Диссертация (1144294), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Андроновактивно занимался применением теории колебаний к задачам автоматическо-го регулирования. Первыми результатами А.А. Андронова в этом направленииявляются строгий нелокальный анализ нелинейной модели регулятора Уатта с21сухим трением и доказательство достаточности условий Вышнеградского дляотсутствия колебаний и глобальной устойчивости рабочего режима (существование отрезка покоя, притягивающего траектории из любых начальных данных) [76, 77].Задачи анализа многомерных систем автоматического регулирования и получения необходимых и достаточных условий глобальной устойчивости, в томчисле гарантирующих отсутствие хаотических колебаний, показали необходимость дальнейшего развития теории колебаний А.А.
Андронова и создания новых аналитических и численных методов анализа устойчивости и колебаний.В 1944 году, одновременно с работами Андронова-Майера [] и ЛурьеПостникова [78], в Трудах ЦАГИ была опубликована статья М.В. Келдыша [49],посвященная исследованию моделей подавления флаттера органов управлениясамолета при помощи гидравлического демпфера с сухим трением. Эти моделиописываются системой Лурье с разрывной нелинейностью. Для приближенного анализа возникновения колебаний и оценки области устойчивости отрезкапокоя М.В.
Келдыш использовал метод гармонического балансаПроблема Калмана [79] о моноустойчивости нелинейной системы управления – одна из актуальных и трудных проблем в теории управления. Она привлекает к себе внимание простотой и ясностью формулировки: пусть дана системав форме Лурье [80]ẋ = x + (), = * x,(1.17)где – постоянная × - матрица, и – постоянные -мерные столбцы, всевеличины вещественные, * - знак транспонирования, – непрерывная, кусочно-дифференцируемая, скалярная функция, (0) = 0, в точках дифференцируемости удовлетворяющая условию1 ≤ ′ () ≤ 2 , ∈ (−∞, +∞),(1.18)где 1 – некоторое число, либо −∞, 2 – некоторое число, либо +∞.В 1957 г.
Р.Е. Калман сформулировал следующую гипотезу [79]: если гло-бально асимптотически устойчива линейная система ẋ = x + * x, ∈[1 , 2 ], то система (1.17) также глобально асимптотически устойчива. На-22помним, что система глобально асимптотически устойчива, если ее нулевое решение устойчиво по Ляпунову и lim→+∞ |x(, x0 )| = 0 для любых x0 ∈ R .Хорошо известно, что эта гипотеза справедлива для случая = 2 и = 3[81]. Первые попытки построить контрпримеры к этой гипотезе были сделаныв работе Фиттса [82], где для случая = 4 проведено компьютерное моделирование системы (1.17) с передаточной функцией () =2(( + )2 + 21 ) (( + )2 + 22 )(1.19)с параметрами 1 = 0.9, 2 = 1.1 и кубической нелинейностью () = 3 .Так, в результате моделирования, Фиттсом были обнаружены периодическиерешения системы (1.17) при значениях параметров = 10 и ∈ (0.01, 0.75).Однако позднее, Н.Е.
Барабанов показал [83], что для части параметров рассмотренных Фиттсом, ∈ (0.572, 0.75), результаты экспериментов неверны. Поэтому в дальнейшем обсуждения гипотезы Калмана и сомнения в контрприме-рах [82] и [83] высказывались в [84–86]. Отметим также, что численное моделирование контрпримера Фиттса с кубической нелинейностью является труднойзадачей. Так при = 0.01 было показано [81], что обнаруженное периодическоерешение имеет очень малую область притяжения.Стандартный вычислительный метод поиска аттракторов в исследуемой динамической системе представляет из себя следующую процедуру: определяютсясостояния равновесия системы и их устойчивость; далее из малой окрестностинеустойчивого состояния равновесия запускается процедура построения траекторий, которые после переходного процесса локализуют аттрактор. Аттрактор,бассейн притяжения которого содержит малые окрестности неустойчивых состояний равновесия, называется самовозбуждающимся.
Однако система, например, может не обладать неустойчивым состянием равновесия или обладатьскрытым аттрактором, чей бассейн притяжения не пересекается с малымиокрестностями состояний равновесия, что делает трудным их локализацию.Одним из эффективных методов построения контрпримеров к гипотезе Калмана является аналитико-численный метод поиска скрытых периодических решений (см. приложение А, опр. 14), основанный на методе гармонической линеаризации и методе продолжения по параметру [81, 87–89].23В настоящей диссертации предложен другой подход к построению контрпримеров к гипотезе Калмана, основанный на идеях Филиппова [63], АйзерманаПятницкого [90] и Гелига-Леонова-Якубовича [91].
