Диссертация (1144294), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Возьмем точкуx = (1 , 2 ) на этой траектории и будем приближаться к этой траектории состороны 1 < 0.522 . Предельное значение правой части системы (1.6) имеет вид+ (x) = (2 , − 1). Если мы приближаемся к траектории со стороны 1 > 0.522 ,то предел − (x) = (−2 , 1). Т.к.

+ (x) = −− (x), то в этом частном случаеотрезок пересекает точку x, т.е. 0 (x) = 0 и согласно определению 4 решениев режиме скольжения является состоянием равновесия. В то же самое время(−2 , − 1) является вектором скорости оптимальной траектории. Таким обра-зом, оптимальная траектория не является решением в смысле определения 4,предложенного Филипповым.1.1.2 Подход Айзермана-ПятницкогоРассмотрим подход определения решений разрывных систем, через приближения решениями непрерывных систем, который развивался в работах [66–68]и других.М.А.

Айзерман и Е.С. Пятницкий [67] предложили другое определение решения уравнений с разрывной правой частью, которое позволяет использоватьобычную производную. Рассмотрим предложенный ими подход для частногослучая, когда (,x) является разрывной на поверхности Σ. Рассмотрим последовательность непрерывных вектор-функций (,x), которая совпадает с (,x)вне -окрестности поверхности Σ, и стремится к (,x) при → 0 в каждой точ-15ке, не принадлежащей Σ. Пусть x () – решение системы(1.8)ẋ = (,x).Определение 5. Решением системы (1.1) в смысле Айзермана и Пятницкого называется предел любой равномерно сходящейся подпоследовательностирешений x ():x () ⇒ x().Вообще говоря, может существовать более одного такого предела.

Заметим,что и это доопределение, введенное в [67], не всегда применимо к прикладнымзадачам.φ1σ0-1Рисунок 1.1: Модель сухого трения: трение покоя не принимает большиезначения по модулю, чем трение скольженияφα1σ0-1-αРисунок 1.2: Модель сухого трения: трение покоя может принимать большиезначения по модулю, чем трение скольженияНапример, рассмотрим системуẋ ∈ x + (), = * x,(1.9)16где () – характеристика сухого трения, показанная на рис. 1.1 или рис. 1.2,т.е.⎧⎨sign , при ̸= 0,() =⎩[−1,1], при = 0,⎧⎨sign , при ≠ 0,или () =⎩[−,], при = 0.(1.10)Т.к. определения, предложенные Филипповым и Айзерманом и Пятницким,учитывают лишь те значения нелинейности, для которых ̸= 0, то решениясистемы (1.9) с характеристиками сухого трения, представленными на рис. 1.1и на рис. 1.2, совпадают.

Этот результат не отражает физику данного явления.Для того, чтобы учесть динамику на поверхности разрыва, необходимо рассмотреть более адекватный подход, когда вместо системы с разрывной правойчастью (1.1) изучается система с многозначной правой частью, т.е. рассматривается дифференциальное включение (1.2).1.1.3 Подход Гелига-Леонова-ЯкубовичаКак было продемонстрировано выше, для некоторых физических задачопределение по Филиппову может давать неверные результаты, т.е. необходиморассмотреть более общий класс многозначных функций (,x). Одно из такихобобщений было рассмотрено А.Х.

Гелигом, Г.А. Леоновым и В.А. Якубовичемв [69].Далее для построения теории также необходимо предположить, что многозначная функция (,x) является полунепрерывной.Определение 6. Функция (,x) называетсяполунепрерывной (полунепре-рывной сверху, -непрерывной) в точке (0 ,x0 ), если для любого > 0 найдется(,,x), такое, что множество (,x) содержится в -окрестности множества (0 ,x0 ), когда точка (,x) пробегает -окрестность точки (0 ,x0 ).Определение 7.

Вектор-функция x(), определенная на промежутке (1,2),называется решением (1.2), если многозначная функция (,x) полунепрерывна и ∀(,x) ∈ множество (,x) является выпуклым, замкнутым и ограниченным.17В отличии от доопределения по Филиппову здесь от множества (,x) нетребуется минимальность.Справедлива следующая локальная теорема о существовании решений дифференциального включения [69].Теорема 1.

Предположим, что многозначная функция (,x) является полунепрерывной для всех точек (1 ,x1 ) из области1 ⊂ :|1 − 0 | ≤ ,|x1 − | ≤ ,и множество (1 ,x1 ) ограничено, выпукло и замкнуто. В дополнение, предположимsup || = for ∈ (1 ,x1 ),(1 ,x1 ) ∈ 1 .Тогда для | − 0 | ≤ = min(,/) существует по крайней мере одно решениеx() с начальными данными x(0 ) = , которое удовлетворяет (1.2) в смыслеОпределения 1.Приведем здесь также теорему о продолжимости решения, остающегося вограниченной области [69].Теорема 2. Если ∀ ∈ [0, ) решение системы(1.2) находится в некоторойкомпактной области из R , тогда x() определено на [0, ] и x() ∈ .Таким образом, решение системы (1.2) продолжимо до тех пор, пока оноконечно.Рассмотрим случай автономности уравнения (1.2), который является весьмаважным для приложений:x∈ (x).Справедлива следующая теорема:Теорема 3.

