XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если точка х такова, что Ьь(х) = О, в то время как Ьь(х) у'= О при а ( х ( х, то точку х назовем сопрлзсенной точке а в смысле функционала,7(у1 Достаточные условия скалярного случая без изменений обобщаются на векторный случай. 135 5.2. Условие, Якоби Теорема 5.7. Пусть функционал ,У[у] = у(х,у>у')дх, а где >' — дважды непрерывно дифференцируемая функция, определен на множестве вектор-функций у Е С>([а,6],Ка), удовлетворяющих краевым условиям у(а) = у>, у(6) = уз. Функция у* доставляет минимум функционалу,У[у], если одновременно выполняются условия: 1) функция у' является экстремалью функционала 1[у]; 2) функция у* удовлетворяет усиленному условию Лежандра ~„"„(х,у(х),у'(х)) ) О, х Е (а> 6) (т.е, матрица ~„,„, положительно определена при указанных значениях х); 3) отрезок [а, 6] не содержит точек, сопряженных точке а в смысле функцонала .7[у]. 5.2.
Условие Якоби рассмотрим функционал у[у] = 1(х, у, у') ду а с дважды непрерывно дифференцируемым ин>верантолл определенный на линейном пространстве С [а,6]. Если функционал /[у>], не является вырожденным, множество его экегарел>а.лей> проходящих через фиксированную точку (а> уа), образует однопараметрическое семейство, при этом в качестве параметра можно взять угол наклона экстремали в точке (а, у ) .
Если 136 б. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА это семейство заполняет сплошь некоторую область Р с й~, причем через каждую точку области Р проходит ровно одна экстремаль, то мы будем говорить, что в области Р задано поле экстремалей. Поле экстремалей, заданное в области Р, позволяет в этой области определить функцию р(х,у), значением которой является значение тангснса угла наклона экстремали в точке (х, у), т.е. р(х, у) есть производная той экстремали у(х), значение которой в точке т, равно у. Функцию р(х, у) называют наклоном полл экспзремалей. Рассмотрим экстремаль у*(х), которая проходит через точку (а, уь). Будем говорить, что эта экстпремаль включена в поле экстаремалей на отрезке [а, 5], если можно ука- У зать такую область Р С Кз, ко- 1/„- -— 2 удх) торая содержит график функции у'(х), х Е (а, Ь], и в которой можно задать поле экстремалей рассматриваемого функционала Рис.
5.2 (рис. 5.2). Теорема 5.8 (условие Якоби). Для того чтобы экстремаль у*(х) функционала у[у] можно было включить на отрезке [а, 5] в поле экстремалей, достаточно, чтобы на интервале (а, 5) не было точек, сопряженных точке а в смысле функционала Т[у]. ф Напомним, что отсутствие точек., сопряженных точке а, равносильно отсутствию у краевой задачи (5.6) нетривиальных решений.
Пример 5.3. Проверим выполнение условия Якоби для экстремалей функционала у[у] в вариационной задаче 137 5.2. Условие Якоби Уравнение Эйлера рассматриваемого функционала имеет вид д — (2у') — ( — 2у) = О, ггх или уо+ у = О. Единственным решением зтого уравнения, удовлетворяющим поставленным краевым условиям, является функция у(х) = О. Вычисляем козффициенты Р(х) и ®х) для второй вариации функционала: Р(х) = — 1'„",„, = 1, Г''1Г-г) 2 (Хуо ~ Хр л) Краевая задача (5.0) для уравнения Якоби в данном случае имеет вид < 6о+6 = О, 6(0) = О, 6(х) = О, где х Е (О, 6].
Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения в краевой зада ге имеет вид 6(х) = Сг соех+ С2 в1пх. Из краевого условия 6(0) = 0 находим Сг = О. А второе краевое условие приводит к уравнению Сввй1х = О, или, так как 6(х) должно быть нетривиальным, ешх = О.
