Диссертация (1144294), страница 5
Текст из файла (страница 5)
А согласно определению Айзермана-Пятницкого можно перейти ксистеме с нелинейностью (1.20).Рассмотрим систему (1.21). Используя критерий Рауса-Гурвица, можно показать, что для любого > 0 линейная система ẋ = x + * x, заданнаяматрицами (1.22), глобально асимптотически устойчива при ∈)︀(21 −22 )2,+∞.2(2 2 +21 +22 )(︀− 4 2 −Выпишем решения линейных систем ẋ = x + и ẋ = x − , заданных мат-рицами (1.22), в соответствующих областях Σ+ = {x = (1 ,2 ,3 ,4 ) ∈ R4 | 3 <0}, Σ− = {x = (1 ,2 ,3 ,4 ) ∈ R4 | 3 > 0}.
Рассмотрим систему ẋ = x + изапишем ее в виде линейного неоднородного дифференциального 4-го порядка:...(4)1 + 3 1 + 2 ¨1 + 1 ˙ 1 + 0 1 = 1.(1.25)Для решения уравнения (1.25) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, т.е. будем искать общее решение (1.25) в виде суммы 1 () =^1 () + ˜1 () общего решения ^1 () соответствующего однородного уравнения...(4)1 + 3 1 + 2 ¨1 + 1 ˙ 1 + 0 1 = 027и частного решения ˜1 () уравнения (1.25), коим в данном случае, очевидно,является ˜1 () ≡10=1.(21 + 2 )(22 + 2 )Используя теорему Виета для уравненийчетвертой степени, можно показать, что корни соответствующего характеристического полинома 4 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 выражаются через параметры1 , 2 , и имеют следующий вид: − ± 1 , − ± 2 . Таким образом, об-щее решение однородного уравнения имеет вид ^1 () = 1 exp(−) cos(1 ) +2 exp(−) cos(2 ) + 3 exp(−) sin(1 ) + 4 exp(−) sin(2 ) и общее решение неоднородного линейного уравнения (1.25) имеет вид1 () =(︀1+exp(−)1 cos(1 ) + 2 cos(2 )+(21 + 2 )(22 + 2 ))︀+ 3 sin(1 ) + 4 sin(2 ) .
(1.26)Путем дифференцирования (1.26) получим все компоненты общего решениялинейной системы дифференциальных уравнений ẋ = x + :[︀2 () = − exp(−) (1 − 3 1 ) cos(1 ) + (2 − 4 2 ) cos(2 )+]︀+ (1 1 + 3 ) sin(1 ) + (2 2 + 4 ) sin(2 ) ,[︀3 () = exp(−) (−(21 − 2 )1 − 21 3 ) cos(1 )++ (( 2 − 22 )2 − 22 4 ) cos(2 )++ (21 1 − (21 − 2 )3 ) sin(1 )+]︀+ (22 2 + ( 2 − 22 )4 ) sin(2 ) ,(1.27)[︀4 () = exp(−) ((321 − 2 )1 − (21 − 3 2 )1 3 ) cos(1 )−− (( 2 − 322 )2 − (3 2 − 22 )2 4 ) cos(2 )++ ((21 − 3 2 )1 1 + (321 − 2 )3 ) sin(1 )−]︀− ((3 2 − 22 )2 2 + ( 2 − 322 )4 ) sin(2 ) .Выразим коэффициенты 1 , 2 , 3 , 4 через начальные данные x(0) = x0 =(︀)︀(︀)︀01 , 02 , 03 , 04 решения x() = 1 (), 2 (), 3 (), 4 () .
После подстановки28 = 0 в (1.26) и (1.27) получим систему:01 =1+ 1 + 2 ,(21 + 2 )(22 + 2 )02 = −1 − 2 + 1 3 + 2 4 ,03 = ( 2 − 21 )1 + ( 2 − 22 )2 − 21 3 − 22 4,04 = (321 − 2 )1 + (322 − 2 )2 + (3 2 − 21 )1 3 + (3 2 − 22 )2 4 ,имеющую следующее решение1234(︂)︂1122=− 2(2 + )01 + 202 + 03 − 2,1 − 221 + 2(︂)︂11= 2(21 + 2 )01 + 202 + 03 − 2,21 − 22 + 2(︂)︂12222(2 + )01 + (2 + 3 )02 + 303 + 04 − 2,=−1 (21 − 22 )1 + 2(︂)︂1(21 + 2 )01 + (21 + 3 2 )02 + 303 + 04 − 2.=222 (1 − 2 )2 + 2(1.28)Аналогично выводится решение для линейной системы ẋ = x − . Отметим,что так как соответствующее линейное однородное уравнение будет таким же,как и для системы ẋ = x + , а отличаться будет только частное решениенеоднородного уравнения (в этом случае оно будет ˜1 () ≡то для системы ẋ = x − 1 () = −101= − (2 + 2 )(2 + 2 ) ),12(︀1+exp(−)1 cos(1 ) + 2 cos(2 )+(21 + 2 )(22 + 2 ))︀+ 3 sin(1 ) + 4 sin(2 ) , (1.29)а решения 2 (), 3 (), 4 () будут такими же как и в (1.27).
Соответствующиевыражения для коэффициентов 1 , 2 , 3 , 4 через начальные данные x0 =29(︀)︀01 , 02 , 03 , 04 имеют вид:1234(︂)︂11=− 2(22 + 2 )01 + 202 + 03 + 2,21 − 21 + 2(︂)︂1122= 2(1 + )01 + 202 + 03 + 2,1 − 222 + 2(︂)︂1(22 + 2 )01 + (22 + 3 2 )02 + 303 + 04 + 2,=−221 (1 − 2 )1 + 2(︂)︂12222(1 + )01 + (1 + 3 )02 + 303 + 04 + 2.=2 (21 − 22 )2 + 2(1.30)Известно [69, стр. 181], что если * = 0, то пластинка скользящих режимовописывается уравнениями * = * x = 0, −* ≥ * 2 x ≥ * . Для системы(1.21) пластинка скользящих режимов имеет следующий вид:⃒{︀}︀Σ0 = (1 ,2 ,3 ,4 ) ∈ R4 ⃒ 3 = 0, 4 = 0, −1 ≤ 0 1 + 1 2 ≤ 1 .(1.31)При этом сам скользящий режим описывается дифференциальными уравнениями ˙ 1 = 2 , ˙ 2 = 0, ˙ 3 = 0, ˙ 4 = 0, т.е.
для точки (01 , 02 , 0, 0) ∈ Σ0 получаем1 () = 02 + 01 , 2 () ≡ 02 .x280660440220x2 00-2-20-4-40-6-60-4-20x124-80-100-80-60-40-200x120406080100Рисунок 1.4: Моделирование системы (1.21) при = 0.03. Траекториисистемы ˙ = + (красные) сшиваются с траекториями системы ˙ = − (синие) в точках переключения режимов (черные).30Таблица 1.1: Последовательность режимов системы (1.21) и ихпродолжительности.РежимNoПродолжительность режима sw1II1.05334258461666070159069093890342I2.90742310105586467135283327454063II3.08119416789132654586910891657114I3.10956814074457643970701502834135...II...3.1172633498585598727041388103133...117II3.255813949679020600303900583359118I6.0861162391323218638383197619751119II3.2558148102719285771733749514097120I6.0861161959236448042414391776022121II3.2558141179339245911287631207479Для моделирования поведения решений релейной системы (1.21) в диссертации разработана следующая аналитико-численная процедура, реализованная вMATLAB (см. приложение Б).
Так как траектории этой системы в трех различных областях фазового пространства Σ+ , Σ− и Σ0 являются решениями линейных систем, полученными аналитически, то их можно моделировать точно, безиспользования численных методов решения ОДУ, и сшивать при переключениирежимов системы. Пусть режиму I соответствует часть траектории системыx() = (1 (),2 (),3 (),4 ()) ∈ Σ+ , режиму II соответствует часть траекторииx() ∈ Σ− . Для численного определения продолжительности текущего режимадо момента переключения ∈ [0, sw ], то есть такого момента = sw > 0, что3 ( sw ) = 0, использовалась функция roots() из специального расширенияMATLAB для работы с непрерывными функциями и операторами Chebfun [94].Полученное с помощью нее значение sw (Chebfun проводит вычисления с 15значной точностью) затем численно уточнялось до значения нужной точности с помощью функции vpasolve() для вычислений с переменной точностью(Variable-precision arithmetic).
Также для полученного sw проверялось условие31попадания на пластинку скользящих режимов (1.31). Если траектория попадает на отрезок покоя Λ , то моделирование заканчивается, в противном случаемоделируется поведение системы на пластинке скользящих режимов до срывас нее (режим III ).Для параметров 1 = 0.9, 2 = 1.1 и = 0.03 из [82] было проведеномоделирование траектории системы (1.21) c помощью описанной аналитикочисленной процедуры с начальными данными (01 ,02 ,03 ,04 ) = (10,10,10,10),на интервале времени ∈ [0,500] и с точностью вычислений 32 знака послезапятой. Моделирование показало, что полученная траектория системы (1.21)притягивается к периодической орбите (рис.
