XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 14
Текст из файла (страница 14)
вариации, малые по норме Н . и отличные от нуля лишь в малой окрестности заданной точки хо б (а,б). График такой вариации оу(х) отличается от графика варьируемой функции у*(х) лишь в малой окрестности точки (хш у*(хо)). Эту окрестность можно выбрать настолько малой, что в ней при д', ф 0 уравнение д(х, у, г) = О, согласно теореме о неявной функции, разрешимо относительно переменного г.
Если в точке (хо, у'(хо), г*(хо)) имеем д,' = О, то в этой точке и в некоторой ее окрестности д„' ~ О, так что мы можем уравнение д(х, у, г) = 0 разрешить относительно переменного у. ~ 4.3. Необходимые условия в изопериметрической задаче Как было показано в 4.1, иэопериметринескую задачу можно свести к задаче Лагранжа. Основываясь на таком преобразовании, получим необходимые условия экстремума функционала для этой задачи. 1Об 4. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Согласно (4.5) — (4.7), изопериметрическая задача (4.1), (4.2), (4.4) зквиввлентна задаче Лагранжа с целевым функционалом (4.1), дифференциальными связями (4.б) и краевыми условиями (4.2), (4.7).
Заметим, что в такой задаче ранг матрицы Якоби дифференциальных связей по переменным у,, максимален, так как, например, — 1 О ... ΠΠ— 1 ... О О О ... — 1 где д (х,у,у',Ф,Ф') = Ьз(х,у,у') — фр ( =1, ж Следовательно, можно применить теорему 4.1. Запишем вспомогательный функционал ь с(р,э(= /(((Р;,р,д(+~л,(~,(*,р,д(-ф)и,= в з=( ь ("(х, у, у', Ф, Ф') е1х, (4.21) а где Ф = (ф(, ..., фв), в Т(х,У,У' Ф,Ф') = Т(х,У.,У')+ ~ Лз(1(д(х,У.,У') — ф'), и его уравнения Эйлера: у=1,в; — — =О, ах ('з (4.22) у = 1,н.
— — =О, дх Так как ~,', = О, 1~„, = — Л, получим 4.оч необходимые условия в пзопериыетпипеской эадвче 107 — (~*)' — (~*)'„= О, у = 1, и, (4.23) где )'=7'+ 2 ЛуЬ . Система (4.23) является системой уравнений Эйлера для функционала (4.24) и поэтому функции у~, ..., у„*, удовлетворяющие системе урав- нений (4.22), являются экетремаллми функционала (4.24).
Ин- тегрант функционала (4.24) называют функцией Лагранэка изопериметрической задачи. Теорема 4.3. Ксли функции у1(х), ..., у„*(х) из С1]а,,й] доставляют экстремум функционалу в задаче (4.1), (4.2), (4.4), то существуют такие числа Лы ..., Л,, что функции у,*(х),....,. у„*(х) являются экстремалями функционала (4.24). й1 Теоремы 4.1 и 4.3 представляют собой обобщение правила множителей Лагранжа, применяемого для исследования функций многих переменных ]'й], на случай гладких бесконечномерных задач вариационного исчисления.
Поэтому и в вариационном исчислении метод решения задачи Лагранжа и изопериметрической зада ~и, базирующийся на определении функций Л (х) и коэффициентов Л, часто называют методом мноэкителей Лагранэка. При этом экстремум, когорый нужно найти в указанных задачах, называют условным экстремумом. Уравнения (4.11) называют ураенениями Эйлера задачи Лагранэка (4.1) (4.3), а уравнения (4.23) уравнениями Эйлера изопериметрической задачи (4.1), (4.2), (4А). Таким образом, в изопериметрической задаче лнолеители Лагранлеа постоянны, а оставшиеся уравнения системы (4.22) можно записать следующим образом: 108 4.
ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРКМУЧИ В заключение отметим, что в рассмотренных вариаиионных задачах на условный экстремум правило множителей Лагранжа распространяется и на условия трансверсальности (см. 3.1). Эти условия записываются так же, как и для задачи на безусловный экстремум, но при этом роль интегранта 1 играет функция Лагранжа соответствующей задали.
