Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1144294), страница 9

Файл №1144294 Диссертация (Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением аттракторы и гомоклинические бифуркации) 9 страницаДиссертация (1144294) страница 92019-06-23СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Пусть√2 + 4 − ,2+2< 1. + 2(2.14)< 1 и = 1 − .выполненонеравенство(2.13)исепаратриса()+ ,()+ ,()+ седла = = = 0 удовлетворяет соотношению()+ > 0,∀ ∈ (−∞, ].Тогда существует число > 0 (не зависящее от ), что()+ ≤ ,|()+ | ≤ ,|()+ | ≤ ,∀ ∈ (−∞, ].60Доказательство.

Рассмотрим множество{︂Φ={︂√︁⃒(,,) ∈ R ⃒ ∈ [0,0 ], ≤ min , 20 + 2 −3 42 }︂2, ≥ −}︂.Здесь 0 – некоторое положительное число (например, 1), 0 – положительный корень уравнения 4 = 0.(2.15)2Из соотношений (2.14), > 0 и ≤ в некоторой малой окрестности20 + 2 − = = 0 следует, что на некотором интервале (−∞,1 ), 1 < сепаратриса ()+ ,()+ ,()+ принадлежит множеству Φ. Для того чтобы доказать, чтоэта сепаратриса принадлежит Φ на (−∞, ] рассмотрим границы Φ ∩ { > 0} ипокажем, что они трансверсальны. Эти границы – следующие поверхности иличасти поверхностей:{︀1 Φ = (,,) ∈ R3{︀2 Φ = (,,) ∈ R3{︀3 Φ = (,,) ∈ R3{︀4 Φ = (,,) ∈ R3⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒}︀ ∈ (0, 0 ), = , ≥ −2 , ∈ (0, 0 ), 2 = 20 + 2 − 42 ,}︀2 ∈ (0, 0 ), < , = −}︀ = 0 , < 0 .}︀ ≥ −2 ,,Рассмотрим решение системы (),(),(), которое в точке находится на1 Φ.

В этом случае из (2.14) получим соотношение1 − 2 − 1 − 21= − +< − +< − + ,∀ ∈ (0, 0 ].Отсюда следует, что< ,∀ ∈ (0, 0 ], = , ≥ −2 .Таким образом поверхность 1 Φ трансверсальна и если (),(),() находитсяна 1 Φ, то для этого решения существует число () такое, что ( )−( ) < 0,∀ ∈ (, + ()).Рассмотрим теперь решение и (),(),(), которое в момент времени находится на 2 Φ и рассмотрим функцию (, ) = 2 −2 + 2 4 . Легко видеть,61что на 2 Φ выполнены соотношения = 0,(︀)︀˙ (,) = −22 () − 2()() () + 2 () < 0.Отсюда следует, что поверхность 2 Φ трансверсальна и если (),(),()находится на 2 Φ, то для этого решения существует число () такое, что (( ),( )) < 0 ∀ ∈ (, + ()).Рассмотрим теперь решение, которое в точке находится на 3 Φ.

В этомслучае( + 2 )∙ = − − + 2 =( − ) > 0.= ( + (2 − )) = + 2Отсюда следует, что поверхность 3 Φ трансверсальна и если (),(),()находится на 3 Φ, то для этого решения существует число () такое, что( ) + ( )2 > 0, ∀ ∈ (, + ()). Трансверсальность 4 Φ очевидна.Из доказанных выше соотношений и очевидного неравенства ()˙< 0 при() = 0 , () < 0 следует, что ()+ ,()+ ,()+ принадлежит Φ на (−∞, ].Заметим, что из третьего уравнения системы (2.2) имеем соотношение 2( + 2 )∙ + ( + 2 ) =.222Поэтому из ограниченности ()+ ∈ (0,0 ), ∀ ∈ (−∞, ), следует ограниченность ()+ на (−∞, ):()+ + (()+ )2 ≤ 20 , ∀ ∈ (−∞, ).22и имеет место оценка 2 , ∀ ∈ (−∞, ).(2.16)2 0Из второго уравнения системы (2.2) и ограниченности + () и + () на(−∞, ] следует ограниченность + () для > 0 и ограниченность ˙ + () для()+ ≤ = 0. Из первого уравнения системы (2.2) и ограниченности + () и ˙ + () следует ограниченность + () на (−∞, ].

Отсюда следует утверждение леммы.62Лемма 3. Пусть выполнено условие(2.13) и[︂]︂ 2 > 4 (1 + )0 − 1 ,22(2.17)где 0 – положительный корень уравнения (2.15).Тогда ()+ > 0, ∀ ∈ (−∞, + ∞).Доказательство. Здесь выполнены условия леммы 2. Поэтому, если ()+ > 0,∀ ∈ (−∞, ), то выполнено соотношение (2.16).Если ( )+ = 0, то для любого положительного числа существует < такое, что( )+ = − ( )+ ,()+ > − ()+ ,∀ ∈ (−∞, ).(2.18)Для соотношения ( ) = − ( ) из (2.16) имеем> − + , = (1 + )20 − 1.2Отсюда получим неравенство( + ) > − += 0,при =√+ 2 −4.2(2.19)Здесь мы используем условие (2.17).Из (2.19) следует, что(( )+ )∙ + (( )+ )∙ > 0.Это неравенство противоречит (2.18).