Суть этого метода заключается в рассмотрении системы (1.17) c нелинейностью типа () = sign (такназываемой релейной системы) как предельного случая системы (1.17) с нелинейностью типа "насыщение"() = () ≡⎧⎪⎪⎨ −1,1 ,⎪⎪⎩1, ≤ −,− ≤ ≤ ,(1.20)≥при → 0. Если локальный аттрактор системы (1.17) с () = 0 () = sign расположен не на пластинке скользящих режимов, то близкий к нему аттракторимеет система (1.17) с () вида (1.20) при достаточно малых .
Таким образом, представленный подход, описывает обратный сценарий разрывной аппрок-симации (см. опр. 5) решений системы (1.17) c нелинейностью () = sign .Если 1 < 0 и 2 = +∞, то в этом случае для системы (1.17),(1.20) при достаточно малых имеет место скрытый аттрактор и гипотеза Калмана неверна.Периодическая траектория системы (1.17) с () = sign в трех различных областях фазового пространства: Σ+ = {x ∈ R | * x > 0}, Σ− ={x ∈ R | * x < 0} и на пластинке скользящих режимов Σ0 является реше-нием линейных систем. Поэтому эта траектория может быть точно вычисленаи здесь может быть применена развитая школой А.А. Андронова методологияточечных отображений [92] с применением символьных компьютерных вычислений (computer assisted proof).В результате применения такого подхода «частично реабилитирован» Р.Е.Фиттс.
Для системы (1.17) с () = sign и передаточной функцией (1.19) при ∈ (0.01, 0.08) получен локальный аттрактор в виде асимптотически орбиталь-но устойчивой периодической траектории, для которой () ̸≡ 0. При = 0.1здесь имеет место скрытый странный аттрактор, для которого () ̸≡ 0. Аналогичные факты получены для () вида (1.20) при = 0.01.241.3Построение контрпримеров к гипотезе Калмана1.3.1 Поиск самовозбуждающихся колебанийРассмотрим систему (1.17) при = 4, заданную передаточной функцией(1.19) из контрпримера Фиттса с нелинейностью () = sign().
Восстанавливая систему по передаточной функции (1.19), получим˙ 1 = 2 ,˙ 2 = 3 ,˙ 3 = 4 ,(1.21)˙ 4 = −0 1 − 1 2 − 2 3 − 3 4 + sign(−3 ),где 0 = (21 + 2 )(22 + 2 ), 1 = 2(21 + 22 + 2 2 ), 2 = 21 + 22 + 6 2 ,3 = 4 . Здесь⎛0100⎜⎜ 0010=⎜⎜ 0001⎝−0 −1 −2 −3⎞⎟⎟⎟,⎟⎠⎛0⎞⎜ ⎟⎜0⎟⎟=⎜⎜ 0 ⎟,⎝ ⎠1⎛0⎞⎜⎟⎜ 0 ⎟⎟=⎜⎜ −1 ⎟ .⎝⎠0(1.22)В системе (1.21) имеется отрезок покояΛ {︁⃒= (1 ,2 ,3 ,4 ) ∈ R4 ⃒ 2 = 0, 3 = 0, 4 = 0, − 10 ≤ 1 ≤10}︁.(1.23)По аналогии со стандартной процедурой поиска самовозбуждающихся аттракторов в системах с непрерывными правыми частями, во время которойисследуется результат переходного процесса траекторий с начальными данными из окрестности состояния равновесия, в работе было проведено численноеинтегрирование траекторий с начальными данными из окрестности отрезка покоя Λ с помощью вычислительного пакета для интегрирования решений поФилиппову [93].
В результате моделирования было локализовано самовозбуждающееся периодическое колебание для значения параметра = 0.03 (рис. 1.3).25(a) В пространстве(1 ,3 ,4 ).x30.80.60.40.20970975980985-0.299099510001005t-0.4-0.6-0.8(b)3 ().Рисунок 1.3: Численное моделирование самовозбуждающегося (относительноотрезка покоя Λ ) периодического колебание решений системы (1.21) при = 0.03. (a) Отрезок покоя (зеленый) и точка (черная) из его окрестности, изкоторой выпущена траектория, притягивающаяся к симметричномупериодическому решению (синий цвет). (b) Выход системы 3 ().261.3.2 Метод точечных отображений А.А. АндроноваРассмотрим системуẋ ∈ x + (), = * x,(1.24)где – постоянная матрица порядка ×, , – векторные величины порядка .Известно [91], что, если () является скалярной нелинейностью, которая имеетлишь изолированные точки разрыва первого рода и для которой значениямив точках разрыва являются отрезки [(0 − 0),(0 + 0)], то доопределениепо Филиппову, по Айзерману и Пятницкому и по Гелигу-Леонову-Якубовичусовпадают.Отсюда следует, что точное вычисление траектории возможно так как согласно определению по Филиппову и Гелигу-Леонову-Якубовичу на пластинкескользящих режимов траектория подчиняется линейной системе, которая описана ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
