Автореферат (1144293), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Cлева от границы для рассмотренных в эксперименте начальныхточек все траектории уходят на бесконечность. При фиксированном значениипараметров = 36 и = − − = − граница имеет вид представленный нарис. 4.19202122G. Chen, T. Ueta. Yet another chaotic attractor. Int. J. Bif. Chaos, 1999. № 9. P. 1465–1466.J. Lu, G. Chen.
A new chaotic attractor coined. Int. J. Bif. Chaos, 2002. № 12. P. 1789–1812.G. Tigan. On a three-dimensional differential system. Matematicki Bilten, 2006, № 30. P. 9-16.Q. Yang, G. Chen. A chaotic system with one saddle and two stable node-foci. Int. J. Bif. Chaos, 2008. № 18.P. 1393–1414.11В малой окрестности границы 2 = , + = 0 выявлены трудности численного моделирования системы (7), связанные с продолжительными по времени переходными процессами, не позволяющими на сравнительнонебольшом интервале времени качественно описать поведение системы. Такиеэффекты могут приводить к неверной интерпретации результатов моделирования.Второй раздел второй главы посвящен исследованию гомоклинических бифуркаций в системах лоренцевского типа.Определение 1.Траектория x() автономной системы дифференциальныхуравненийẋ = (x,), ∈ R, x ∈ R , ∈ R .(9)называется гомоклинической, еслиlim x() = lim x() = x0 .→+∞→−∞ε=σ+dВ диссертации для доказательства существования гомоклиническихтраекторий в системе (9) используется аналитический метод – принцип рыбака, предложенный Г.
А. Леоновым. Пусть (), ∈ [0,1] это гладкий путьв пространстве параметров {} = R . Рассмотрим систему (9) с = (),и введем следующие обозначения. Пусть x(,)+ – сепаратриса, выходящаяbРис. 4: Граница, разделяющая области с различным поведением траекторий системы (7),аппроксимируется уравнением = + =121, ≈ 4.из седла x0 (т.е. lim x(,)+ = x0 ) с одномерным неустойчивым многообра→−∞зием, xΩ ()+ – точка первого пересечения сепаратрисы x(,)+ с замкнутыммножеством Ω:x(,)+ ̸∈ Ω, ∈ (−∞, ),x(,)+ = xΩ ()+ ∈ Ω.Если такого пересечения нет, мы предполагаем, что xΩ ()+ = ∅.(Принцип рыбака23 ).
Предположим, что для пути () существует ограниченное многообразие Ω размерности (−1) с кусочно-гладкимкраем Ω и обладающее следующими свойствами:1) для любого x ∈ Ω ∖ Ω и ∈ [0,1], вектор (x,()) трансверсален кмногообразию Ω ∖ Ω;2) для любого ∈ [0,1], (x0 ,()) = 0, и точка x0 ∈ Ω – седловая точкасистемы (9);3) для = 0 имеет место включение xΩ (0)+ ∈ Ω ∖ Ω;4) для = 1 выполнено соотношение xΩ (1)+ = ∅;5) для любого ∈ [0,1] и y ∈ Ω ∖ x0 существует окрестность (y, ) =⃒{x ∈ R ⃒ |x − y| < }, такая что xΩ ()+ ̸∈ (y,).Если условия 1)–5) выполнены, то существует число 0 ∈ [0,1], такое чтоx(,0 )+ – гомоклиническая траектория седла x0 .Теорема 2С помощью замены координат можно привести систему (7) к виду˙ = ,˙ = − − + − 3 ,(10)˙ = − − ,где = √(+) , = √(−),(−)=2− .Состояния равновесия системы (10) имеют следующий вид0 = (0, 0, 0),± = (±1, 0, 0).(11)В диссертации для системы (10) сформулирован и доказан следующийрезультат, опирающийся на теорему 2.Рассмотрим гладкий путь (), (), (), ∈ [0, 1) в пространстве параметров системы (10).
ПустьТеорема 3.(0) = 0,23lim () = +∞,→1Г.А. Леонов. Задача Трикоми о существовании гомоклинических траекторий в диссипативных системах.ПММ, 2013. № 77(3). С. 410-421.13lim sup () < +∞,lim sup () < +∞→1→1и выполнены следующие условия(︀√︁)︀() ()2 + 4 + () > 2(() + 2), ∀ ∈ [0,1].Тогда существует 0 ∈ (0,1), такое что система (10) с (0 ), (0 ), (0 )обладает гомоклинической траекторией.Особый интерес представляет следующий путь:() =√ ,1−() = √1 − , ∈ [0, 1),() ≡ ∈ (0, 2 + ), ∈ (0, 1].(12)Этот путь удовлетворяет всем условиям теоремы 3, поэтому существует число0 ∈ (0, 1), такое что система (10) с параметрами (12) и = 0 имеет гомоклиническую траекторию. В этом случае, седловая величина будет нулевойпри = 1, положительной при < 1, и отрицательной при > 1.β3β2.5δ+2<21.510.5000.10.20.30.40.50.60.70.80.911.1δРис. 5: Различные типы гомоклинических бифуркаций в системе (10).Для анализа сценария гомоклинической бифуркации и возможностивозникновения хаотического поведения в диссертации разработан следующий численныйалгоритм, реализованный в MATLAB.
