XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 15
Текст из файла (страница 15)
без условий связи) называют элементпарной задачей Больца. Задача Больца, так же как и задача Майера, может быть сведена к задаче Лагранжа. Покажем это на примере задачи Больца для целевого функционала вида "=/ а (4. 29) с дифференциальными связями (4.3) и краевыми условиями у(а) =у . (4.30) Отрезок (а, б) считаем фиксированным, а функцию Т(у) дважды непрерывно дифференцируемой. Для рассматриваемой задачи Т(у(а)) Т(у ) б — а б — а так как а, б, у в данной задаче фиксированы.
Учитывая это, терминальное слагаемое Т(у(б)) в правой части (4.29) можно преобразовать к виду называют задачей Больна. Во всех трех типах задач предпо- лагается, что условия связи имеют вид (4.3), а краевые условия в самом общем виде записываются следующим образом: 4. ЗАДАВИ НА УСЛОВНЫЙ ЭНСТРЕМУМ Это позволяет переписать целевой функционал (4.29) в инте- гральной форме: ь В(у( — 1(((,у,Р ( + ~ — т(у( ()) и.. (431( Т(у(а)) с7 а Видим, что задача Больца (4.29), (4.3), (4.30) эквивалентна задаче Лагранжа для функционала (4.31) с теми же условиями связи и краевыми условиями.
Опираясь на эту эквивалентность, докажем следующее утверждение. Теорема 4.4. К(жи допустимал функ(и(л у"'(х) ЕС ((а,б),Б'.") доставляет экстремум функционалу (4.29) с дифференциальными связями (4.3) и краевыми условиями (4.30), то существует система из к функций (((х), ..., АЬ(х), при которых у*(х) удовлетворяет системе уравнений Эйлера — ь', — ь' =О., 1=1,.п, йх < гДе Т = )'+ 2; Льд - лаеданвеиан заДачи (4.3), (4.29), (4.30), и 3=1 условиям трансверсааьности Р .=ь ж*=ь' ~ Пусть вектор-функция у*(х) есть точка экстремума в задаче Больца (4.29), (4.3), (4.30). Тогда эта функция является точкой экстремума и в задаче Лагранжа (4.31), (4.3), (4.30).
Применим к задаче Лагранжа теорему 4.1. Согласно этой теореме, найдутся такие функции Л (х), у = 1, к, что у*(:е) является точкой экстремума для вспомогателлноео функционала В* = / 1Т,+ + — Т(у(х)) дх, (4.32) Т(у') й 6 — а дх а 117 4.6. Задача Больца и задача Майера где Т = 1'+ 2 Л д . Запишем систему уравнений Эйлера для о=1 функционала (4.
32): — (~*)'„— (~*),' = О, 1 =1, п, (4.33) где = Ь+ + — Т(у(х)). т(у') Преобразуем уравнения этой системы. Имеем И:)„=а, + — 'т„, (Х*)'„= Ь'„+ т„', г = 1, и. (4.34) Здесь при вычислении (7*)', использовано равенство и~ — Т(у(х)) = '~ Т' у,'. 11 1=1 ВыРажениЯ Дла (~*)и и (7*),',, поДставим в УРавнениЯ системы (4.33): Учитывая (4.34), получаем Ь', = — 7'„' ., 1 = 1, и. Ь (4.36) "* а=в ' х=в 7, — — А, =О, 1=1.,п, дх (4.35) которые в совокупности с дифференциальными связями (4.3) составляют систему из и+ Й уравнений относительно и+ Й неизвестных функций у,(х)., 1 = 1, п, и Лз (х), ~' = 1, а. Остается записать условия трансверсальности на правом конце.
Так как д известно, а меняться может лишь значение у(6), приходим к задаче с естественными краевыми условиями (см. 3.1) П8 4 ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСттМЛ~ Замечание 4.2. Для функционала вида в случае фиксированного отрезка, [а, б) и произвольных значений у(а) и у(б) (концы эксгаремаяи скользят по гиперплоскостям х = а и х = б) к условиям трансверсальности на правом конце, т.е. при х = б, в теореме 4.4 следует добавить и условия трансверсальности на левом конце: (4.37) я х-л я у-л' Замечание 4.3. Если в функционале (4.29) отсутствует интегральное слагаемое (т.е. рассматривается задача Майера), ь то лагранжиан А в теореме 4.4 имеет вид Ь = 2 Л~д..
~=-1 Пример 4.4. Найдем экстремали функционала В[у) = хх(у~)эйх — 2у(1)+уз(2) 1 в классе функций С' [1,2). Это элементарная задача Больца без условий связи и краевых условий. В этом сяучас функция Лазранлса совпадает с интверантои целевого функционала и имеет вид А = ) = х (у ) . Запишем для заданного функционала уравнение Эйлера: — (2хэу') = О, ах, откуда 2хву' = С = сопв1. Из этого уравнения получим С 2' 119 Вопросы и задачи где С) — произвольная постоянная. Решая последнее уравнение и учитывая, что х Е [1, 21, получаем общее решение уравнения Эйлера: Ц= — +С2.
С) (4.38) х Чтобы определить постоянные С1 и С2, используем условия трансверсальности (4.36) и 14.37): )а=2 п)х=зб 2х~р'! = — 2. 11одставляя в эти уравнения представление 14.38) и решая систему относительно С) и С2, получаем С) = 1, С2 = 1/2. Таким образом, рассматриваемый функционал имеет единственную экстремаль 1 1 Ы )= — +-. х 2 Вопросы и задачи 4.1.
Определите гладкие функции, на которых может достигаться экстремум функционала в следующих вариационных задачах: ) У)у и) =1(Ъ)'б( ')' — у)б*, у=*у ', у(б)=У о 9(1) = е, 2(О) = 1, 2(1) = 0; пбб2 б) У)у,*)=1 ((у') б(') — У* — уу)б*, у=* — 2 ь о У10)=1,д( — ) =0,210)=1,2( — ) =2; 120 1 1 Г худ = О, хясЬ = 0; о о 1 .~.~,.| = ~(»Т, Ю ) ..,,~» =,Р> =.~» =.Р =.
о 1 ухдх = — 2; о в) г) д) е) 4. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ~г/2 1[у, )= ~((у)'~-( ')' — 2 'М .)И», а у(0) = О, у( — ) = —, я(0) = 1, я Н = 0; 1 ~Ь4= Г» и — (*'р')ж, ~'-.~-~=о, р<»=а, О у~1) = —, г(0) = 2, г(1) = 3; 1 Цу) = Ь) хх у сЬ=1, у(0) =О, у(;т) =0; о О 1 1[у,х) = у'х'йх., у(0) = у(1) = г(0) = О, г(1) = 1, О 1~у,г) = х(у — г)с1х, у(0) =я(0) =я(1) =О, у(1) =2, о 1 )! ухдх= — —. 5 о Вопросы и задачи 121 4.2. Найдите геодезические линии кругового цилиндра радиуса Л. 4.3.
Найдите кратчайшее расстояние между двумя точками А(0, 2, 4) и В( — 1, ~/3, 2) на круговом цилиндре, ось которого совпадает с одной из координатных осей. 4.4. Для следующих вариационных задач укажите тип, к которому они относятся, и запишите полную систему необходимых условий экстремума функционала: ь а) 1[У] = ~(х,У')йх+Т[У(6)] — ь ехал, дз(х,У) = О, 1 = 1, 6 а (Й < п), У(а) = Уа, а, 6., У = (даю ..., Уа) фиксиРованы; ь б) 1[У] = )[л,У)сбс+Т[У(а)] ь ехал, дз(х,У ) =О., 1=1,6., а у(6) = у, а, 6, у = [ум ..., у ) фиксированы; в) Т[у(а)] + Т[у(6)] — ь ехсг., д [ж, у, у') = О, 1' = 1, 6 ()с < и), а, 6 фиксированы.
4.5. Найдите экстремали следующих функционалов, определенных на множестве гладких функций: 122 4. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ г) Т~р) = 4~у') у~йи+ у4(0) — 8у(3): о тг,(2 4.6. Обобщить утверждение и доказательство теоремы 4.2 на случай функционала, зависящего от н функций при Й фазовых ограничениях. 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Необходимое условие экстремума функционала состоит в том, что первая вариация этого функционала обращается в нуль. Это обобщает необходимое усвовие экстремума функции многих (в том числе одного) переменных.
