XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Это значит, что они непрерывно зависят от времени. Пусть, далее, в фазовом пространстве К" задано некоторое множество Я, представляющее собой совокупность всех фазовых состояний, в которых управляемому объекту разрешается находиться. Тогда при движении объекта его состояние х(1) в 154 6. НАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ каждый момент времени 1 должно подчиняться условия> (бд) х(~) Е ВСЕ, которое называют оераничением на Яазовые координатны (фазовым оераничением). В ряде задач интерес вызывает случай, когда множество Я замкнуто., а фазовая траектория может проходить по его границе. Предположим, что положение имеющихся у управляемого объекта „рулей" описывается в каждый момент времени набором из г чисел ип ..., и„— управляющих параметпров, т составляющих вектор управления и= (тц, ..., и„) .
Положение трулсй" обьскта в каждый момент времени можно изобразить точкой г-мерного арифметического пространства К'. Манипуяирование,.рулями" означает выбор вектор-функции и®., называемой управлением (управляющим воздейстпвием). Существенным моментом, характеризующим управляемую систему, является описание мноэтсестпва допустпимых управлений, т.е. совокупности таких функций и(1), которые исходя из реальных обстоятельств рассматриваемой задачи разрешается выбирать в качестве управлений и среди которых мы будем в дальнейшем искать, например, оптимальное управление.
Это множество задают,как правило, с помощью „геометрических" условий, накладываемых на возможные значения функции и(1), и требований к ее функциональным свойствам. В любом реальном объекте „,рули" не могут занимать совершенно произвольные положения либо из-за конструктивных особенностей обьекта и ограниченности ресурсов, либо из-за условий эксплуатации объекта, опасности нарушения его нормальной работы. Это значит, что в пространстве тс" управляющих параметров выделено некоторое множество Г, называемое областпью управления.
В любой момент времени гочка и(1) должна принадлежать этому множеству. Иначе говоря, для любого ~ верно соотношение 6Л. Лоечановна задачи опгииачьного управления 155 нааываемое оераничением на управление. Самым типичным является случай, когда область управления à — ограниченное замкнутое множество (последнее означает, что, грубо говоря,,рули" могут занимать и свои „крайние" положения). Помимо ограничения на значение управляющего вектора в каждый момент времени необходимо также выяснить допустимый характер изменения этого вектора с течением времени. Обычно в качестве управлений рассматривают кусочно непрерывные еектпор-функции, т.е.
вектор-функции, у которых каждая координатная функция в;(г) имеет на любом конечном интервале конечное число точек разрыва, причем все точки разрыва первого рода ~Ц. Значение управления в точке разрыва не играет сколько-нибудь существенной роли в задачах управления. Но для определенности удобно считать, что оно совпадает с левосторонним пределом вектор-функции в точке разрыва: и(г) = и(г — 0) = 11ш и(1).
~-чт — О Также будем считать, что управление и(1) непрерывно на концах рассматриваемого отрезка ~1м 121. Нели ограничение (6.2) на область значений управления выглядит достаточно естественно., то выбор в качестве управлений кусочно непрерывных функций нуждается в пояснениях. Наиболее реалистично выглядит требование, чтобы управление и(~) было непрерывной функцией. Оно соответствует представлению о том, что управляющее воздействие, обладая определенной инерционностью., не может изменяться скачком.
Но такое требование оказывается весьма неудобным. Как свидетельствуют даже простейшие примеры линейных задач (см. Той), в классе непрерывных функций решение задачи оптимального управления может не существовать. Кроме того, более внимательный анализ реальных управляемых объектов показывает, что почти всегда в качестве управляющих можно выбрать такие параметры, которые в пределах разумной точности можно считать безинерционными.
Поэтому класс 156 6. НАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ кусочно непрерывных функций оказывается выгодным с теоретической точки зрения и приемлемым с точки зрения практических приложений. Кусочно непрерывные управления со значениями, попадающими в область управления Г, будем называть допустимыми. В дальнейшем, говоря об управлениях, будем иметь в виду допустимые управления, не оговаривая это каждый раз. Чтобы указать, как именно фаювая траектория объекта определяется по выбранному управлению, нужно иметь закон движения объекта, описыва1ощий динамические свойства рассматриваемой управляемой системы.
Будем предполагать, что закон движения предгтаняяет гобой еоотно|пение (6.3) х = у(1,х,и), где у(г,х,и) = (Я1,х,и), ..., ~„,(1,х.,и)) известная вектор- функция, конкретный вид которой определяется конструктивными особенностями объекта или условиями рассматриваемой задачи. Далее будем полагать, что функции 1;(~,х,и), г = 1, п, неперсрывны по всей совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных х [Ъ'[. Объект, математическая модель которого задается системой уравнений (6.3), является управляемым, что выражается в следующем. Ксяи выбрано (допустимое) управление и(1), 1 Е [1м Хз[, то подстановка его в (6.3) приводит к нормальной системе обыкновенных дифференциральных уравнений (ОДУ) [УПЦ, записанной в векторной форме: (6.А) х = у(ьех,и(1)).
При заданных условиях на вектор-Функцию у эта система удовлетворяет теореме существования и единственности для задат чи Коши, т.е. при начальном условии х(г1) = х1 = (х[, ..., х1) она имеет решение, и притом единственное, в окрестности точки х1. Другими словами, при выбранном управляющем воздействии и(ь') на отрезке [1ч, 1з] движение объекта описывается бл.
Погтанопна палачи оптимального управления вектор-функцией., которая представляет собой решение задачи Коши для системы ОДУ [Ъ'Ш]. Очевидно, что движение объекта будет меняться в зависимости от управляющего воздействия. Решение системы (6.4) при заданном управлении и(ь), как и определяемую этим решением кривую в фазовом пространстве, называют фазовой траекторией, соответствуюидей этому управлению. Начальное условие х' в задачах оптимального управления часто называют начальным состоянием. Заметим, что именно к виду (6.3) обычно сводятся уравнения движения для механических управляемых объектов с конечным числом степеней свободы. Далее везде под управляемым объектом будем понимать систему ОДУ вида (6.3). Детерминированность управляемого об "ьекта означает, что выбор управления и(ь), 1 Е [ьм 1з], должен однозначно определять (при заданном начальном условии) траекторию х(ь), 1 Е Е [1м 1г].
Чтобы это было так, достаточно считать, что вектор- функция у (е, х, и) удовлетворяет ранее оговоренным условиям (непрерывность по совокупности переменных (гч х, и), непрерывная дифференцируемость по совокупности переменных х). Тогда на каждом участке непрерывности управления и(г) система (6.4) удовлетворяет теореме существования и единственности для задачи Коши. В точках разрыва какой-либо из координатных функций управления надо производить стыковку решений системы (6.4), обеспечивающую непрерывность фазовой траектории. На рис. 6.1 показан пример фазовой тра- х(г,) ектории на плоскости, которая отвечает управлению, имеющс- х,'~,) му разрывы первого рода в моменты времени т1 и т2. Таким т® 1 образом, траектория х(1) при кусочно непрерывном управле- х)т ) нии является непрерывной кривой, а ее производная х(ь) ку- Рис.
6.1 158 6. НАРИАЦИОННЫЕ Ъ|ЕТОДЫ сочно непрерывна на рассматриваемом отрезке времени (такие кривые называют кусочно гладкими [Ъ ]). Если и(г) — допустимое управление, а х(1) — соответствующая фязовая траектория, удовлетворяющая ограничению (6.1), то пару функций (х(т), и(т)) будем называть допустпимым процессом. Полезно иметь в виду следующую геометрическую интерпретацию системы (6.3). Пусть в некоторый момент времени 1 управляемый объект находится в фазовом состоянии х(т). Вектор х(1) представляет собой вептпор фазовот1 споростпи и является касательным вектором к кривой х = х(т) в соответствующей точке.
Если в фазовом пространстве й" построить при фиксированном х всевозможные векторы у(тс х, и) для всевозможных допустимых управляющих воздействий и (момент времени 1 фиксирован), то получим, согласно (6.3), множество допустимых (возможных) фазовых скоростей в точке х (на рис. 6.2 пунктиром изображено множество концов всех таких векторов). Другими словами., выбор управляя>щего воздействия и® Е 11 в момент времени 1, когда изображаРис. 6.2 ющая точка находится в состоянии х, равнозначен выбору допустимой фазовой скорости, с которой изображающая точка выходит из этого состояния.
3. При рассмотрении реальных управляемых объектов прежде всего возникает задача управленим движением. Для ее формулирования нужно задать в фазовом пространстве некоторое множество М (цель управления) тех состояний,.которые являются желательными. При этом должно быть выполнено включение ЛХ С Я. Говорят, что управление и(т), 1 Е [тм 12], переводит объект (6.3) из состояния х1 в состояние х~, если соответствующая этому допустимому управлению фазовяя траектория х(1) (решение задачи Коши для системы (6А) с начальным условием х(т1) = х') определена на том же отрезке времени [тч, 12], удо- б.1.
Постановка палачи оптилеального управлЕния 159 влетворяет ограничению (6.1) и в момент времени 1ч попадает в фазовое состояние х~ (т.е. х(1в) = х2). Обратим внимание на то, что отрезок ~11, 1ч] — это конечный промежуток числовой прямой. Если управление и(1) переводит объект (6.3) из начального состояния х' в некоторое состояние х Е М, то будем говорить, что управление и(1) реализует цель управления М. Задача управления движением состоит в том, чтобы найти какое-нибудь допустимое управление, реализующее цель. Другими словами, для объекта (6.3) требуется отыскать такую кусочно непрерывную функцию и(1) со значениями в 11, определенную на отрезке ~1м 1я] (1я, вообше говоря, заранее не известно), чтобы система (6.4) имела решение х(б), удовлетворяющее начальному условию х(11) = х', ограничению (6.1) и конечному условию х(1з) Е М. Следовательно, задача управления сводится к решению краевой задачи для системы и-го порядка (6.3) ~ЪП1] при ограничениях (6.1) и (6.2).
Однако общей теории решения подобных задач нет. Доказательство разрешимости задачи управления и фактическое отыскание управления, реализующего цель, наталкиваются на серьезные трудности. Мы не будем рассматривать вопросы разрешимости задачи управления, предполагая, что цель управления, поставленная для изучаемого объекта, может быть реализована. Отметим, что во многих прикладных задачах разрешимость задачи управления вытекает „из физических соображений". 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