Полученное противоречие доказываетнеравенство ()+ > 0, ∀ ∈ (−∞, + ∞).Доказанные леммы 1, 2 и 3 и теорема 6 (принцип рыбака) позволяют сформулировать для системы (2.2) следующий результат. Рассмотрим гладкий путь(),(),(), ∈ [0,1) в пространстве параметров системы (2.2).63Теорема 7. Пусть(0) = 0,lim sup () < +∞,→1lim () = +∞,→1lim sup () < +∞(2.20)→1и выполнено неравенство√︀()( ()2 + 4 + ()) > 2(() − 2), ∀ ∈ [0,1].(2.21)Тогда существует 0 ∈ (0,1) такое, что система (2.2) с (0 ),(0 ),(0 ) имеет гомоклиническую траекторию.Доказательство.

Приведем здесь схему доказательства. В качестве Ω рассмотрим множество⃒{︀}︀Ω = (,,) ∈ R3 ⃒ = 0, ≤ 0, 2 + 2 ≤ ,где – достаточно большое число. Условия 1) и 2) теоремы 6 выполнены длялюбых ∈ [0,1).Из леммы 1 и леммы 2 следует, что при = 0 выполнено условие 3) теоре-мы 6, а из леммы 2 и леммы 3 следует, что при = 1 достаточно близких к 1выполнено условие 4) теоремы 6.Система (2.2) имеет решение() = () ≡ 0, () = (0) exp(−).Отсюда следует выполнение условия 5) теоремы 6. (Подробнее об этом эффекте[145, 148–152]).Таким образом, для пути с ∈ [0,1 ] выполнены все условия теоремы 6 и,следовательно, существует 0 , для которого имеет место утверждение теоремы 7.Следствие 1.

Заметим, что если () ∈ (0, 2] и условия(2.20) выполняютсядля любого ∈ [0,1] то существует 0 ∈ (0,1) такое, что система (2.2)с (0 ), (0 ), (0 ) имеет гомоклиническую траекторию. Этот результатбыл получен в работе [153].64Следствие 2. Особый интерес для нашего исследования представляет путь() = √√() = 1 − ,,1−() ≡ ∈ (0, 2 + ),(2.22)0 < ≤ 1.Для этого пути выполнены все условия теоремы 7 и, следовательно, существует 0 ∈ (0,1) такое, что при = 0 система (2.2) имеет гомоклини-ческую траекторию к грубому состоянию равновесия 0 = (0,0,0) седловоготипа.При этом условия (2.22) задают в плоскости параметров (, ) трапециевидную область значений параметров (см.

рис. 2.6).β32+β<2.5δ21.510.5000.20.40.60.811.1δРисунок 2.6: Область параметров в плоскости (, ), для которой существуетгомоклиническая траектория в системе (2.2).Собственные числа и собственные вектора матрицы линейной части (2.2) вточке 0 имеют следующий вид:√s = − = − 1 − ,(︀ √︀)︀ss11 = 2 − 2 + 4 − = − √1−,√︀)︀ √(︀2 + 4 − = 1 − ,u = 21vs = (0, 0, 1),(︀ √)︀vss = − 1 − , 1, 0 ,(︀ 1)︀vu = √1−, 1, 0 ,где vs , vss , vu попарно перпендикулярны и седловая величина√0 = u + s = (1 − ) 1 − (2.23)65будет нулевой при = 1, положительной при ∈ (0,1), и отрицательной, при > 1. Состояние равновесия 0 имеет устойчивое и неустойчивое инвариантныеsusuмногообразия locи locразмерности dim loc= 2 и dim loc= 1, пересекаю-щиеся в 0 .2.3.2 Численный анализ гомоклинических бифуркаций в системелоренцевского типаГомоклинические бифуркации связаны с математическим описанием перехода к хаосу, известного в литературе как хаос по Шильникову.

Численныйанализ и визуализация хаоса по Шильникову является сложной задачей, поскольку требует изучения неустойчивых структур, чувствительных к ошибкамв численных методах.Для анализа сценариев гомоклинических бифуркаций и возможного возникновения хаотического поведения, проведем численное сканирование области параметров (0, 1.1] × (0, 2 + ), представленной на рис. 2.6, и для фиксированных(, ) ∈ (0, 1.1] × (0, 2 + ) определим приближенный интервал [ ,] ⊂ (0,1),такой что для 0 ∈ [ ,] будет существовать гомоклиническая траектория.

Натрапециевидной области выберем сетку точек grid с шагом grid и для каж-дой точки (curr , curr ) ∈ grid выберем разбиение 0 < 0step < 20step < 30step <. . . , ( − 1)0step < 1 интервала (0,1) c некоторым шагом 0step =1.Для системы(2.2) с параметрами curr , curr , (curr ), где (curr ), curr ∈ (0,1) будем модели-ровать сепаратрисы (sepa (), sepa (), sepa ()) седла 0 для системы (2.2) путемих численного интегрирования на заранее выбранном интервале времени ∈[0, trans ], используя реализацию численной процедуры ode45 для решения диф-ференциальных уравнений в пакете вычислений MATLAB.

