Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1144294), страница 10

Файл №1144294 Диссертация (Аналитико-численное моделирование динамических систем с хаотическим поведением аттракторы и гомоклинические бифуркации) 10 страницаДиссертация (1144294) страница 102019-06-23СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . заданной сетки(︀)︀globточек Σin∘ Πloc : Σin → Σin . В нашем эксперименте отобраgrid , где Π = Πжения Πloc : Σin → Σout и Πglob : Σout → Σin моделируются с помощью чис-ленной процедуры ode45 для решения дифференциальных уравнений в пакетевычислений MATLAB. Как и в предыдущем эксперименте со сканированиемобласти, воспользуемся встроенным в процедуру обработчиком событий ODEEvent Location для того чтобы определять момент попадания на соответствующее сечение.ΣingridΣinv−vuΠloc Σingrids−vssS0vssvuΣoutРисунок 2.9: Прямоугольная сетка точек Σinна сечении Пуанкаре Σin и ееgrid(︀)︀outобраз Πloc Σingrid на сечении Σ .В результате численных экспериментов было обнаружено, что для прямоугольника достаточно малого размера после первого отображения Пуанкаре егообраз попадает внутрь прообраза. Поэтому из прямоугольной сетки точек можно вырезать среднюю часть и в эксперименте рассматривать полурамку.

Размервырезанной средней части выбирается таким образом, чтобы точка пересечениясепаратрисы Γ+ (), выпущенной из седла 0 , с сечением Σin попадала внутрь полурамки. Такой подход позволяет избежать моделирования сепаратрис вблизигомоклинической петли, требующей расчетов на больших временных интерва-69лах, поскольку при уточнении параметра бифуркации сепаратриса становитсяблизкой к гомоклинической траектории.Алгоритм для численного сканирования области (0, 1.1] × (0, 2 + ) и моде-лирования поведения сепаратрис седловых состояний равновесия системы (2.2)реализован в MATALB и представлен в приложении В.2.1.β32+β<2.5δ21.510.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1δРисунок 2.10: Различные типы гомоклинических бифуркаций в системе (2.2).Результаты.

Проведенные численные исследования показали, что на трапеции с выбранной сеткой точек существуют 4 области с различными гомоклиническими бифуркациями (рис. 2.10). В зеленой области, помеченной значками(∘), до бифуркации (т.е. при = ) сепаратрисы Γ± притягивались к противоположным устойчивым состояниям равновесия ∓ , после бифуркации (т.е. при = ) — к ближайшим ± . Этот сценарий соответствует случаю гомоклини-ческой бифуркации в классической системе Лоренца с параметрами = 10, = 8/3, ∈ [13.926557407520431, 13.926557407520436] (см., например, [103]).В оранжевой области, помеченной значками (×), соответствующей ∈[1, 1.1], в процессе бифуркации один большой устойчивый предельный циклтипа ”восьмерка” разделялся на два устойчивых предельных цикла вокругнеустойчивых состояний равновесия ± . Численный анализ поведения сепаратрис для всех ∈ (0, 2 + ) при выбранном в эксперименте шаге разбиения иinанализ динамики сетки точек Σingrid на сечении Пуанкаре Σ при последователь-ном применении отображения Пуанкаре Π : Σin → Σin дает нам возможностьутверждать, что для случая нулевой и отрицательной седловой величины вокрестности гомоклинической бифуркации нет хаотического поведения.70S+S−uS+S−uS0vS0vx(a) s= 0.060131460578x(b) = 0.060131460581Рисунок 2.11: Полуустойчивая гомоклиническая бифуркация = 0.9, = 0.2.(a) s′= 0.7979407438278198(b)s∈ [0.7979407447814941,0.8059291805341841]Рисунок 2.12: Поведение сепаратрисы Γ+ () седла 0 и сепаратрисседло-фокусов ± до гомоклинической бифуркации, = 0.5, = 2.2.Гомоклиническая бифуркация возникает на интервале ∈ [s, = 0.8059291805416346].Также были обнаружены два новых сценария гомоклинических бифуркаций.

В красной области, помеченной значками (∙), до бифуркации два симметричных предельных цикла Θ± вокруг неустойчивых седло-фокусов ± со-существуют, в зависимости от параметров, с устойчивым предельным цикломтипа ”восьмерка” (рис. 2.11) или со странным аттрактором, к которому притягиваются сепаратрисы Γ± .

Затем этот аттрактор (периодический или странный) теряет устойчивость и сепаратрисы Γ± притягиваются к противоположным симметричным предельным циклам Θ∓ . После бифуркации сепаратрисыΓ± притягиваются к ближайшим симметричным предельным циклам Θ± . На-71uuS+S−S0xv(a) = 0.7955...S+S−S0vx(b) s= 0.7957...Рисунок 2.13: Гомоклиническая бифуркация слияния двух аттракторов при = 0.9, = 2.899.пример, для значений параметров = 0.9, = 0.2 динамика сепаратрис Γ±в фазовом пространстве изображена на рис. 2.11 и динамика сетки точек Σingridдо и после бифуркации представлена на рис. 2.15 и рис. 2.16), соответственно. Для значений параметров = 0.5, = 2.2 два симметричных предельныхцикла Θ± вокруг ± сосуществуют со странным аттрактором, который визуализируется сепаратрисами Γ± () (см.

