Диссертация (1144294), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Напомним, что координаты начальной−−точки −01 , 02 , 04 задают коэффициенты 1 ,2 , 3 , 4 . При этом предполагаswswется, что −04 > 0, + > 0, − > 0.Σ+x3swx+ (t, x+0 ), t ∈ [0, T+ ]x+0x−0x4Σ−swx− (t, x−0 ), t ∈ [0, T− ]Рисунок 1.5: Схема метода точечных отображений для локализациипериодической траектории системы (1.21) при = 0.03.Решение системы уравнений (1.33) можно найти с заданной точностью в пакете MATLAB, используя функцию vpasolve() и данные таблиц 1.1, 1.2 дляначального приближения решения (initial guess). Для параметров 1 = 0.9,2 = 1.1, = 0.03 искомые значения с 32-значной точностью представлены в−−таблице 1.3. Используя координаты найденной начальной точки (−01 , 02 , 0, 04 ),можно локализовать орбитально асимптотически устойчивое периодическое решение (рис. 1.6).Таблица 1.3: Координаты точки на периодическом решении системы (1.21)при = 0.03 и продолжительность соответствующих режимов I и II.−01−02−04−0.62520516260693109534342362490723−3.73240970726506104658252785625943.4754169728697120793989274111636+sw6.0861163299591904401929427933543−sw3.2558143241394617470571435917368Описанные алгоритмы реализованы в виде программ и представлены в приложении Б.1.34Рисунок 1.6: Два сосуществующих периодических решения системы (1.21) при = 0.03.
К самовозбуждающемуся (синий цвет) симметричномупериодическому решению притягиваются траектории с начальными даннымииз окрестности отрезка покоя. Второе периодическое решение (оранжевыйцвет), скрытое относительно отрезка покоя, построено методом точечныхотображений.1.3.3 Анализ возможного существования скрытых колебаний.
Метод продолжения по параметруДля численного обнаружения непериодического, странного аттрактора в системе (1.21) воспользуемся методом продолжения по параметру, часто применяемым для локализации скрытых аттракторов [81, 87–89]. В рамках этого метода рассматривается последовательность систем, каждая из которых соответствует изменяемому на отрезке специально выбранному параметру. При этом,предполагается, что для первой (начальной) системы начальные данные длячисленной локализации периодических (или хаотических) решений можно получить аналитически. Так, в качестве начальной системы можно рассматривать систему с начальным самовозбуждающимся аттрактором.
Затем численноможно проследить преобразование начального решения при переходе от одной системы к другой. При этом, в качестве начальных данных для решения35следующей системы используется конечная точка решения предыдущей системы. Последняя система соответствует системе, для которой ищется скрытыйаттрактор. Если в результате такого перехода по параметру не происходит бифуркации потери устойчивости, то удается обнаружить скрытый аттрактор.В рамках описанного метода рассмотрим отрезок ∈ [0.03, 0.1] и выберемна нем разбиение с шагом 0.0175. Для фиксированных 1 = 0.9, 2 = 1.1 идля каждого = = 0.03+0.0175 , = 0, . .
. ,4 проинтегрируем решение x ()системы (1.21) на интервале времени [0, ], = 2000. Используем в качественачальных данных для системы с = +1 конечную точка решения системы с = , т.е. x+1 (0) := x ( ). Здесь интегрировать решение можно как с помощью описанной выше процедуры сшивания заданных аналитически траекторийв момент переключения, так и в специальном вычислительном пакете [93] длямоделирования решений по Филиппову. Воспользовавшись вторым вариантоми проведя процедуру продолжения по параметру (рис. 1.7), в диссертации быллокализован странный не периодический аттрактор (рис.
1.8,1.9), сосуществующий с периодическим решением (рис. 1.10). Соответствующее моделированиепредставлено в приложении Б.2.Этот странный аттрактор (равно как и периодическая траектория при = 0.03) сохраняется при обратном сценарии разрывной аппроксимации поАйзерману-Пятницкому (см. раздел 1.1.2), т.е. при переходе в системе (1.21) отнелинейности () = 0 () = sign к нелинейности () = () вида (1.20)при малых (для = 0.005 см. рис. 1.11).Код для соответствующего моделирования представлен в приложении Б.3.Далее, воспользовавшись методом продолжения по параметру, рассмотримнелинейность () = () ≡ () + (tanh(/ ) − ()) при возрастающем от 0 до 1 с шагом 0.1 и организуем переход от кусочно-дифференцируемойнелинейности (1.20), соответствующей () = 0 () = () к гладкой нелинейности () = 1 () = tanh(/ ) (см.
приложение Б.3). При этом переходелокальный странный аттрактор, полученный на предыдущих шагах, сохраняется (рис. 1.12–1.13).36 = 0.03(b) = 0.0475 = 0.0650(d) = 0.0825(a)(c)(e) = 0.1Рисунок 1.7: Процедура продолжения по параметру и локализация странногоаттрактора в системе (1.21) при = 0.1 в пространстве (1 ,2 ,3 ).Таким образом, в системе (1.17), с () = tanh(/ ) при достаточно малых имеет место скрытый аттрактор и для 1 < 0 и 2 = +∞ гипотеза Калмананеверна.3720.81.50.610.4x30.50.2x10-0.2-0.51-0.40.5-0.60-0.8-2-1.5-1-0.5-0.50x10.511.52x2-1Рисунок 1.8: Проекция странногоаттрактора системы (1.21) при = 0.1 в пространстве (1 ,2 ,3 ).1.40-1-1-1.50-2-0.8-0.6-0.4-0.20x30.20.40.60.8x41Рисунок 1.9: Проекция странногоаттрактора системы (1.21) при = 0.1 в пространстве (1 ,3 ,4 ).Двумерная модель КелдышаИнтересная связь рассмотренной выше системы возникает с системой в модели подавления флаттера, предложенной Мстиславом Всеволодовичем Келдышем в работе [49], где исследовалась модель подавления флаттера при помощигидравлического демпфера с сухим трением.Рассмотрим модель Келдыша подавления флаттера в системе с двумя степенями свободы11 ¨ + 12 ¨ + 11 ˙ + 12 ˙ + 11 + 11 = 0,21 ¨ + 22 ¨ + 21 ˙ + 22 ˙ + 21 + 22 = − ()˙ = −˙ − (Φ + ˙ 2 )sign().˙(1.34)Аналогично исследованию системы с одной степенью свободы, доопределивсистему на разрыве (˙ = 0), можно перейти к исследованию дифференциального включения с передаточной функцией () = * ( − )−1 ==(11 2 +11 +11 )22(22 ++22 )(11 +11 +11 )−(21 2 +21 +21 )(12 2 +12 +12 )=()()(1.35)Рассмотренная в прошлой главе передаточная функция системы Фиттса является частным случаем передаточной функции .38Рисунок 1.10: Периодическое решение и странный хаотический аттракторсистемы (1.21) при = 0.1 в пространстве (1 ,2 ,3 ).Методом продолжения по параметру проведено изучение передаточнойфункции в форме , а именно () =( + )(( + )2 + 21 ) (( + )2 + 22 )(1.36)Для значений параметра = 0 = 0.0 получается передаточная функциясистемы Фиттса0 () = ()(1.37)В результате были локализованы самовозбуждающееся и скрытое (по отношению к отрезку покоя) периодические решения при значении параметров = 0.01, = 0.03 (см.
рис. 1.14).39Рисунок 1.11: Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (1.21)при = 0.1 и () = (), = 0.005.40(a) В пространстве(b)(1 ,3 ,4 ).() = −3 ().Рисунок 1.12: Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (1.21)при = 0.1 и () = () ≡ () + (tanh(/ ) − ()), = 0.01, = 0.5.41(a) В пространстве(b)(1 ,3 ,4 ).() = −3 ().Рисунок 1.13: Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (1.21)при = 0.1 и () = () ≡ () + (tanh(/ ) − ()), = 0.01, = 1.42Рисунок 1.14: Два периодических решения в системе Келдыша второгопорядка.43Глава 2Численное моделирование системы лоренцевскоготипа:асимптотическоеповеде-ние решений, хаос и гомоклинические бифуркацииОсновные результаты этой главы изложены в публикациях [9,13,14].
Также,аналитическая часть материала вошла в готовящуюся к публикации обзорнуюстатью [95] (см. в списке литературы ссылку №25 на работу [9] и ссылку №35на работу [14]).2.1Система лоренцевского типаПосле открытия в 1963 г. Э. Лоренцем [6] странного аттрактора возниклоновое научное направление анализа хаотических процессов в конечномерныхдинамических системах [96–101].
Эти исследования можно разделить на двечасти. Первая — разработка аналитических методов исследования [102–107] ивторая — создание численных методов и проведение компьютерных экспериментов [108–113].В течение нескольких десятилетий были попытки синтеза аналитическихподходов и компьютерных экспериментов для понимания природы аттракторовлоренцевского типа. Для нас важно заметить, что в некоторых работах [114,115]высказывались предположения о том, что хаотический аттрактор системы Лоренца — это результат компьютерного эксперимента, т.е.
он порожден ошибка-44ми, возникающими при применении численных методов и ошибками округления(round-off errors). В дальнейшем были предприняты попытки компьютерногодоказательства (computer assisted proof) существования хаотического аттрактора в системе Лоренца [3, 116, 117].В настоящей статье нам удалось получить аналитический критерий глобальной устойчивости и неустойчивости стационарных множеств в системахлоренцевского типа. В пространстве параметров эти области устойчивости инеустойчивости имеют общую границу. В окрестности этой границы нами проведены компьютерные эксперименты, которые иллюстрируют наличие в фазовом пространстве нетривиальных притягивающих множеств. Мы называемобъекты, получающиеся в фазовом пространстве (циклы и инвариантные множества лоренцевского типа), структурами компьютерных ошибок (computererror structures).
Эти структуры появляются при тех значениях параметров,при которых наш аналитический критерий заведомо дает стремление почтивсех траекторий к бесконечности.2.2Асимптотическое поведение решений и структурыкомпьютерных ошибок2.2.1 Аналитический критерий неустойчивостиРассмотрим одну из систем лоренцевского типа [118, 119]˙ = ( − ),˙ = − − ,(2.1)˙ = − + ,где , – положительные числа, – некоторое число и > . В частных случаях,для системы Лоренца = 1 [6], для системы Чена = − − [120], для системыЛу = 0 [121] и для системы Тигана-Янга = 0 [122,123].
Хорошо известно, чтодля системы Лоренца оператор сдвига по траекториям сжимает объемы (таккак + + 1 > 0). Также хорошо известно, что система Лоренца диссипативнапо Левинсону: существует число = (,,) такое, что для любого решения45системы (2.1) выполнено неравенствоlim sup(()2 + ()2 + ()2 ) ≤ .→+∞Сохраняется ли это свойство для системы (2.1) при выполнении неравенства + + > 0? Актуальность этого вопроса следует из того факта, что широко известные системы Лу и Чена [124–127] имеют вид (2.1) с < 0 (связьмежду свойством диссипативности и существованием глобального аттракторав системе обсуждается в приложении А).Здесь получен отрицательный ответ на этот вопрос.
Более того, доказанная здесь теорема дает точную границу областей глобальной устойчивости иглобальной неустойчивости в пространстве параметров: { = 2 = −2}. Вокрестности этой границы получены структуры компьютерных ошибок.Теорема 5. Если 2 > , + < 0, то почти любое решение системы(2.1)стремится к бесконечности при → +∞. Если 2 < , + > 0, то любоерешение системы (2.1) стремится при → +∞ к некоторому состояниюравновесия.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