1.4). При этом скользящих режимов обнаружено не было (см. таблицу 1.2).Таблица 1.2: Последовательность режимов системы (1.21) и соответствующиеточки переключения.Noперекл.РежимNoТочка переключения (1 ( sw ),2 ( sw ),3 ( sw ),4 ( sw ))(26.139056261162713777366654183745,1II2I3II4I5...II117II(−1.534277723809842168755252201211,118I(−0.62520535705061797805751330839875,119II120I121II...18.861617502726581509669744496124,−5.6946459028400618476030210684897 · 10−39 , −27.577959288607563630535828654806)(−18.558854959481401358472457741844,1.6159632173469316045874814555453 · 10−54.183976687174904460594514770132,−38(9.4131145680638492147690916280712,,56.386087574305976240746166497455)76.05324973001329645478127738194,−2.5453047709722120972943847185717 · 10−38 , −76.898661057278641009919598610005)(−0.85548970898251049284431977007902,−2.6769885058814078645360998113264 · 10−84.062542512845227342201257837518,−39(−6.3236903753575545586039517252315,,84.536180766419806321470957376468)79.743023838554750932525208735838,5.3527411552400108554039432641257 · 10−39 , −80.241062487107253222595010340006)...3.0313671398803153268090010403537, 0,−2.7813737057809059467831219324405)−3.7324028234976559918564098590759,6.5772609973621380425721327419924 · 10−32 , 3.4754097218823185748187286360486)(−1.5342777522564804836616958619911,−5.8302764049506609243262337715464 · 103.0313548539971013648750862662638,−40(−0.62520417609224293212370321612154,,−2.7813606205357513918917719520929)−3.7324131293872099384202283394004,−3.0603814973541059706167154478599 · 10−40 , 3.4754206334475184788809731797715)(−1.5342795192967661636936721879269,3.0313628197498921029464942357343,−321.3925322386131704621857026638198 · 10,−2.781369216811708642487641846695)32Полученный результат можно уточнить, используя метод точечных отображений Андронова [92].
Заметим, что периодическая траектория системы (1.21)−−−+swсостоит из двух кусков: x+ (, x+0 ) ∈ Σ , ∈ [0, + ] (режим I) и x (, x0 ) ∈ Σ ,±±±±+ ∈ [0, −sw ] (режим II). При этом x± (0, x±0 ) = x0 = (01 , 02 , 0, 04 ) где 04 < 0,∓±sw ±−04 > 0 и x (± , x0 ) = x0 . Поэтому справедливо следующее равенство (см.рис. 1.5):++sw −x− (−sw , x−0 ) = x0 = x (−+ , x0 ).(1.32)Используя точные формулы (1.26),(1.27), (1.29) для решений x± (, x±0 ), равенство (1.32) можно расписать в виде системы из пяти уравнений(︀2sw+exp()1 cos(1 +sw ) + 2 cos(2 +sw )−+2222(1 + )(2 + ))︀(︀− 3 sin(1 +sw ) − 4 sin(2 +sw ) − exp(−−sw ) 1 cos(1 −sw )+)︀2 cos(2 −sw ) + 3 sin(1 −sw ) + 4 sin(2 −sw ) = 0,[︀X − exp(+sw ) (1 − 3 1 ) cos(1 +sw ) + (2 − 4 2 ) cos(2 +sw )−]︀− (1 1 + 3 ) sin(1 +sw ) − (2 2 + 4 ) sin(2 +sw ) +[︀+ exp(−−sw ) (1 − 3 1 ) cos(1 −sw ) + (2 − 4 2 ) cos(2 −sw )+]︀+ (1 1 + 3 ) sin(1 −sw ) + (2 2 + 4 ) sin(2 −sw ) = 0,[︀X exp(+sw ) (−(21 − 2 )1 − 21 3 ) cos(1 +sw ) + (( 2 − 22 )2 −X− 22 4 ) cos(2 +sw ) − (21 1 − (21 − 2 )3 ) sin(1 +sw )−]︀− (22 2 + ( 2 − 22 )4 ) sin(2 +sw ) =[︀= exp(−−sw ) (−(21 − 2 )1 − 21 3 ) cos(1 −sw ) + (( 2 − 22 )2 −− 22 4 ) cos(2 −sw ) + (21 1 − (21 − 2 )3 ) sin(1 −sw )+]︀+ (22 2 + ( 2 − 22 )4 ) sin(2 −sw ) = 0,[︀X exp(+sw ) ((321 − 2 )1 − (21 − 3 2 )1 3 ) cos(1 +sw ) − (( 2 − 322 )2 −− (3 2 − 22 )2 4 ) cos(2 +sw ) − ((21 − 3 2 )1 1 + (321 − 2 )3 )×]︀× sin(1 +sw ) + ((3 2 − 22 )2 2 + ( 2 − 322 )4 ) sin(2 +sw ) −[︀− exp(−−sw ) ((321 − 2 )1 − (21 − 3 2 )1 3 ) cos(1 −sw )−− (( 2 − 322 )2 − (3 2 − 22 )2 4 ) cos(2 −sw ) + ((21 − 3 2 )1 1 + (321 −]︀− 2 )3 ) sin(1 −sw ) − ((3 2 − 22 )2 2 + ( 2 − 322 )4 ) sin(2 −sw ) = 0(1.33)33−−swswи пяти неизвестных −01 , 02 , 04 , + , − .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
