XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 13
Текст из файла (страница 13)
у') = О, у = 1, к (й < и), т, Е (а,, 61, (4.3) или интегральными (4 4) Здесь везде предполагается, что функции (', д, д = 1, к, 6,, г = 1, ез дважды непрерывно дифференцируемы и краевые условия (4.2) не противоречат условиям связи (4.3). Дифференциальные соотношения (4.3) называют дифференциальными связями, а соотношения (4.4) интпееральными (изопериметпричесними) связями. Особо отметим частный случай, когда в соотношениях (4.3) функции дт не зависят от у'. В вариационном исчислении такие связи называют фазовыми оераничениями., а в теоретической механике еолономными связями. Сформулированная задача общего вида представляет собой вариационную задачу на условный энстпремум. 1астный случай задачи, в которой наложены только дифференциальные связи (4.3), а также различныс ее модификации, отличающиеся краевыми условиями (а иногда с дополнительными интегральными связями (4.4) ), называют задачей Лаеранжа.
Эта задача была опубликована Ж.Л. Лагранжем в 1788 г. в его,„Аналитической механике". Задачу (4.1), (4.2), (4.4) с интегральными связями называют изопериметпричесной задачей, рассматривая ее как обобщение классической задачи определения среди плоских фигур одинакового периметра (изопериметрических фигур) той, которая имеет наибольшую площадь (см. 4.4). 4. П Основные типы задач на условный экстремум 99 Отметим, что изопериметрическую зада ~у (4.1)., (4.2), (4А) можно свести к задаче Лагранжа, введя новые функции т ф;(х) = 6,;(х,у,у)с1т,, г' = 1, а.
а (4.5) Тогда вместо интегральных соотношений (4А) получим диф- ференциальные соотношения (4.6) При этом, согласно (4.4), ,7[у) = 1 (х, у, у',..., у(") ) сЬ и нужно ввести новые функции уо у~ у! у ! Уя у ; . у у Тогда исходный функционал заменяется функционалом 1[УО;Ум",Ун] = 1(х,УО Ум";Уи)с7х, а, Таким образом, изопериметрическая задача эквивалентна следующей задаче Лагранжа: найти систему и+ з функций ум ..., у„, фм ..., ф„связанных соотношениями (4.6) и удовлетворяющих краевым условиям (4.2) для функций у;, г = 1, и, и условиям (4.7) для функций ф„г' = 1, з, которая доставляет экстремум функционалу (4.1). К задаче Лагранжа сводится и задача об экстремуме функционала, зависящего от высших производных.
Для функцио- нала 1ОО 4. ЗАд4 чи нА услОВныЙ экстРемум неизвестные функции в котором связаны уравнениями / уо = у| / У| = Уз / Ун — | = Ун. 4.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа ду', ду,', ду~ ду~ ду' ддз ду„ д(ум уэ " дя) д(У[) Уз~ ' ' '1 Уп) ддя дую ддя ду, ду, ду максимален и равен й.
Мы можем считать, что дд, дд, ду1 ду~ дд2 дд2 ду( дуг ду,' дуг ду', У'= О, два дда дда ду', ду! ' ' ' ду,' Задачи на условный экстремум встречаются и в конечномерных задачах, когда аргументы функции многих переменных, экстремум которой нужно найти., связаны некоторыми функциональными соотношениями. Для решения этих задач обычно используют метод множителей Лагранжа [1|1. Этот универсальный метод, основанный на введении множителей Лагранжа и составлении функции, Лагранжа, применим и для функционалов.
Сформулируем неооходимые условия экстремума функционала в задаче Лагранжа (4.1) — (4.3). Будем предполагать, что функции д (х, у, у'), д = 1, к, непрерывно дифференцируемы по переменным у' и ранг матрицы Якоби по этим переменным дд~ дд1 дд1 4.2. Неосхссдиясые условия в задаче Лагранжи так как при необходимости можно изменить соответствующим образом порядок переменных у; и функций д .
Теорема 4.1. Если вектор-функция у*(х) =(у,*(х), ..., у,',(х)) из С'([а,е],Ка) является решением задачи (4.1) — (4.3) и при этом выполнено условие (4.8), то существуют такие функции Л~ (х), ..., Ль(х)д что у*(х) является зкстремалью функционала (4.9) Функционал 1'(у) будем называть вспомоеадпельным функционалом задачи (4.1) -(4.3).