лг хг д[у1 = (у')гдх — ~ ех1г, 12усЬ = О, в о у(0) = О, у(хг) — хг + 2 = О. Запишем функцию Лагранжа 1 *' = (у')г + Л(12у). Уравнение Эйлера У ) Ф У ) о для вспомогательного функционала будет иметь вид уо = 6Л. Интегрируя его, получаем у = ЗЛхг+ С1х+ Сг. Из краевого условия у(0) = 0 получаем Сг = О. Чтобы найти оставшиеся неизвестные Л, См хг, составим систему из трех уравнений.
Первое уравнение — это изопериметрическая связь., которая с учетом вида функции у такова: 12(ЗЛхг + С1х) дх = О. ь в (4.25) Второе уравнение -- это краевое условие на правом конце, принимающее вид ЗЛхг + С1хг = хг — 2. (4.26) Пример 4.1. Рассмотрим изопериметрическую задачу с правой подвижной границей 109 4.4. Некоторые примеры Наконец, третье уравнение — это условие трансверсальности на правом конце (см.
3.2) (~'+ Ор' — у')(~')„' ) = О, которое в данном случае при 1'* = (р')2+ Л ° 12у и ~р(ее) = х — 2 имеет вид ((у') + Л 12у+ (1 — у') 2у') ~ = О. (4.27) Система трех уравнений 14.25) — (4.27) имеет два решения. Первое у=О (для него ха = 2,,7=0), второе у= — Зх~ — 4х 1для него хя = — 2, Х = 32). 4.4. Некоторые примеры Пример 4.2. Вернемся к задаче Дидоны (см. пример 1.1). Она представляет собой изопериллетрическую задачу: а ,7~у) = уеЬ вЂ” ~ гпах, у( — а) = О, у(а) = О, — а а К~у1 = 1+ (лд')здх = А (7 ) 2а).
— а В соответствии с теоремой 4.3 составляем всполлоеагпе льный функционал а и записываем для него уравнение Эйлера: Л вЂ” ' — 1 = О. д( у' -"(.,)-= 11О 4. 3.4Д.4 ЧИ Н24 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕЛ1УМ Видно, что это уравнение допускает понижение порядка: Л ' — х=СП У 1г( /)г +ь) ='*""' Из этого уравнения найдем р'. х+ С~ у =ш 'г:~.*~се Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, получаем д = ь,(Р: 2 ~- с ) ' ~ с„ что равносильно (х+С )г+(р С )г Из краевых условий ( — а+С~) +Сг — — Л ., (а+С2) +Сг — — Л находим: С1 =О, Л =Сг+а'.
Таким образом, уравнение кривой сводится к следующему: хг+(у — Сг)2 = Сгг+аг. Длина дуги окружности может быть вычислена непосредствен- но, и мы получим еще одно уравнение* а 2~( Сгг + аг агсяш = Ь, 422Сгг + аг "Ври этом следует учесть, что иэ двух дуг окружности, соединяющих точки ( — о, О) и (о, О), графиком функции является только меньшая. 4.4.
Некоторые примеры которое заменой 2~/Сгз + аз ' ( ' 2 ~ ' приводится к трансцендентному уравнению А вш~ = 2а1. Решение этого уравнения из промежутка (О, л/2) позволит определить постоянную Сг при Ь < ла. Пример 4.3. Рассмотрим задачу выбора кривой наименьшей длины среди кривых на сфере х +у +г =а ., проходящих через две данные точки (хм ум г1) и (хг, уяг яг). Предположим, что в качестве параметра кривой можно выбрать координату х (это возможно только при определенных положениях концевых точек). Тогда кривая описывается парой функций у(х)г г(х), а длину кривой можно выразить интегралом хг з[у.г) = 1+(у')г+(г')го!х хг Мы приходим к вариационной задаче поиска минимума функ- ционала о [у,г) с краевыми условиями у(х1) = ум г(х1) = хм у(хг) = уг, г(хг) = гз [4.28) и фазоеым ограничением д(хгу,г) = х +у + г — а = О.
Составляем вспомогательный функционал хг хг 4. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 112 Два уравнения Эйлера для вспомогательного функционала и условие связи в совокупности составляют систему трех уравнений относительно трех неизвестных функций у(ж), г(х), Л(х)) <1 у' — 2Л(ж)у = О, 'ьчт«т т~-)")' д — 2Л(л)г = О, 'т+Б')"; )*')) у +я+х — а =О. решение задачи следует искать среди решений этой системы, удовлетворяющих краевым условиям (4.28). Однако решить указанную систему весьма непросто. 4.5.
Принцип взаимности в изопериметрических задачах Постоянство множа)пелей Лагранжа в изопериметрической задаче приводит к так называемому принципу взаимностпи, или принципу двойстпвенностпи. В изопериметрической задаче (4.1), (4.2)., (4.4) мы искали экстремум функционала (4.1) при условии, что другие л функционалов принимают заданные зна тения А, т' = 1, з. Заметим< что уравнение (4.24) для вспомогательного функционала, в методе множителей Лагранжа не изменится, если подынте; гральное выражение умножить на некоторое постоянное число рь Вводя обозначения Хо = У, дй =И„Л„ получаем ь "'=Й- ".
, г=в 4.5. Принцип взаимности и изопериметри свских галичах 113 В это выражение все функции 1 входят симметричным образом. Это означает, что в качестве подынтегральной функции целевого функционала, можно выбрать любую из функций Д, а остальные отнести к изонериметрическим связям (4.4). Другими словами, зкстремалн в задаче на экстремум, в которой пнтегрантом целевого функционала является функция Д, а остальные функции Д отнесены к интегральным связям (4.4) (задача А), совпадают с экстремалями в задаче на экстремум (задача В), в которой интегрантом целевого функционала является функция 1', а остальные функции Д определяют изопериметрические условия ) (х, у, у ) Йх = Б, 1 = О, 1, ..., т — 1, т+ 1, ..., в.
с и При этом постоянная Ло равна экстремальному значению функционала в задаче (А), а остальные ь те же, что и в интегральных связях (4.4). В качестве 1 можно выбрать любую из функций ~м; Л. Описанное совпадение экстремалей и называют принципом взаимности (принципом двойственности) . Например, задача Дидоны (см. пример 4.2), состоящая в определении максимальной площади фигуры при заданном периметре, двойственна другой вариационной задаче, которая состоит в определении минимааьного периметра при заданной площади. Обе эти задачи имеют одни и те же экстремали, если максимум площади в первой задаче задается как ограничение во второй.
Можно показать, что дуга окружности у' = ъ'а' — х~, найденная в примере 4.2 как экстремаль функционала 1[у) = усКх — а 114 4. ЗАДА'1И НА УСЛОВ11о1Й Э11СТРЕМУМ при заданной длине К[у) = 1+(у')ЯИх =.га,, — а доставляет максимум этому функционалу. При этом г[у'] = = Яа~гг2. Эта же фУнкциа У* = ъ'оу — хг ДоставлЯет минимУм функционалу длины К[у) при заданной площади,У[у) = лаз/2. 4.6. Задача Больца и задача Майера Анализ еариационных задач в зависимости от типа уравнений связи (см. 4.1, 4.2) показывает, что задача Лагранлеа является наиболее общей. Другие задачи либо представляют собой частные случаи задачи Лагранжа, либо сводятся к ней. Проведем классификацию вариационных задач по типу целевого функционала Задача (4.1).
(4.3) с ингпееральным целевым функционалом д[у) = 11х,у,у') д. представляет собой, как уже говорилось, задачу, Лагранжа. Если в задаче Лагранжа интегральный целевой функционал заменить гаерминальным целевым функционалом Т[у) = Т(у(а),у(о)), который определяется дважды непрерывно диффгренцируемой функпией Т(умуя), то получим задачу Майера. Задачу со смешанным целевым функционалом В[у) = д[у~)+Т[у) 113 4.6. Задача Больца я задавя Майера Щ(а,у(а),б,у(б)) = О, г = 1, в, где количество я уравнений связано с размерностью н фазового пространства неравенством в < 2п+ 2. Иногда задачу со смешанным целевым функционалом без ограничений (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
