XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В задачах управления движением возникают различные по количеству и характеру краевые условия. Если множество М, характеризующее цель управления, совпадает со всем фазовым пространством К", то такую задачу называют задачей со свободным нонцом траектории.
В этом случае роль краевых играют начальные условия х(1~) = х . Более сложные задачи так называемые двухуаочечные задачи, или задачи с дгинсированными концами. Эти задачи в качестве краевых условий имеют как начальное х(11) = = х1, так и конечное х(11) = х~. При этом инупервал времени 1бО 6. НАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ управления ~з — ~~ может быть как заданным, так и подлежащим определению. В этом случае множество М цели управления состоит из единственной точки х .
В классе мноеотиочечных задач управления для нескольких фиксированных моментов времени 11, 12, ..., 1;,„заданы значения некоторых координат вектора состояния. Наконец, в классе задач с поде иэкными (снояьзятиими) концами требуется найти управление, переводящее объект из некоторого (заранее не известного) состояния х',принадлежащего известному множеству Мп в некоторое состояние х из известного множества Мг.
Часто эти множества представляют собой гиперповерхпости в арифметическом пространстве К"'. Если М1 и Мз вырождаются в точки,то приходим к задаче с закрепленными концами. 5. Предположим., что задача управления разрешима. Наиболее типичной является ситуация, когда задача управления имеет бесконечно много решений,т.е. существует бесконечно много управлений, реализующих цель, и все они с этой точки зрения совершенно равноправны. В таком случае может быть поставлена задача оптимального выбора: среди допустимых управлений выбрать такое, при котором управляемый процесс будет наилучшим в каком-то определенном смысле.
Другими словами, если качество процесса оценивается некоторой числовой характеристикой.то задача заключается в том,чтобы выбором управления обеспечить ее максимальное или минимальное значение. Эту числовую характеристику назывэлот нритаерием начестпва. Значение критерия качества определяется управлением., динамикой управляемого процесса (временем управления, фазовой траекторией). Поэтому критерий качества представляет собой функционал того или иного вида, и задача оптимального управления состоит в отыскании управлений, обеспечивающих минимум или максимум этого функционала.
Случай, когда требуется максимизировать функционал, сводится к задаче ми- 6.1. Постановка задачи оптимального упраатенин 161 нимизапии заменой исходного функционала 1 функционалом — 1. Поэтому этот случай отдельно не рассматривают. Таким образом, зада ~а оптимального управления состоит в том., чтобы найти такое управление и(1), реализующее цель, для которого функционал принимает наименьшее возможное значение. При этом управление и(1) называют оптимальным управлением, соответствующую фазовую траекторию ж(1) оптимальной траекторией а процесс (жф, и(е)) оптимальным процессом. Для управляемых процессов с законом движения (6.3) наиболее широко используют так называемые интпееральные критерии качества .
функционалы вида Жб) К этому классу критериев относятся: а) критерий оптимальноео быстродействия с подынтегральной функцией 1 (1,ж,и) = 1, который сводится к представлению 1 = 1э — 1ь Такой критерий используется в теории автоматического управления (в следящих системах) для выбора параметров, обеспечивающих наименьший по длительности процесс при отработке входного сигнала. Оптимальное управление в задачах с критерием оптимального быстродействия называют управлением, оптимальным по быстродействию. б) интпееральный квадратичный критперий с подынтегральной функцией 162 6.
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ где х = (хн хз, ..., х„), а среди коэффициентов ои есть хотя бы один ненулевой. В представлении (6.5) могут рассматриваться как конечный (1. (+ос), так и бесконечный (1а = +ос) интервалы времени. Такой критерий дает косвенное представление о точности работы системы, рассматриваемой в фазовом пространстве. Его также используют в теории автоматического управления. в) знереетпические критперии качестпеа с подынтегральными функциями т г 10(~ х и) ~~) б2из и УО(1 х и) '~> бэби 1=.1 1=1 где и = (им и„, ..., и,), а среди коэффициентов Д, есть хотя бы один ненулевой. Эти критерии характеризуют затраты энергии, например, в задачах ориентации спутника с помощью газореактивных двигателей: г) смешанный интпееральный критперий с подынтегральной функцией 1 (х,и) = ~~ а,х, + ~) д".и„ г=1 з=я дающий отклонения по фазовым координатам „в среднем" и общие энергетические затраты.
Наряду с интегральными критериями качества в теории оптимального управления часто встречаются тперминальные функционалы, т.е. функционалы вида 1 = Т(х(Г~),х(1з)). К этому классу неинтегральных критериев относится., например,. критперий конечноео состполнил 1 = Т(х(1з)). Его обычно используют в тех случаях, когда систему необходимо привести в заданное конечное состояние а = (ан ...., а„) в момент времени 1з с наименьшей ошибкой. В такой постановке критерий 6.Ь Постановка задачи опгимаяьиого управления 16З имеет вид Т1х1г1).,х1ьз)) = ~~ ~х,(Хя) — а;) = Цх1ььз) — аЦ т=1 6. Неклассический характер зада ~и оптимального управления особенно ярко проявляется в случае поиска управления, оптимального по быстродействию, для системы (6.3), у которой правые части — линейные функции относительно х и и с постоянными коэффициентами, а множество Г представляет собой замкнутый выпуклый многогранник, определяемый, например, неравенствами ~и (1)~ < 1, у' = 1, и.
Оказывается, что оптимальное управление осуществляется скачкообразной вектор-функцией и(г), у которой точка и1г) поочередно находится в вершинах многогранника Г. Закон управления сводится к последовательности скачкообразных переходов от одной вершины к другой. Эта линейная вариационная задача, играющая важную роль в технических приложениях, решена в 7.4. Классические методы для ес решения не применимы (см. 6.4).
Указанный скачкообразный характер оптимального управления не позволяет ограничить класс допустимых управлений только непрерывными функциями. Если же ввести такое ограничение, то задача станет неразрешимой. То же будет и в случае, если условиться, что множество управлений Г открытое множество. Для отыскания оптимального управления можно использовать два подхода.
Нервый заключается в том, что оптимальное управление строится как функция времени 1. В результате получают нроераммное управление, которое известно наперед на весь интервал времени и не зависит от возможного поведения системы. Система управляется без обратной связи (по разомкнутому циклу). С прикладной точки зрения такой подход несовершенен, так как подразумевает точное знание динамики объекта, но любая математическая модель движения объекта приближенна и не учитывает влияния всех внешних факторов. 6.
ВАРИЛЦИОННЪ|Е МЕТОДЫ Второй подход состоит в том, гго оптимальное управление строится как функция фазовых координат. Такую функцию называют синтезирующей функцией., а задачу построения синтезирующей функции — задачей синтеза оптимальных управлений (см. 7.5). Этот подход ближе к практическим приложениям, так как при управлении учитывают текущее состояние системы (управление с обратной связью), но синтезировать управление значительно сложнее, чем строить программное управление. Однако можно сочетать оба подхода (например, в методе аналитического конструирования). 7.
Проиллюстрируем на примере, как ставится задача оптимального управления. Пример 6.1. Рассмотрим математи- Г(О'„ ческий маятник (т.е. груз малых размеров на невесомом стержне), который находитр ся вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия (рис. 6.3). Для простоты будем предполагать, что тйл О трение отсутствует. Если угол ~р отклонения маятника отсчитывать против хода часовой стрелки от направления на верхнее положение равновесия., то уравнение движения маятника имеет вид гпи — тф яш ~р, 2а р д|2 д2р — — ь2 ~р=О, д|2 (6.6) где т — масса маятника; 1 его длина; д — — ускорение свободного падения.
Ограничиваясь областью, достаточно близкой к положению равновесия, мы можем заменить аш~р на ~р, так как яшар — ~р при малых значениях ~р. Введя обозначение ь2~ = д/1, ю ) О, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка бл. Лооганоааа задачи оогимального управления 165 описывающее движение маятника при малых значениях ~р, т.е. при )~р) ( Ф для некоторого Ф (Лзивнение линейного приближения).
Известно (это, впрочем, очевидно), что верхнее положение равновесия маятника неустойчиво. Каково бы ни быао начальное положение ~р(0) = ~оо., ~р(0) = ~ро, отличное от положения равновесия (р = О, ~р~ = О), маятник начинает движение, согласно дифференциальному уравнению, по закону ~р(1) = С1е ~+Сге ~~, (6.7) (6.8) где 1(г) = г'(г'/(ьч1). где См Сг -- постоянные интегрирования. Из соотношения (6.У) вытекает, что маятник в конечном счете удаляется от положения равновесия.
Правда, следует отметить так называемое лимитпационное двиэсение, возникающее, например, в линейной модели (6.6) при ро = — одре, при таком движении маятник приближается к положению равновесия с убывающей скоростью, но не достигает его ни за какой конечный промежуток времени. Допустим теперь, что к маятнику приложена некоторая внешняя сила Р(г),линия действия которой в каждый момент времени ~ перпендикулярна оси маятника. Величину и направление силы можно выбирать по своему усмотрению, меняя во времени, но при этом должны соблюдаться ограничение ~Р(8) ~ < го, которое отражает лимиты на имеющиеся ресурсы, и требование, чтобы функция г'(1) была кусочно непрерывной. Будем описывать силу скалярной величиной Г положительной, когда сила направлена в сторону увеличения угла ~р, и отрицательной, когда сила направлена в сторону уменьшения р.
Тогда уравнение линейного приближения вынужденного движения маятника будет таково: Рбб 6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ (6.9) )я1( < Ф и диктуется размерами области, в которой применима линейная модель движения маятника. Роль управляющего параметра играет „сила" ~, введенная в (6.8). Обозна~им его буквой и. Согласно условию задачи, область управления Г описывается неравенством (6.10) ~ 1<1 Множество допустимых управлений .— это множество кусочно непрерывных функций иП), в каждый момент времени подчи- няющихся ограничению (6.10). Спрашивается: можно ли подобрать функцию Г(1) внешнего воздействия так, чтобы маятник из начального состояния уш де за конечное время достиг положения равновесия? Если это возможно, то как привести маятник в верхнее положение равновесия за наименьшее время? Отметим, что ответ на эти вопросы связан с решением задачи Коши для дифференциального уравнения (6.8) второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