Инсвееринт вспомогательного функционала, т.е. функцию ~д = ~+',~ 'Л,д,, (4.10) з =-1 называют функцией Лаеранжа (лаеранжианом) задачи (4.1) (4.3). В функцию Лагранжа входят левые части дифференциальных связей с коэффициентами Л. (х), которые называют множителями Лагранжа. Будем называть энстремалями задачи Лаеранжа экстремали функционала (4.1), удовлетворяющие краевым условиям (4.2) и дифференциальнсдсм связям (4.3) (в частности, фазоеьсм оераничениям). Теорема 4.1 фактически утверждает, что все экстремали задачи Лагранжа содержатся в множестве экстремалей вспомогательного функционала Г(у1 Значит, чтобы найти их, нужно из экстремалей вспомогательного функционала выбрать те, которые удовлетворяют условиям (4.2), (4.3). Другими словами, экстремали вспомогательного функционала, удовлетворяющие краевым условиям (4.2) и дифференциальным связям (4.3), являя>тся экстремалями задачи Лагранжа.
Учитывая сказанное,. из теоремы (4.1) легко получить полную систему условий для экстремалей задачи Лагранжа., т.е. 102 4. ЗАДА ЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ систему, в которой количество неизвестных равно числу урав- нений. Действительно, для и+ й неизвестных функций у,*(х) (л = 1, н) и Л (х) Ц = 1, л) мы имеем н уравнений Эйлера — (~*)', — (1*)л = О, у = 1, н, (4.11) Замечание 4.1. Иногда в качестве лагранжиана вместо функции (4.10) используют функцию вида У'=Л„У+~ 'л,д„ где Лв = сопв1.
При этом полагалот Лв > О, если в задаче (4.1)-(4.3) ищется минимум, и Ло < О, если ищется максимум. Добавление в лагранжиан еще одного множителя Ле на самом деле не оказывает существенного влияния, так как фактически равносильно умножению лагранжиана на некоторое число. Такое умножение, если Лв ф О, не изменяет множества решений системы уравнений Эйлера А значение Лв = 0 есть вырожденный случай, в котором задача поиска экстрсмалей вспомогательного функционала теряет смысл, так как эти зкстремали никак не будут связаны с целевым функционалом. Для иллюстрации задачи Лагранжа остановимся на двумерном случае (н = 2)., когда задано одно фазовос ограничение (й = 1), т.е. будем решать задачу Уц., е) = 1(х, у, х, у, г ) е1х — > ех1г, а у(а) = ул, у(О) = ум я(а) = хл, х1,О) = гм (4.12) (4.13) д(х,у.,г) = О.
(4.14) для функционала 1*[у] и й условий связи (4.3). Среди решений этой системы выбирают те, которые удовлетворяют краевым условиям (4.2), причем эти условия не должны противоречить условиям связей. 4.2. Необходимые уеловвл в задаче Лагранжа 1ОЗ Частным случаем этой задачи является задача о ееодезических линиях, в которой требуется на заданной поверхности найти кривую наименьшей длины (см. 4.4). В задаче (4.12) — (4.14) допусппилеыми функциям являются пары функций у(х), е(х) Е С [а, б), для которых кривая у = у(х), в = е(х) лежит на поверхности д(х, у., х) = О.
Мы предполагаем,. что эта поверхность не имеет особых точек (т.е. (д')2+ (д') + + (д'.)2 Ф О). Теорема 4.1 в этом случае сводится к следующему. Теорема 4.2. Ксли пара функций у*(х), е*(х) е С«[а, б) является решением задачи (4.12)- (4.14), причем (д,') +(д,') ~ О., то существует такая функция Л(х), что пара функций у*(х), е* (х) является экстремалью функционала ~ Сначала рассмотрим частный случай, когда уравнение связи д(х, у, в) = О разрешимо относительно одной из переменных, например ж Тогда это уравнение равносильно уравнению х = = ~р(х, у), где функция ~р(х, у) дважды непрерывно дифференцирусма, так как, по предположению, дважды непрерывно дифференцируема функция д(х, у, в).
Условие непротиворечивости уравнения связи краевым условиям в данном случае означает, 'Гхо зв = ~э(о Уа) и Яб = ф(б) Уе). Уравнение е = ~р(х,у) позволяет свести рассматриваемую задачу к задаче с одной неизвестной функцией. Действительно, если у*(х), в*(х) --- решение задачи (4.12)-(4.14), то функция у'(х) является решением простой~пей задачи еариационноео исчисления 4.3.
Необходимесе условие п изопериметрической задаче 105 Соотношения (4.19), (4.20) представляют собой уравнения Эйлера для вспомогательного функционала Итак, если у*(х), г*(х) есть решение задачи (4.12)-(4.14), то у*(х) является решением задачи (4.15), а следовательно, и уравнения (4.16). Но тогда пара функций у*(х) и г'(х) = = ез(х.,у*(х)) удовлетворяет системе уравнений (4.19), (4.20), т.е. системе уравнений Эйлера вспомогательного функционала. Теорема доказана в частном случае, когда уравнение связи д(х, у, г) = 0 разрешимо относительно переменного г. Отметим., что доказательство теоремы 2.1, базирующееся на лемме Дюбуа-реймона, которая в свою очередь опирается на ле,мму Лагранжа, в конечном счете использует только локальные вариации, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
