Автореферат (1144293)
Текст из файла
На правах рукописиМокаев Руслан НазировичАНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХСИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМПОВЕДЕНИЕМ: АТТРАКТОРЫ ИГОМОКЛИНИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ05.13.18 — математическое моделирование, численные методыи комплексы программАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2018Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет»Научный руководитель:Доктор физико-математических наук, профессор,Кузнецов Николай ВладимировичОфициальные оппоненты:Буркин Игорь Михайлович,доктор физико-математических наук, профессор,профессор кафедры вычислительной механики иматематики ФГБОУ ВО «Тульский государственныйуниверситет»Шумафов Магомет Мишаустович,доктор физико-математических наук, доцент,заведующий кафедрой математического анализа иметодики преподавания математики ФГБОУ ВО«Адыгейский государственный университет»Федеральное государственное бюджетное учреждениеВедущая организация:науки Институт проблем машиноведения Российскойакадемии наукЗащита состоится 19 декабря 2018 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.229.13 на базе федерального государственного автономного образовательногоучреждения высшего образования «Санкт-Петербургский политехнический университетПетра Великого» по адресу: 195251, г.
Санкт-Петербург, ул. Политехническая д. 29, корп.1, ауд. 41.С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГАОУ ВО «СанктПетербургский политехнический университет Петра Великого» по адресу: 195251, СанктПетербург, ул. Политехническая, 29 и на сайте http://www.spbstu.ru/ .Автореферат разослан ""2018 года.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.229.13доктор технических наук,профессорБ.
С. ГригорьевОбщая характеристика работыНачиная с 40-х годов прошлого века стали разрабатываться критерии отсутствия колебаний в системах автоматическогорегулирования. В 1944 году была опубликована знаменитая работа А.И. Лурье и В.Н. Постникова1 , в которой был предложен эффективный подход дляполучения достаточных условий отсутствия колебаний и глобальной устойчивости для математической модели системы регулирования с одной скалярной нелинейностью (такую систему в литературе часто называют системойЛурье).
Далее для системы Лурье с единственным состоянием равновесияи нелинейностью из заданного линейного сектора возник вопрос совпаденияусловия глобальной устойчивости нелинейной системы с условием устойчивости линейного приближения. В рамках исследования этого вопроса Рудольфом Калманом в 1957 году была сформулирована известная гипотеза2 о моноустойчивости такой системы управления. В общем случае эта гипотеза оказалась неверна.
В работах Р.Э. Фиттса, Н.Е. Барабанова, Х. Берната, Ж. Либре, Н.В. Кузнецова и Г.А. Леонова исследовались контрпримеры к гипотезеКалмана, в которых устойчивые периодические решения сосуществовали сединственным состоянием равновесия. Трудность численного поиска такихскрытых колебаний связана с тем, что их область притяжения может бытьмала и не связана с состоянием равновесия. В настоящей работе, на основеразвития теории разрывных систем и применения метода точечных отображений Андронова, построен контрпример к гипотезе Калмана с хаотическойдинамикой.Одним из актуальных направлений исследования является разработкаэффективных аналитико-численных методов, использующих вычислительные мощности современных ЭВМ и продуктивные аналитические подходы.Значительными результатами, полученными на основе таких подходов, являются компьютерное доказательство (computer-assisted proof) существованияхаотического аттрактора в классической системе Лоренца3 , и обнаружениескрытых аттракторов в системах лоренцевского типа4 .
Одним из центральных направлений современных исследований сценариев перехода к хаотической динамике в многомерных системах является исследование гомоклиниАктуальность темы12А.И. Лурье, В.Н. Постников. К теории устойчивости регулируемых систем.ПММ, 1944. № 8(3). С.246-248.R.E. Kalman. Physical and Mathematical mechanisms of instability in nonlinear automatic control systems.3Trans. Am. Soc. Mech Eng., 1957.
№ 79(3). P.553–566.W. Tucker. The Lorenz attractor exists. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 1999. № 328(12). P. 1197-1202.D. Dudkowski, S. Jafari, T. Kapitaniak, N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov, A. Prasad. Hidden attractors in4dynamical systems. Phys. Rep., 2016. № 637. P. 1-50.3ческих бифуркаций в работах нижегородской школы Л.П. Шильникова5 . Запоследнее время в этом направлении представителями этой школы полученряд новых результатов для систем лоренцевского типа.
В настоящей работеизучается обобщенная система Лоренца, которая включает в себя математические модели, описывающие процесс конвекции жидкости6 , динамику волнв лазерах7 и другие физические процессы8 . Для этой системы проведеныаналитико-численные исследования, связанные с развитием аналитическихкритериев рождения гомоклинической бифуркации и с численной проверкойвозможности возникновения хаоса.Цели работы1. Разработка эффективного алгоритма для аналитико-численного построения контрпримеров к проблеме Калмана с хаотической динамикой. Анализ физических экспериментов Фиттса.2.
Построение аналитических критериев неустойчивости в системах лоренцевского типа со сжатием объемов. Разработка эффективного алгоритмадля численного определения границ областей неустойчивости.3. Получение аналитических критериев существования гомоклиническихтраекторий в системах лоренцевского типа и разработка эффективныхчисленных алгоритмов для анализа гомоклинической бифуркации и соответствующих сценариев возникновения хаоса.4. Реализация разработанных алгоритмов в виде комплекса программ впакете вычислений MATLAB.Методы исследования1.
Для построения контрпримеров к проблеме Калмана применен метод точечных отображений и символьные вычисления для локализации периодических решений, а также подход, основанный на обратном сценарииразрывной аппроксимации, для перехода к системе с гладкой нелинейностью.2. Аналитический метод построения области глобальной устойчивости иглобальной неустойчивости в системах лоренцевского типа.3. Аналитический метод доказательства существования гомоклиническихбифуркаций в системах лоренцевского типа.5678V.S.
Afraimovich, S.V. Gonchenko, L.M. Lerman, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev. Scientific heritage of L.P.Shilnikov. Regul. Chaotic Dyn., 2014. № 19(4). P. 435-460.E.N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 1963. № 20(2), P. 130-141.А.Н. Ораевский. Мазеры, лазеры и странные аттракторы. Квантовая электроника, 1981.№ 8(1). С.130-142.S.H.
Strogatz. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, andEngineering. Perseus Books, 1994.4Основные положения, выносимые на защиту1. Алгоритм синтеза моделей со скрытыми колебаниями для класса моделей управления в форме Лурье. Алгоритм для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанный на обратном сценарии разрывнойаппроксимации Айзермана-Пятницкого. Контрпример с гладкой нелинейностью к проблеме Калмана на основе системы Фиттса, демонстрирующий скрытый хаотический аттрактор.2. Аналитический критерий неустойчивости для класса моделей лоренцевского типа со сжатием объемов. Алгоритм для численного определенияграниц областей неустойчивости.3. Алгоритм синтеза моделей с гомоклинической траекторией для классамоделей лоренцевского типа.
Аналитический критерий существованиягомоклинических траекторий и алгоритм для численного исследованиягомоклинических бифуркаций для класса моделей лоренцевского типа.Численное обнаружение гомоклинической бифуркации слияния странных аттракторов.Научная новизна: пункты 1-3, перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.Теоретическая и практическая значимостьВ диссертации для обобщенной системы Лоренца в пространстве параметров аналитически построена граница областей глобальной устойчивостии неустойчивости решений для дальнейшего исследования турбулентности.Разработан аналитико-численный метод, основанный на методе разрывной аппроксимации, для локализации и определения параметров скрытых колебаний в нелинейных системах, который применим для различныхсистем управления, используемых, например, в летательных аппаратах и буровых установках.Достоверность изложенных в работе теоретических результатовобеспечивается их строгим математическим доказательством.Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на международных научных конференциях: 2nd International ScientificConference ”Autumn Mathematical Readings in Adyghea” (Russia, Maykop 2017), International Scientific Conference on Mechanics ”The Eight Polyakhov’sReading” (Russia, Saint Petersburg - 2018).Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета СанктПетербургского государственного университета и кафедры математических информационных технологий университета Ювяскюля (University ofJyväskylä), Финляндия.5По результатам работы над гипотезой Калмана было получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [7].Работа поддержана грантом Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки Ведущих научных школРоссийской Федерации на 2018-2019 годы (НШ-2858.2018.1).Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложеныв 6 публикациях [1–6], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованныхВысшей аттестационной комиссией [1–3].В работах [1, 5] диссертанту принадлежит вывод критерия неустойчивости в системах лоренцевского типа и численное определение границ областей неустойчивости, соавторам — постановка задачи и экспериментов.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