На множестве , =⃒{︀}︀(, ) ⃒ ∈ (0, 1.1], ∈ (0, 2 + ) в плоскости параметров (, ) была выбрана сетка точек с шагом 0.1 и для каждой точки сетки путем численногоинтегрирования сепаратрис Γ± седла 0 , определялся отрезок [ ,] ⊂ (0,1),14такой что поведение сепаратрис менялось при переходе от параметров (),() к параметрам (), (), задавая гомоклиническую бифуркацию.
Типгомоклинической бифуркации уточнялся путем анализа поведения отображений Пуанкаре на соответствующих сечениях, выбранных в окрестностиседла 0 . Проведенные численные исследования показали, что в множестве, с выбранной сеткой точек существуют 4 области с различными гомоклиническими бифуркациями (рис. 5). В области, помеченной значками (∘),до бифуркации (т.е. при = ) сепаратрисы Γ± притягивались к противоположным устойчивым состояниям равновесия ∓ , после бифуркации (т.е. при = ) – к ближайшим ± . В области, помеченной значками (×), соответствующей ≥ 1, в процессе бифуркации один большой устойчивый предельныйцикл типа ”восьмерка” разделялся на два устойчивых предельных цикла вокруг неустойчивых состояний равновесия ± .S+S−uS0vx(a) = 0.060131460578...S+S−uS0vx(b) = 0.060131460581...Рис.
6: Гомоклиническая бифуркация при = 0.9, = 0.2.15uS+S−S0vx(a) = 0.7957...uS+S−S0xv(b) = 0.7955...Рис. 7: Гомоклиническая бифуркация слияния двух аттракторов при = 0.9, = 2.899.Были обнаружены два новых сценария гомоклинических бифуркаций.В области, помеченной значками (∙), до бифуркации два симметричных предельных цикла Θ± вокруг неустойчивых седло-фокусов ± сосуществуют, взависимости от параметров, с устойчивым предельным циклом типа ”восьмерка” (рис.
6) или со странным аттрактором, к которому притягиваютсясепаратрисы Γ± . Затем этот аттрактор теряет устойчивость и сепаратрисыΓ± притягиваются к противоположным симметричным предельным цикламΘ∓ . После бифуркации сепаратрисы Γ± притягиваются к ближайшим сим16метричным предельным циклам Θ± . В области, помеченной значками (+),вблизи границы = 2 + , при возникновении неустойчивой гомоклинической траектории, один аттрактор разделяется на два (или, отслеживая изменение параметра от 1 до 0, происходит слияние двух аттракторов в одинаттрактор, см.
рис. 7).В заключении приведены основные результаты работы:1. Для класса моделей управления в форме Лурье разработан алгоритмсинтеза моделей со скрытыми колебаниями. Для этого предложен алгоритм для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанный на обратном сценарии разрывной аппроксимации АйзерманаПятницкого и построен контрпример с гладкой нелинейностью к проблеме Калмана на основе системы Фиттса, демонстрирующий скрытыйхаотический аттрактор.2. Для класса моделей лоренцевского типа со сжатием объема проведёнсинтез моделей с неограниченно возрастающими траекториями. Для этого получены аналитические условия неустойчивости и разработан алгоритм для численного уточнения границ области неустойчивости.3. Для класса моделей лоренцевского типа разработан алгоритм синтезамоделей с гомоклинической траекторией.
Для этого получен аналитический критерий существования гомоклинических траекторий и разработан алгоритм для численного исследования гомоклинических бифуркаций. Численно обнаружена гомоклиническая бифуркация слияниястранных аттракторов.4. Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ впакете вычислений MATLAB.17Публикации автора по теме диссертацииСтатьи в журналах, рекомендованных ВАК:1. Леонов Г.А., Андриевский Б.Р., Мокаев Р.Н. Асимптотическое поведениерешений систем лоренцевского типа. Аналитические результаты и структуры компьютерных ошибок // Вестник СПбГУ.
Математика, 2017. Т. 4.В. 1. doi:10.21638/11701/spbu01.2017.105. С. 25–37.2. Леонов Г.А., Мокаев Р.Н. Отрицательное решение проблемы Калмана и доказательство существования скрытого странного аттрактора методом разрывной аппроксимации // Доклады Академии Наук, 2017. Т. 475. № 3.doi:10.7868/S0869565217210046.
С. 257–261.3. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Kiseleva M.A., Mokaev R.N. Global Problems for Differential Inclusions. Kalman and Vyshnegradskii Problemsand Chua Circuits // Differential Equations,2017.Vol. 53. № 13.doi:10.1134/S0012266117130018. Pp. 1671–1702.Другие публикации:4. Mokaev R.N., Leonov G.A., Kuznetsov N.V.
Kalman conjecture in theory ofdifferential equations. Counterexamples and hidden attractors // Abstracts ofthe 2nd International Scientific Conference «Autumn Mathematical Readingsin Adyghea», 2017. Pp. 163–164.5. Leonov G.A., Mokaev R.N. Numerical simulations of the Lorenz-like system:Asymptotic Behavior of Solutions, Chaos and Homoclinic Bifurcations // Abstracts of the International Scientific Conference on Mechanics «The EightPolyakhov’s Reading», 2018. Pp.
264.6. Leonov G.A., Kuznetsov N.V., Mokaev R.N. Homoclinic Bifurcations of theMerging Strange Attractors in the Lorenz-like System, 2018. Pp. 1–19.https://arxiv.org/abs/1802.07694v2.Патенты и свидетельства:7. Кузнецов Н.В., Леонов Г.А., Мокаев Р.Н. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2018610372 от 11.01.18. Программа для моделирования параметров стохастических колебаний в релейныхсистемах // 2018.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