Для определениявозможных предельных множеств (предельных циклов и аттракторов) будемтакже численно интегрировать траектории lim (), lim (), lim () с начальнымиданными (lim (0), lim (0), lim (0)) = (sepa (trans ), sepa (trans ), sepa (trans )) на выбранном интервале ∈ [0, lim ]. Полученные траектории sepa (), sepa (), sepa ()и lim (), lim (), lim () будем сохранять в виде изображений в двух форма-тах: 1) траектории покрашены одноцветно 2) траектории покрашены согласно шкале цветов (от синего цвета до красного), соответствующей отрезку времени интегрирования (для определения раскручивания/закручивания траекто-66рии, см.

раздел 2.2.2). Отметим, что в следствии наличия симметрии в системе(2.2), при моделировании достаточно интегрировать только одну сепаратрисуΓ+ () = (sepa (), sepa (), sepa ()), а вторую – симметричную – достраивать какΓ− () := (−sepa (), −sepa (), sepa ()). В случае если состояния равновесия ±являются седло-фокусами, мы также моделируем сепаратрису + (для − се-паратриса получается по симметрии) выше описанным способом.При численном интегрировании траекторий в процедуре ode45 будем использовать обработчик событий ODE Event Location. Он будет обрабатыватьследующие события:∙ сепаратриса Γ+ () уходит на бесконечность.

Для значений параметра близких к 0 система не диссипативна по Левинсону и сепаратриса седла0 будет долго раскручиваться ”на бесконечность”. Поэтому процедураинтегрирования будет прерываться, если сепаратриса выйдет из шара сдостаточно большим радиусом inf .∙ сепаратриса Γ+ () притягивается к состоянию равновесия + (или Γ−к − ), в сторону которого она выпущена.

Если при некотором = crсепаратриса притянулась к ближайшему состоянию равновесия, то при > cr никаких бифуркаций больше происходить не будет (см. изменениеобласти устойчивости ± с ростом параметра на рис. 2.7). В этот моментможно остановить сканирование по параметру и перейти к моделированию для следующей пары (, ). Для проверки притяжения к состояниюравновесия отслеживалось событие попадания в его малую окрестностьрадиуса eq .ββ3β2.5δ<2+β3β2.5δ<2+32221.51.51.51110.50.50.5000.10.20.30.4(a)0.50.6 = 0.10.70.80.91δ000.10.20.30.4(b)0.50.62+β<2.50.7 = 0.50.80.91δ000.10.20.30.4(c)0.5δ0.60.70.8 = 0.9Рисунок 2.7: Область устойчивости состояний равновесия ± в плоскости(, ) для различных значений параметра .0.91δ67Если для фиксированных (, ) при сканировании отрезка ∈ (0,1) с вы-бранным шагом 0step найдутся два соседних значения , ∈ (0,1) таких, что по-ведение сепаратрис Γ± () меняется при переходе от параметров (), () к параметрам (), (), то отрезок [ ,] также сканируется с шагом 1step =1 010 step .Такое последовательное уменьшение шага разбиения позволяет найти граничные значения , , которые задают бифуркацию, с некоторой заданной точностью − > threshold .Таблица 2.1: Значения параметров численной процедуры сканированияобласти (, ) ∈ (0, 1.1] × (0, 2 + ).grid0step10−2 10−3threshold trans10−124 · 103liminfeqRelTolAbsTol10310010−110−1510−15ΠglobΣinΠlocvs−vss−vuS0vssvuΣoutРисунок 2.8: Сечения Пуанкаре Σin и Σout в окрестности седла 0 = (0,0,0)системы (2.2).После описанного сканирования области (0, 1.1]×(0, 2+) для каждой точкисетки (, ) ∈ grid численно найдены значения , ∈ (0,1), такие что измене-ние параметра на отрезке [ ,] ⊂ (0,1) задает гомоклиническую бифуркацию.Далее тип гомоклинической бифуркации уточнялся путем численного анализа поведения отображения Пуанкаре на соответствующих сечениях Σin , Σout ,выбранных в окрестности седла 0 (рис.

2.8). Сечение Σin выбирается перпендикулярным вектору vs на расстоянии in от 0 , сечение Σout – перпендикулярновектору vu и расположено на расстоянии out от 0 . На сечении Σin выбирается68uпрямоугольная сетка точек Σingrid со сторонами коллинеарными векторам v иvss . Каждому ряду точек сетки, начиная с ряда, который лежит на пересеченииΣin и плоскости {vs ,vss }, сопоставим цвет согласно шкале цветов (от синего докрасного) и покрасим сетку таким образом (рис. 2.9). Далее численно иссле-дуется эволюция отображения Пуанкаре Π Σingrid , = 1,2, .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6489
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее