Диссертация (1144294), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. . заданной сетки(︀)︀globточек Σin∘ Πloc : Σin → Σin . В нашем эксперименте отобраgrid , где Π = Πжения Πloc : Σin → Σout и Πglob : Σout → Σin моделируются с помощью чис-ленной процедуры ode45 для решения дифференциальных уравнений в пакетевычислений MATLAB. Как и в предыдущем эксперименте со сканированиемобласти, воспользуемся встроенным в процедуру обработчиком событий ODEEvent Location для того чтобы определять момент попадания на соответствующее сечение.ΣingridΣinv−vuΠloc Σingrids−vssS0vssvuΣoutРисунок 2.9: Прямоугольная сетка точек Σinна сечении Пуанкаре Σin и ееgrid(︀)︀outобраз Πloc Σingrid на сечении Σ .В результате численных экспериментов было обнаружено, что для прямоугольника достаточно малого размера после первого отображения Пуанкаре егообраз попадает внутрь прообраза. Поэтому из прямоугольной сетки точек можно вырезать среднюю часть и в эксперименте рассматривать полурамку.
Размервырезанной средней части выбирается таким образом, чтобы точка пересечениясепаратрисы Γ+ (), выпущенной из седла 0 , с сечением Σin попадала внутрь полурамки. Такой подход позволяет избежать моделирования сепаратрис вблизигомоклинической петли, требующей расчетов на больших временных интерва-69лах, поскольку при уточнении параметра бифуркации сепаратриса становитсяблизкой к гомоклинической траектории.Алгоритм для численного сканирования области (0, 1.1] × (0, 2 + ) и моде-лирования поведения сепаратрис седловых состояний равновесия системы (2.2)реализован в MATALB и представлен в приложении В.2.1.β32+β<2.5δ21.510.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1δРисунок 2.10: Различные типы гомоклинических бифуркаций в системе (2.2).Результаты.
Проведенные численные исследования показали, что на трапеции с выбранной сеткой точек существуют 4 области с различными гомоклиническими бифуркациями (рис. 2.10). В зеленой области, помеченной значками(∘), до бифуркации (т.е. при = ) сепаратрисы Γ± притягивались к противоположным устойчивым состояниям равновесия ∓ , после бифуркации (т.е. при = ) — к ближайшим ± . Этот сценарий соответствует случаю гомоклини-ческой бифуркации в классической системе Лоренца с параметрами = 10, = 8/3, ∈ [13.926557407520431, 13.926557407520436] (см., например, [103]).В оранжевой области, помеченной значками (×), соответствующей ∈[1, 1.1], в процессе бифуркации один большой устойчивый предельный циклтипа ”восьмерка” разделялся на два устойчивых предельных цикла вокругнеустойчивых состояний равновесия ± . Численный анализ поведения сепаратрис для всех ∈ (0, 2 + ) при выбранном в эксперименте шаге разбиения иinанализ динамики сетки точек Σingrid на сечении Пуанкаре Σ при последователь-ном применении отображения Пуанкаре Π : Σin → Σin дает нам возможностьутверждать, что для случая нулевой и отрицательной седловой величины вокрестности гомоклинической бифуркации нет хаотического поведения.70S+S−uS+S−uS0vS0vx(a) s= 0.060131460578x(b) = 0.060131460581Рисунок 2.11: Полуустойчивая гомоклиническая бифуркация = 0.9, = 0.2.(a) s′= 0.7979407438278198(b)s∈ [0.7979407447814941,0.8059291805341841]Рисунок 2.12: Поведение сепаратрисы Γ+ () седла 0 и сепаратрисседло-фокусов ± до гомоклинической бифуркации, = 0.5, = 2.2.Гомоклиническая бифуркация возникает на интервале ∈ [s, = 0.8059291805416346].Также были обнаружены два новых сценария гомоклинических бифуркаций.
В красной области, помеченной значками (∙), до бифуркации два симметричных предельных цикла Θ± вокруг неустойчивых седло-фокусов ± со-существуют, в зависимости от параметров, с устойчивым предельным цикломтипа ”восьмерка” (рис. 2.11) или со странным аттрактором, к которому притягиваются сепаратрисы Γ± .
Затем этот аттрактор (периодический или странный) теряет устойчивость и сепаратрисы Γ± притягиваются к противоположным симметричным предельным циклам Θ∓ . После бифуркации сепаратрисыΓ± притягиваются к ближайшим симметричным предельным циклам Θ± . На-71uuS+S−S0xv(a) = 0.7955...S+S−S0vx(b) s= 0.7957...Рисунок 2.13: Гомоклиническая бифуркация слияния двух аттракторов при = 0.9, = 2.899.пример, для значений параметров = 0.9, = 0.2 динамика сепаратрис Γ±в фазовом пространстве изображена на рис. 2.11 и динамика сетки точек Σingridдо и после бифуркации представлена на рис. 2.15 и рис. 2.16), соответственно. Для значений параметров = 0.5, = 2.2 два симметричных предельныхцикла Θ± вокруг ± сосуществуют со странным аттрактором, который визуализируется сепаратрисами Γ± () (см.
рис. 2.12). Отметим, что здесь можнорассматривать два типа окрестностей точки бифуркации в пространстве параметров: [,] и [′ ,], где [,] ⊂ [′ ,]. В окрестности [,] наблюдается простаябифуркация в рамках которой, как было описано чуть выше, происходит сменапритягивающих предельных циклов Θ± для сепаратрис Γ± () седла 0 . Однако,в тоже время, обнаруженное на интервале [′ ,) хаотическое поведение сепаратрис Γ± (), может быть интерпретировано как гомоклиническая бифуркация,вложенная в странный аттрактор.В синей области, помеченной значками (+), вблизи границы = 2 + , привозникновении неустойчивой гомоклинической траектории, один странный аттрактор разделяется на два (или, если отслеживать изменение параметра от1 до 0, то происходит слияние двух странных аттракторов в один странный аттрактор, см.
рис. 2.13). Например, для значений параметров = 0.9, = 2.899динамика сепаратрис в фазовом пространстве изображена на рис. 2.13 и динамика сетки точек Σingrid до и после бифуркации представлена на рис. 2.17 ирис. 2.18), соответственно. Соответствующий алгоритм для численного модели-72inрования динамики полурамки точек Σingrid на сечении Пуанкаре Σ реализованв MATALB и представлен в приложении В.2.2.растяжениескладкаxxvvРисунок 2.14: Действие отображения Пуанкаре Π : Σin → Σin на точкиinаттрактора Σattrgrid на сечении Пуанкаре Σ для случая бифуркации разделениястранных аттракторов в системе (2.2) с = 0.9, = 2.899.Для численной проверки поведения отображения Пуанкаре Π : Σin →Σin для случая бифуркации разделяющихся аттракторов мы провели следующее дополнительное исследование. Рассмотрим сетку точек Σattrgrid соответствующую пересечению между одним из аттракторов и сечением ПуанкареΣin и покрасим ее согласно шкале цветов (от синего до красного).
Сохраним исходные координаты точек сетки, предполагая что приближенно сетка представляет собой отрезок линии. Затем, вычислим образ сетки точекattrΣattrgrid при отображении Пуанкаре и после этого для каждой точки x0 ∈ Σgridсравним ее координаты с координатами Π(x0 ). В качестве результата этого эксперимента было получено что, при озвученных предположениях и допущениях, отображение Пуанкаре ведет себя примерно также как и известное одномерное отображение ”палатка” с параметром ≈ 2 (рис. 2.14).
Используя специальные методы для вычисления конечно-временных ляпуновских показателей и конечно-временной ляпуновской размерности (см., на-73пример, [154, 155]), мы посчитали численно соответствующие значения старшего конечно-временного ляпуновского показателя LE1 (end x0 ) = 0.0316 >0, и локальной конечно-временной ляпуновской размерности LD(end , x0 ) =2.0131 вдоль траектории на одном из аттракторов с начальными даннымиx0 = (−0.0479075467563750, 8.41428910156156, 13.7220943173008) и на интервале времени [0,end = 1000]. Этот эксперимент дает повод полагать, что обнаруженные в рамках гомоклинической бифуркации симметричные аттракторыявляются странными.Численное моделирование поведения сепаратрис вне области ℬ, (т.е.
дляслучая, когда > 2 + ) показало, что там система (2.2) не диссипативна поЛевинсону и сепаратрисы уходят на бесконечность. Таким образом, численнобыло обнаружено, что гомоклинические бифуркации наблюдаются только в области ℬ, . В будущем мы постараемся доказать это аналитически.Эта диссертационная работа является началом исследования такого типагомоклинической бифуркации.
Дальнейшие исследования в этом направлениивозможно потребуют введение в рассмотрение новых математических понятий,разработку новых численных методов с привлечением больших вычислительных мощностей. Также автор планирует подключить к исследованию разрабатываемые в последнее время новые численные методы интегрирования траекторий (так называемые reliable numerical method, см., например, [156]), а также современные численные подходы для анализа гомоклинических бифуркаций [138, 139, 157, 158].Заключение. Таким образом, в этом разделе проведено первичное численное сканирование области параметров, в которой согласно теореме 7 происходятгомоклинические бифуркации.
В результате этого исследования были численнообнаружены и описаны новые сценарии гомоклинической бифуркации.Результаты этой работы подчеркивают важность следующего факта: дляанализа гомоклинических бифуркаций не достаточно исследовать локальноеповедение траекторий в окрестности седлового состояния равновесия. В окрестности гомоклинической траектории на эффекты сжатия и растяжения можетсильно влиять глобальное поведение системы вне седлового состояния равновесия.74(a)Рисунок 2.15:применении=0(b)(c) = 25(d)(e) = 75(f )=1 = 50 = 100inΣingrid на сечении Σ при последовательномотображения Пуанкаре Π : Σin → Σin , = 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
