︀ √)︀vss = − 1 − , 1, 0 ,(︀ 1)︀vu = √1−, 1, 0 ,где vs , vss , vu попарно перпендикулярны и седловая величина√0 = u + s = (1 − ) 1 − (2.23)65будет нулевой при = 1, положительной при ∈ (0,1), и отрицательной, при > 1. Состояние равновесия 0 имеет устойчивое и неустойчивое инвариантныеsusuмногообразия locи locразмерности dim loc= 2 и dim loc= 1, пересекаю-щиеся в 0 .2.3.2 Численный анализ гомоклинических бифуркаций в системелоренцевского типаГомоклинические бифуркации связаны с математическим описанием перехода к хаосу, известного в литературе как хаос по Шильникову.
Численныйанализ и визуализация хаоса по Шильникову является сложной задачей, поскольку требует изучения неустойчивых структур, чувствительных к ошибкамв численных методах.Для анализа сценариев гомоклинических бифуркаций и возможного возникновения хаотического поведения, проведем численное сканирование области параметров (0, 1.1] × (0, 2 + ), представленной на рис. 2.6, и для фиксированных(, ) ∈ (0, 1.1] × (0, 2 + ) определим приближенный интервал [ ,] ⊂ (0,1),такой что для 0 ∈ [ ,] будет существовать гомоклиническая траектория.
Натрапециевидной области выберем сетку точек grid с шагом grid и для каж-дой точки (curr , curr ) ∈ grid выберем разбиение 0 < 0step < 20step < 30step <. . . , ( − 1)0step < 1 интервала (0,1) c некоторым шагом 0step =1.Для системы(2.2) с параметрами curr , curr , (curr ), где (curr ), curr ∈ (0,1) будем модели-ровать сепаратрисы (sepa (), sepa (), sepa ()) седла 0 для системы (2.2) путемих численного интегрирования на заранее выбранном интервале времени ∈[0, trans ], используя реализацию численной процедуры ode45 для решения диф-ференциальных уравнений в пакете вычислений MATLAB.
Для определениявозможных предельных множеств (предельных циклов и аттракторов) будемтакже численно интегрировать траектории lim (), lim (), lim () с начальнымиданными (lim (0), lim (0), lim (0)) = (sepa (trans ), sepa (trans ), sepa (trans )) на выбранном интервале ∈ [0, lim ]. Полученные траектории sepa (), sepa (), sepa ()и lim (), lim (), lim () будем сохранять в виде изображений в двух форма-тах: 1) траектории покрашены одноцветно 2) траектории покрашены согласно шкале цветов (от синего цвета до красного), соответствующей отрезку времени интегрирования (для определения раскручивания/закручивания траекто-66рии, см.
раздел 2.2.2). Отметим, что в следствии наличия симметрии в системе(2.2), при моделировании достаточно интегрировать только одну сепаратрисуΓ+ () = (sepa (), sepa (), sepa ()), а вторую – симметричную – достраивать какΓ− () := (−sepa (), −sepa (), sepa ()). В случае если состояния равновесия ±являются седло-фокусами, мы также моделируем сепаратрису + (для − се-паратриса получается по симметрии) выше описанным способом.При численном интегрировании траекторий в процедуре ode45 будем использовать обработчик событий ODE Event Location. Он будет обрабатыватьследующие события:∙ сепаратриса Γ+ () уходит на бесконечность.
Для значений параметра близких к 0 система не диссипативна по Левинсону и сепаратриса седла0 будет долго раскручиваться ”на бесконечность”. Поэтому процедураинтегрирования будет прерываться, если сепаратриса выйдет из шара сдостаточно большим радиусом inf .∙ сепаратриса Γ+ () притягивается к состоянию равновесия + (или Γ−к − ), в сторону которого она выпущена.
Если при некотором = crсепаратриса притянулась к ближайшему состоянию равновесия, то при > cr никаких бифуркаций больше происходить не будет (см. изменениеобласти устойчивости ± с ростом параметра на рис. 2.7). В этот моментможно остановить сканирование по параметру и перейти к моделированию для следующей пары (, ). Для проверки притяжения к состояниюравновесия отслеживалось событие попадания в его малую окрестностьрадиуса eq .ββ3β2.5δ<2+β3β2.5δ<2+32221.51.51.51110.50.50.5000.10.20.30.4(a)0.50.6 = 0.10.70.80.91δ000.10.20.30.4(b)0.50.62+β<2.50.7 = 0.50.80.91δ000.10.20.30.4(c)0.5δ0.60.70.8 = 0.9Рисунок 2.7: Область устойчивости состояний равновесия ± в плоскости(, ) для различных значений параметра .0.91δ67Если для фиксированных (, ) при сканировании отрезка ∈ (0,1) с вы-бранным шагом 0step найдутся два соседних значения , ∈ (0,1) таких, что по-ведение сепаратрис Γ± () меняется при переходе от параметров (), () к параметрам (), (), то отрезок [ ,] также сканируется с шагом 1step =1 010 step .Такое последовательное уменьшение шага разбиения позволяет найти граничные значения , , которые задают бифуркацию, с некоторой заданной точностью − > threshold .Таблица 2.1: Значения параметров численной процедуры сканированияобласти (, ) ∈ (0, 1.1] × (0, 2 + ).grid0step10−2 10−3threshold trans10−124 · 103liminfeqRelTolAbsTol10310010−110−1510−15ΠglobΣinΠlocvs−vss−vuS0vssvuΣoutРисунок 2.8: Сечения Пуанкаре Σin и Σout в окрестности седла 0 = (0,0,0)системы (2.2).После описанного сканирования области (0, 1.1]×(0, 2+) для каждой точкисетки (, ) ∈ grid численно найдены значения , ∈ (0,1), такие что измене-ние параметра на отрезке [ ,] ⊂ (0,1) задает гомоклиническую бифуркацию.Далее тип гомоклинической бифуркации уточнялся путем численного анализа поведения отображения Пуанкаре на соответствующих сечениях Σin , Σout ,выбранных в окрестности седла 0 (рис.
2.8). Сечение Σin выбирается перпендикулярным вектору vs на расстоянии in от 0 , сечение Σout – перпендикулярновектору vu и расположено на расстоянии out от 0 . На сечении Σin выбирается68uпрямоугольная сетка точек Σingrid со сторонами коллинеарными векторам v иvss . Каждому ряду точек сетки, начиная с ряда, который лежит на пересеченииΣin и плоскости {vs ,vss }, сопоставим цвет согласно шкале цветов (от синего докрасного) и покрасим сетку таким образом (рис. 2.9). Далее численно иссле-дуется эволюция отображения Пуанкаре Π Σingrid , = 1,2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
