Автореферат (1144293), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Вработах [2–4] диссертанту принадлежит реализация алгоритма для построения контрпримеров к проблеме Калмана, основанного на методе разрывнойаппроксимации и построение гладкого контрпримера к проблеме Калмана;постановка задачи и остальные результаты принадлежат соавторам. В работах [5,6] диссертанту принадлежат вывод аналитического критерия существования гомоклинических траекторий в системах лоренцевского типа, численные результаты, связанные с существованием гомоклинической бифуркациислияния странных аттракторов, и с отсутствием возникновения хаотическойдинамики, соавторам — постановка задачи.Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения,двух глав, заключения и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 150 страниц с 66 рисунками и 4 таблицами. Список литературысодержит 177 наименований.Содержание работыВо введении обоснована актуальность исследований, проводимых врамках данной диссертационной работы, приведён обзор научной литературыпо изучаемой проблеме, сформулирована цель, поставлены задачи работы,показана научная новизна и практическая значимость работы.Первая глава посвящена исследованию решений дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и проблеме Калмана.Рассмотрена система в форме Лурьеẋ = x + (), = * x,(1)где – постоянная × - матрица, и – постоянные -мерные столбцы, все величины вещественные, * - знак транспонирования, – кусочнодифференцируемая, скалярная функция, (0) = 0, в точках дифференциру6емости удовлетворяющая условию1 ≤ ′ () ≤ 2 , ∈ (−∞, +∞),(2)где 1 – некоторое число, либо −∞, 2 – некоторое число, либо +∞.В 1957 г.
Р. Е. Калман сформулировал следующую гипотезу: еслиглобально асимптотически устойчива линейная система ẋ = x + * x,∀ ∈ [1 , 2 ], то система (1) с единственным состоянием равновесия также глобально асимптотически устойчива.Известно, что эта гипотеза справедлива для случая = 2 и = 3.Известные контрпримеры к гипотезе Калмана, такие как контрпримеры Р.Э.Фиттса9 , Н.Е. Барабанова10 , Х. Берната и Ж. Либре11 , Н.В.
Кузнецова иГ.А. Леонова12 представляли собой периодические решения сосуществующиес локально устойчивым нулевым состоянием равновесия. В диссертации построен хаотический контрпример к гипотезе Калмана. Для этого применялсяаппарат дифференциальных уравнений с разрывной правой частью и методточечных отображений с применением символьных компьютерных вычислений.Для системы (1) с кусочно-гладкой функцией () в R и разрывамипервого рода, в диссертации использованы различные подходы к доопределению разрывных систем и определению их решений.
В определении решенияпо Филиппову13 () заменяется на многозначную функцию (), которая вточках непрерывности совпадает с (), а в точках разрыва представляет собой некоторое множество. В определении Айзермана-Пятницкого14 решениесистемы с разрывной нелинейостью () определяется как предел равномерно сходящейся последовательности решений систем с непрерывными, равномерно ограниченными нелинейностями, равномерно сходящимися к ().Рассмотрена система (1) при = 4, заданная передаточной функцией () =2((+)2 +0.92 )((+)2 +1.12 )(3)с нелинейностью () = sign(). Восстановив систему по передаточной функции (3), получим:˙ 1 = 2 ,˙ 2 = 3 ,˙ 3 = 4 ,˙ 4 = −0 1 − 1 2 − 2 3 − 3 4 + sign(−3 ),91011(4)R.E.
Fitts. Two counterexamples to Aizerman’s conjecture Trans. IEEE., 1966. № AC-11(3). P. 553–556.Н.Е. Барабанов. О проблеме Калмана. Сиб. мат. журн., 1988. № XXIX(3). С. 3-11.J. Bernat, J. Llibre. Counterexample to Kalman and Markus-Yamabe conjectures in larger than 3. DCDIS,121996. № 2. P. 337-379.Г.А. Леонов, Н.В.
Кузнецов. Алгоритмы поиска скрытых колебаний в проблемах Айзермана и Калмана.13ДАН, 2011. № 439(2). С. 167-173.А.Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Матем. сб., 1960. № 51(93).14С. 99-128.М.А. Айзерман, Е.С. Пятницкий. Основы теории разрывных систем. I.Авт. и тел., 1974. № 7. С. 33–47.7где 0 = (1.12 + 2 )(0.92 + 2 ), 1 = 2(1.12 + 0.92 + 2 2 ), 2 = 1.12 + 0.92 + 6 2 ,3 = 4 . Здесь x = (1 , 2 , 3 , 4 ) и⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞0100⎜ 0010⎜=⎜001⎝ 0−0 −1 −2 −30⎜0⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟,⎝0⎠1⎟⎟⎟,⎠0⎜ 0 ⎟⎜⎟=⎜⎟.⎝ −1 ⎠0(5)Показано, что для любого > 0 линейная система ẋ = x + * x,заданная матрицами (5), глобально асимптотически устойчива при ∈42+0.01), +∞).(− 4( +1.012 +1.01Численно исследовано поведение траекторий с начальными даннымииз окрестности отрезка покоя.