Полученное уравнение имеет решения х = кн, 6 Е И. Поставленная краевая зада га не будет иметь нетривиальных решений, если ни одно из значений кк не попадет на промежуток (О, 6], т.е. при 6 < я. Таким образом, условие Якоби для рассматриваемого функционала выполнено, если 6 < к, и не выполнено при 6 > н. При 6 < и зкстремаль у*(х) ив з 0 включается в поле зкстремалсй у(х, Сз) = С2 ейпх на отрезке ~0, 6].
Обратим внимание на то, что зкстремаль у'(х) ив е 0 доставляет еяабьгй минимум функционалу в рассматриваемой задаче, так как выполняются все условия теоремы 5.6. 138 о. ДОстАтОчетые УслОВил энстРемУМА 5.3. Инвариантный интеграл Гнльберта Пусть в просгаейшей задаче вариационно о исчисления (5.7) экстремаль у'(х) Е С ~а,а] включается в поле экстремалей, определенное в некоторой области 7Э. Тогда в 7Э определена функция р(х,у) наклона поля экстремалей. Выберем такую допустимую функцию у(х)., график которой, за искяючением начальной точки (а, у„), попадает в область 71. Интеграл э" 1х у(х) у'(х)) дх задающий значение функционала,У~у] рассматриваемой вариационной задачи на функции у(х), можно интерпретировать как криволинейный интеграл г(р) вычисляемый вдоль кривой Г(у), которая параметрически записывается в виде а=1, У=1дР), (5.12) у'=уФ Поэтому приращение Ы]у*,бу] функционала,7~у] можно записать как разность криволинейных интегралов, соответствующих функциям у* и у = у'+ ду: Ы[у',ду] = Т(х.,у,у')дх — Т(х,у,у')дх.
1'цр) гЬ*) Криволинейный интеграл о(о= | ~Л*лр(;в)~-Ь'-и( лед еьрэы))а*: г(р) е.З. Инвариантный интеграл Гильверта где кривая Г(д) соответствует функции р(х), график которой попадает в область В, называют инвариантаным интпеерало и Гильберта. Учитывая специфику кривой Г(у), которая параметрически описывается системой (5.12), подынтегральное выражение интеграла Гильберта можно преобразовать следующим образом: [Ях;у р(х,у)) + (у' — р(хд))/~~(х, у р(ху))) дх = = [/(х,у,р(х,у)) — р(х,у)~„(х,у,р(х,у))~е)х+ + /,",(х,тт,р(х, у)) 0у = Л(х.,у) дх+ Я(х,у) е)у, где Их,у) = Ях,у,р(т,,у)) — р(х,у)/„',(х.,у,р(х,у)), В(х:у) = /„ '(х:у,р(х, Й).
Поэтому инвариантный интеграл Гильберта равен: С(у) = И,,х,ту)4х+ ®х, у) е)у. (5.13) ГЬ) Но в этой форме в интеграл не входит третья координата у~. Значит, его можно рассматривать как криволинейный интеграл в плоскости хОу, взятый вдоль графика Ге(у) функции у(х): С(у) = Их, у) Йх+ Я(х, у) е)у. (5.14) Ге (У) Отметим, что интеграл Гильберта, взятый вдоль экстремали, совпадает со значением функционала на этой экстремали: / [И*,т,т("М +Ь'-Ф:.тет~ Ь,тФ*,м))~" = ГЪ*) ь /'""'* /и" и'* " Г(р*) е так как р(х,у) = (у*) (х) на кривой Г(рт).
140 б. ДОСТЛТОЧНЪ|Е УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Предполагая, что функционал |~у1 не является вырожденным, раскроем уравнение. Эйлера этого функционала: (5.16) Отметим, что Р1х,у(х)) = у'(х) 15.17) для экстремали у(х), откуда, дифференцируя, получаем Ря+РрУ = У 15.18) Соотношения (5.17) и (5.18) позволяют исключить из уравнения (5.16) производные у' и у": Полученное уравнение в совокупности с (5.15) приводит к тождеству Л„' — (~~ = О. 5.4. Сильный экстремум Итак, если в области Р задано поле энстремалей, то инваРиантный интеграл Хилаберта не зависит от кривой, соединяющей в Р точки (а, у ) и (5, уе), а на энстремали у = у*(х), Оказывается, что интеграл 15.14), как и (5.13), не зависит от пути интегрирования, т.е.
подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Действительно., область Р., охватывающую график экстремали у*(х), можно считать односвязной. Поэтому подынтегральное выражение Н(х, у) ах + + фх,у)ду будет полным дифференциалом, если Л' — Я' = О. Убедимся в выполнении этого равенства в каждой точке области Р. Имеем 141 5,4. Сильный экстремум включенной в это поле, совпадает со значением 4ункиионала .7[у*).
Значит, изучая приращение функционала, соответствующее вариации бу, можно заменить значение функционала на экстремяли значением интеграла Гильберта, взятого вдоль графика функции у = у' + ду (если ду достаточно малб по норме ~~ ~~с, то эта функция попадает в область Р, в которой определено поле экстремалей). В результате получаем ЬУу*,бу] = ДЯ вЂ”,У[у'") = Дх,у.,д')Их — Дх,у,у)йх= гЬ) гЬ*) ) (х, у, у ) е1х — С(у ) = ~(х, у, у) елх — 0(у) = гЬ) гЬ) (1(х,у,у') — Ях,у,р) — (Ч вЂ” р)~яАх,у,р)) 1х гЬ) Функцию Е(х,у,р,у') =1(х,у.,у') — Ях,у,р) — (у' — р)у,',(х,у,р), являющуюся подынтегряльной для последнего интеграла, называют функцией Вейерилтпрпсса.
С помощью этой функции приращение функционала можно записать следующим образом: гЬ) где у = у*+ бу. Отметим, что при у = у' (х ), у' = (у" (х) ) (короче говоря, на экстремали) функция Вейерштрасса равна нулю, так как при этом р(х,у*(х)) = (у*(х)) . Функция Вейерштрасса позволяет анализировать приращение функционала. Если Е(х, у,р, у') > 0 в окрестности графика данной функции у*(х), то эта функция точка минимума 142 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА функционала.
Если же Е(т,у,р,у') < О в окрестности графика данной функции у'(и), то у*(и) — точка максимума функционала. Функция Вейерштрасса оказывается весьма эффективным инструментом исследования конкретных функций на экстремум для данного функционала. При этом такое исследование возможно с точки зрения как сильного экстремума, так и слабого экстремума. При исследовании на слабый экстремум фиксированной функции у*(х) необходимо проверить на знак функцию Вейерштрасса в точках, близких к точкам кривой Г(у*), т.е.
определять знак Ь(и,у,р(х;у),у') для таких троек (х, у, у'), которые близки к тройке чисел (и, у'(х), (у*)'(х)). Если в таких точках Е(х, у,р(х, у), у') сохраняет знак, то функция у'(и) - слабый экстремум. При исследовании вопроса, является ли функция у'(х) точкой сильного экстремума функционала, изучают знак функции Вейерштрасса для таких троек (и, у, у'), для которых у близко к у'(и).
Функция Вейерштрасса должна сохранять свой знак при любых изменениях аргумента у', так как величина у'(и) не влияет на степень близости функций у*(и) и у(х) по норме ~~ ~~с. Известно*, что если функция Вейерштрасса, будучи непрерывной, в каких-либо точках (х., у*(л), р(х,у'(и)), у') меняет знак, т.е. при некоторых значениях у' она положительна, а при некоторых значениях отрицательна, то у*(и) не является точкой экстремума функционала. Если такое изменение знака приходится на точки (х, у'(х), р(л,у'(т)), (у*)'(т))., т.е. на точки графика исследуемой функции, то эта функция не доставляет и слабый экстремум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