Достаточное условие экстремума функции многих переменных базируется на поведении второго дифференциала функции в исследуемой точке. Аналогичная ситуация и в вариационном исчислении: вводится понятие второй вариации, обобщающее понятие второго дифференциала, достаточные условия экстремума строятся на поведении этой вариации вблизи исследуемой экстремали.
Напомним, что в вариационном исчислении различают сильный экстремум, при котором рассматриваются произвольные непрерывные функции, и слабый экстремум, который формулируется в классе непрерывно дифференцируемых функций. 5.1. Слабый экстремум Квадратичный функционал и вторая вариация. Отображение ~: Е~ — ~ й, которое каждой паре х и у элементов линейного пространства Е ставит в соответствие число ~(х, у), называют би,линейной формой,.
если это отображение линейно по каждому аргументу, т.е. для любых зна ~ений аргументов выполняются равенства ~(о1х1 + озх2~у) = н11 (х1>у) + ех2 ~(х2>у) ~ ~(х,н1у1 + озуа) = о1 Дх,у1) + ог~(х, уя). В функциональном анализе., изучыощем бесконечномерные линейные пространства, и, в частности, в вариационном исчислении билинейные формы принято называть билинейными 124 б ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМ.4 функционалами.
Если в билинейном функционале 1[у., х] приравнять аргументы, мы получим функция> С[у] =,У[у.,у] на линейном пространстве, которую называют квадратичным функционалом. Квадратпичный функционал С[у] положитпельно определен, если С[у] > О при лк>бом у ~ О и неотарицатаельно определен, если С[у] > О при любом у ф О. Пример 5.1. В линейном пространстве С[а, Ь] для любой непрерывной на отрезке [а, 6] функции А(х) функционал Ху,я] = А(х)у(х)Я(х)дх является билинейным, а функционал является квадратичным. Функционал С[у] положительно определен, если А(х) > О на отрезке [а, 6]. Пример 5.2. В линейном пространстве С> [а, б] функционал где А, В, С -- непрерывные функции, является квадратичным, так как он соответствует билинейному функционалу Говорят, что функционал 1[у], определенный на некотором нормированном пространстве, дважды дифференцируем в точке у.
если его приращение >лс =,1[у+ бу] —,1[у] 1лб бн. Слабый экстремум представимо в виде д г = д Р[д,ду]+да~[у,ду]+ о[[[дд[[э), (5.1) Ь,р = дз3[у,ду]+ оЯдд[[~) > О. Зафиксируем вариацию ду и рассмотрим приращение функционала, соответствующее вариации Му, где 1 положительное число. Для этого приращения верно неравенство дх У[д,Уд] +о([[1ду[[х) = РдаУ[у.,ду]+о(да [[ду[[~) > О, д~,У[у.,ду] о[[[Му[[~) [[ду[[" [[~ду[[~ Первое слагаемое в последнем неравенстве не зависит от д., в то время как второе выбором досточно малого 1 может быть сделано менее наперед заданного числа е > О. Значит, для любого е > О дал[у ду] [[ду[[' ~ )— е, где дээ [у,ду] — квадратичный функционал по переменной ду., называемый второй вариацией функционала э'[у] в точке д,.
а о[[[ду[[ )/ [[дд[[ — + 0 при дд — ~ О. Если представление (5.1) для функционала э'[у] существует, то оно единственно и, значит, вторая вариация определена однозначно. Теорема 5.1. Если функционал,1[у] в точке д дважды дифференцируем и имеет минимум (максимум), то дал [д, ду] > 0 (дал'[д, ду] ( О) при любом ду. ~ Доказательство теоремы проведем лишь в случае минимума, так как для случая максимума доказательство аналогично. Если функция у является точкой минимума функционала э'[у], то, согласно необходимому условию экстремума функционала, на функции у первая вариация функционала равна нулю: д,У[у,ду] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