В результате локализовано периодическое решение, самовозбуждающиеся относительно отрезка покоя.Далее, разрывная система (4) при = 0 = 0.03 рассматривается каксовокупность линейных систем с переключением и на отрезках постоянствааналитически определялись решения соответствующих линейных систем. Врамках аналитико-численной процедуры, следуя методу точечных отображений Андронова15 , полученные решения сшивались в момент переключениядля поиска периодического решения. В результате были локализованы двасимметричных друг другу периодических решения системы (4), скрытые относительно отрезка покоя. Найденные периодические решения представленына рис. 1.Для значения параметра = 1 = 0.1 локализованы непериодическоехаотическое решение системы (4), самовозбуждающееся относительно отрезка покоя. Также, используя аналитико-численную процедуру продолженияпо параметру, локализовано периодическое решение, скрытое относительноотрезка покоя (рис.
2). При = 0 + ( 1 − 0 ), 1 = 0.1, ∈ [0,1] для последовательности систем (4) с близкими правыми частями траектории численноинтегрировались с помощью специальной библиотеки16 для построения решений по Филиппову. В качестве начальных данных для траектории следующейсистемы выбиралась конечная точка траектории предыдущей системы.Три периодических решения при = 0.03, а также хаотическое ипериодическое при = 0.1 сохраняются при замене в (4) нелинейности() = sign() на нелинейность типа ”насыщение”:⎧⎪⎨ −1, ≤ −,1() = () ≡(6), − ≤ ≤ ,⎪⎩ 1, ≥ ,1516А.А.
Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний. М.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1959.P.T. Piiroinen, Y.A. Kuznetsov. An event-driven method to simulate Filippov systems with accurate computingof sliding motions, ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 2008. № 34(3).8Рис. 1: Три сосуществующих периодических решения системы(4) при = 0.03.Рис. 2: Периодическое решение и хаотический аттракторсистемы (4) при = 0.1 в пространстве (1 ,2 ,3 ).где = 0.01, и становятся скрытыми относительно устойчивого нулевогосостояния равновесия. Такую замену можно осуществить опираясь на обратный сценарий разрывной аппроксимации Айзермана-Пятницкого, т.е.
при переходе от решения системы с разрывной нелинейностью к близким решениямсистем с аппроксимирующими непрерывными нелинейностями.9Далее, воспользовавшись методом продолжения по параметру ирассмотрев систему (4) с нелинейностью () = () ≡ () + (tanh(/ ) − ()) и меняя параметр от 0 до 1, можно перейти от системы с кусочно-дифференцируемой нелинейностью () = () к системе сгладкой нелинейностью () = tanh(/ ) (рис. 3). Таким образом, в системеРис. 3: Скрытые периодическое и хаотическое решения системы (4) с нелинейностьюtanh() при = 0.1 в пространстве (1 ,3 ,4 )(4) с () = tanh(/ ) при достаточно малых локализованы скрытые ат4( 4 +1.01 2 +0.01)тракторы и для 1 = −и 2 = +∞ гипотеза Калмана неверна.
2 +1.01Отмечено, что исследуемая система (4) принимает вид модели Келдыша17 подавления флаттера (нежелательных колебаний органов управлениялетательного аппарата), что показывает трудность строгого получения критериев глобальной устойчивости его модели18 .Вторая глава посвящена изучению систем лоренцевского типа. Такие системы представляют собой математические модели, например, следующих физических процессов и объектов: конвекция в двумерном слое жидкости, подогреваемом снизу; модель одномодового лазера; диссипативный осциллятор с инерционным возбуждением.1718М.В. Келдыш.
О демпферах с нелинейной характеристикой. Тр. ЦАГИ.,1944. № 557. С. 26–37.Г.А. Леонов, Н.В. Кузнецов. О подавлении флаттера в модели Келдыша. ДАН, 2018. № 63(9). С. 366-370.10В первом разделе главы рассмотрена система лоренцевского типа˙ = ( − ),˙ = − − ,(7)˙ = − + ,где , – положительные числа, – некоторое число и > . В частныхслучаях для системы Лоренца = 1, для системы Чена19 = − − , длясистемы Лу20 = 0 и для систем Тигана21 и Янга22 = 0. Известно, что длясистемы Лоренца оператор сдвига по траекториям сжимает объемы (так как + + 1 > 0). Система диссипативна по Левинсону: существует число =(,,) такое, что для любого решения системы (7) выполнено неравенствоlim sup(()2 + ()2 + ()2 ) ≤ .→+∞(8)В диссертации доказана следующая теорема, аналитически описывающая в пространстве параметров асимптотическое поведение решений системы(7).Если 2 > , + < 0, то почти все решения системы (7)стремятся к бесконечности при → +∞.
Если 2 < , + > 0, то любоерешение системы (7) стремится при → +∞ к некоторому состояниюравновесия.Теорема 1.Для области параметров 2 > , + > 0, не подпадающей подусловия теоремы, проведено следующее численное исследование. Рассмотрены параметры системы (7), для которых = + > 0, ∈ (0, 1], = −. Дляэтих параметров исследовано поведение траекторий в фазовом пространствесистемы (7) при фиксированном и изменяемом . В плоскости параметров(, ) численно построена граница, справа от которой для рассмотренных вэксперименте начальных точек траектории системы стремятся к некоторыматтракторам (стационарным точкам, предельным циклам, хаотическим аттракторам).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