Пусть у системы(1.11)(1.11) -предельное множество Ω траекторииx(,) ограничено. Тогда через каждую -предельную точку ∈ Ω проходитхотя бы одна траектория x(,), определенная при ∈ (−∞, + ∞) и целикомсостоящая из -предельных точек, т.е. x(,) ⊂ Ω при ∈ R1 .18Доказательство теорем 1, 2, 3 приведено в [69].Для дифференциального включения (1.2) также справедливы другие различные теоремы качественной теории (см., например, [54, 69, 70]).Рассмотрим теперь (1.3) с (,x()) = x() + (* x()), т.е.ẋ() ∈ x() + (* x(),)(1.12)для почти всех (здесь мы предполагаем, что (,x()) удовлетворяет условиямОпределения 7, т.е. (,x()) удовлетворяет условиям 1, поэтому здесь и далеемы предполагаем, что решение существует для почти всех ∈ ). Здесь , и – постоянные матрицы и (* x(),) – многозначная функция.Если матрица * является неособой, то( * )−1 * [ẋ() − x()] ∈ (* x(),)(1.13)для почти всех .Левая часть (1.13) называется селектором:() = ( * )−1 * [ẋ() − x()](1.14)и является однозначной функцией, которая “конкретизирует” многозначнуюфункцию (* x(),) для решения x().

Т.е. задача (1.12) преобразуется к следующему виду:ẋ() = x() + ()для почти всех ,() ∈ (* x(),).(1.15)(1.16)Для любого решения x() существует соответствующее доопределение ().Как показано выше, если матрица * является неособой, то () определяетсясоотношением (1.14) для почти всех и () является измеримой.Существует ли измеримый селектор () в случае, когда det * = 0? Следующая теорема о существовании измеримого селектора, доказанная Б.М. Макаровым специально для [69], играет важную роль в изучении дифференциальных включений, т.к.

она позволяет заменить дифференциальное включение на19дифференциальное уравнение в достаточно общем случае, сохранив структуруправой части.Пусть (,x,) – это вектор-функция, определенная для ∈ , x ∈ R , ∈R со значениями в R . Предположим, что (,x) является непрерывной вектор-функцией, определенной на × R со значениями из R и пусть (,) – этомногозначная функция, определенная на × R , со значениями, являющимисяподмножествами R . Справедлива следующая теорема [69].Теорема 4(Теорема Макарова, [69]). Пусть функция является непре-рывной и является полунепрерывной и её значения являются компактными подмножествами из R . Пусть x0 () – абсолютно непрерывная векторфункция на ⊂ , удовлетворяющая следующему условия:ẋ0 () ∈ { [,x0 (),]| ∈ ()} для почти всех ∈ ,где() = [,(,x0 ())].Тогда существует такая измеримая по Лебегу вектор функция 0 в , чтовыполняются следующие соотношенияẋ0 () = [,x0 (),0 ()],1.20 () ∈ () для почти всех ∈ .Проблема КалманаНеобходимость изучения устойчивости и предельных динамических режимов (аттракторов) возникает в классических теоретических и практических задачах.

Одни из первых таких задач связаны с проектированием автоматическихрегуляторов (XVIII–XIX вв), которые должны были обеспечить переход динамики объекта управления к рабочему режиму и его устойчивость относительно внешних возмущений. Классическим примером является регулятор Уатта,обеспечивающий поддержание заданной постоянной скорости вращения валатурбины. Работоспособность регуляторов зависит от переходных процессов ипредельной динамики в замкнутой системе (“объект управления + регулятор”).Примером математической постановки и решения таких задач является опуб-20ликованная в 1877 году знаменитая работа И.А. Вышнеградского о регулятореУатта [71]. В этой работе для замкнутой динамической модели “машина + регулятор” исследовалась приближенная линейная математической модель безсухого трения и были предложены условия устойчивости желаемого рабочегорежима, соответствующего состоянию равновесия (тривиальному аттракто-ру ) в линейной модели.Однако, после этой работы оставался открытым важный вопрос строгогодоказательства гипотезы Вышнеградского о допустимости проведения линеаризации системы путем отбрасывания сухого трения для определения условийустойчивости рабочего режима и отсутствия нежелательных колебаний.

В 1885году Г. Леотэ впервые показал возможность возникновения в системах регулирования с сухим трением предельных периодических колебаний – предельныхциклов (также предельные циклы были описаны в работах лорда Релея по теории струн [72], Б. ван дер Поля об электронном генераторе [73] и других). В1892 году А.М.

Ляпунов опубликовал в знаменитой работе “Общая задача обустойчивости движения” обоснование процедуры линеаризации [74], однако, этообоснование было проведено только для гладких нелинейных систем и не позволяло исследовать системы с сухим трением. Вскоре после этого появилисьпубликации, например, Н.Е. Жуковского [75], критиковавшие подход Вышнеградского и ставившие под сомнение его выводы.Систематическое изучение предельных циклов (периодических аттракто-ров ) и критериев их отсутствия в прикладных динамических системах связанос работами научной школы А.А.

Андронова. Соединив математические идеианализа локальной устойчивости А.М. Ляпунова и возникновения колебанийА. Пуанкаре для гладких динамических систем с инженерными потребностямиучета разрывных нелинейностей, им была создана математическая теория ко-лебаний, объясняющая поведение многих прикладных систем. Эта теория позволила изучать возникновение предельных колебаний, а также получать необходимые и достаточные условия отсутствия колебаний и глобальной устойчивости для систем невысокого порядка. Начиная с 1944 года, А.А.

Характеристики

Список файлов диссертации