рис. 2.12). Отметим, что здесь можнорассматривать два типа окрестностей точки бифуркации в пространстве параметров: [,] и [′ ,], где [,] ⊂ [′ ,]. В окрестности [,] наблюдается простаябифуркация в рамках которой, как было описано чуть выше, происходит сменапритягивающих предельных циклов Θ± для сепаратрис Γ± () седла 0 . Однако,в тоже время, обнаруженное на интервале [′ ,) хаотическое поведение сепаратрис Γ± (), может быть интерпретировано как гомоклиническая бифуркация,вложенная в странный аттрактор.В синей области, помеченной значками (+), вблизи границы = 2 + , привозникновении неустойчивой гомоклинической траектории, один странный аттрактор разделяется на два (или, если отслеживать изменение параметра от1 до 0, то происходит слияние двух странных аттракторов в один странный аттрактор, см.

рис. 2.13). Например, для значений параметров = 0.9, = 2.899динамика сепаратрис в фазовом пространстве изображена на рис. 2.13 и динамика сетки точек Σingrid до и после бифуркации представлена на рис. 2.17 ирис. 2.18), соответственно. Соответствующий алгоритм для численного модели-72inрования динамики полурамки точек Σingrid на сечении Пуанкаре Σ реализованв MATALB и представлен в приложении В.2.2.растяжениескладкаxxvvРисунок 2.14: Действие отображения Пуанкаре Π : Σin → Σin на точкиinаттрактора Σattrgrid на сечении Пуанкаре Σ для случая бифуркации разделениястранных аттракторов в системе (2.2) с = 0.9, = 2.899.Для численной проверки поведения отображения Пуанкаре Π : Σin →Σin для случая бифуркации разделяющихся аттракторов мы провели следующее дополнительное исследование. Рассмотрим сетку точек Σattrgrid соответствующую пересечению между одним из аттракторов и сечением ПуанкареΣin и покрасим ее согласно шкале цветов (от синего до красного).

Сохраним исходные координаты точек сетки, предполагая что приближенно сетка представляет собой отрезок линии. Затем, вычислим образ сетки точекattrΣattrgrid при отображении Пуанкаре и после этого для каждой точки x0 ∈ Σgridсравним ее координаты с координатами Π(x0 ). В качестве результата этого эксперимента было получено что, при озвученных предположениях и допущениях, отображение Пуанкаре ведет себя примерно также как и известное одномерное отображение ”палатка” с параметром ≈ 2 (рис. 2.14).

Используя специальные методы для вычисления конечно-временных ляпуновских показателей и конечно-временной ляпуновской размерности (см., на-73пример, [154, 155]), мы посчитали численно соответствующие значения старшего конечно-временного ляпуновского показателя LE1 (end x0 ) = 0.0316 >0, и локальной конечно-временной ляпуновской размерности LD(end , x0 ) =2.0131 вдоль траектории на одном из аттракторов с начальными даннымиx0 = (−0.0479075467563750, 8.41428910156156, 13.7220943173008) и на интервале времени [0,end = 1000]. Этот эксперимент дает повод полагать, что обнаруженные в рамках гомоклинической бифуркации симметричные аттракторыявляются странными.Численное моделирование поведения сепаратрис вне области ℬ, (т.е.

дляслучая, когда > 2 + ) показало, что там система (2.2) не диссипативна поЛевинсону и сепаратрисы уходят на бесконечность. Таким образом, численнобыло обнаружено, что гомоклинические бифуркации наблюдаются только в области ℬ, . В будущем мы постараемся доказать это аналитически.Эта диссертационная работа является началом исследования такого типагомоклинической бифуркации.

Дальнейшие исследования в этом направлениивозможно потребуют введение в рассмотрение новых математических понятий,разработку новых численных методов с привлечением больших вычислительных мощностей. Также автор планирует подключить к исследованию разрабатываемые в последнее время новые численные методы интегрирования траекторий (так называемые reliable numerical method, см., например, [156]), а также современные численные подходы для анализа гомоклинических бифуркаций [138, 139, 157, 158].Заключение. Таким образом, в этом разделе проведено первичное численное сканирование области параметров, в которой согласно теореме 7 происходятгомоклинические бифуркации.

В результате этого исследования были численнообнаружены и описаны новые сценарии гомоклинической бифуркации.Результаты этой работы подчеркивают важность следующего факта: дляанализа гомоклинических бифуркаций не достаточно исследовать локальноеповедение траекторий в окрестности седлового состояния равновесия. В окрестности гомоклинической траектории на эффекты сжатия и растяжения можетсильно влиять глобальное поведение системы вне седлового состояния равновесия.74(a)Рисунок 2.15:применении=0(b)(c) = 25(d)(e) = 75(f )=1 = 50 = 100inΣingrid на сечении Σ при последовательномотображения Пуанкаре Π : Σin → Σin , = 1, .

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее