XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 22
Текст из файла (страница 22)
имеет вид Г[х,и.,11,~2] = ЕМ+и ~р(х(1~))+г 0(х(12)). (6.27) Найдем вариацию функционала 1*[х,и,~1,1з], повторяя рассуждения из 3.2. Зафиксировав допустимые вариации дх(б), 173 6.2. Задача Лагранжа в форабе ??онтрягнна бчс(?)б й1, йяб составим функцию С. -~-абеб е( )= 1 с1б, -б б*, ' б б*', б б Сбб-б Сб таббб +?с СР?х~+стбх~) +и 0?х~+обх~], где х' = х(11):, х2 = х(?2):, бх1 = (бх~~, ..., бх„'); бхэ = т = 1бх~?б ..., бее„) . Согласно определению вариации функционала, б1~х,и,?1,?зббх,би,б?1,йя,бх',бх~) = ср'(0) = и = ? ? (А', — — С', )биббб-? ~б'„б;бб~- С=1 1=1 и и +~(7С + тос ) б 2 "1 «(7С трб ) б 1+ б=-1 С=Се С=.СС и и + (? — ~~ х;|у ) б?г — (1 — ~хс1'.
) б?1. б=1 С.=.СС С=С, Приравнивая вариацию к нулю, получаем необходимые условия экстремума для функционала вида (6.27). При этом системы уравнений (6.21) и (6.24) дополняются уравнениями (6.28) Значит, экстремали функционала (6.27) удовлетворяют тем же уравнениям, что и экстремали функционала 16.19). Но кроме того, они подчиняются и дополнительным условиям (6.28), которые можно рассматривать как замену условий фиксированных концов. 174 6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Чтобы теперь определить экстремали задачи Лагранжа (6.16) — (6.18) в случае переменных концов 81 и 1я, нужно к системе условий (6.22), г'6.23), (6.25), (6.26) и (6.28) добавить уравнение дифференциальных связей (6.16) и краевые условия (6.18). При этом, учитывая соотношения 1' = Л„г = 1, и, уравнения (6.28) можно преобразовать к виду и Цх($ь),х(1я),и(гь)) — гг х,(~~)Л,(~ь) = О, й = 1г 2.
(6.29) г=1 Это соотношение и есть то недостающее условие, которое позволяет определить параметры й,г и 1з. Для дальнейшего обсуждения задачи Лагранжа в форме Понтрягина нам удобно использовать каноническую форму уравнений Эйлера, которые в задаче Лагранжа (4.1) (4.3) имеют вид (4.11).
Введем кананическгге переменные р; = (~*)'„г г 1 = 1, и, (6.30) г=1 в которой переменные у,' находятся из системы уравнений (6.30). Уравнения Эйлера (4.11) эквивалентны системе урав- нений дрг — = — Н, г'=1,п; г1х — =П, 1=1,п. дх Вернемся к задаче (6.16) -(6.18). Ее лагранжиан имеет вид и Т, = Та11г х, и) + ~г Л;(~) (х, — Т г гг, х, и)) . г=.1 ь где г"* = ~+ 2 Хада -- лагранжиан задачи, и запишем г)грнкг1ию 1=1 Гажплыпана Нгх,у,р) = — 1*+,~ у,рг, 175 6.2.
Задача Лагранжа н форме Понтрягина Поэтому Н(1,х,р.и) = — 5+~> х,р, = г:г п =;>,'и -~', г=1 Рг тгаг ггг. 1= 1г и. (6.31) Функцию Гамильтона Н для задачи Лагранжа в форме Понтрягина часто называют функцией Понтпрлеина. В канонических переменных дифференциальные связи (6.16) и уравнения Эйлера (6.22) можно записать в виде нормальной системы ОДУ д,х; еМ 1=1,п; 16.32) — ' = — Нг, г1е 1 = 1,пг ХХ„' = О, 1 = 1г г.
(6.33) Кроме того, нужно добавить краевые условия (6.18) и условия трансверсальности (6.25), (6.26), которые в канонических пере- менных имеют вид р,1г1) = и гй' (х®), 1=1, и, е=п (6.34) р,(гя) = — м О' 1х(1)), 1=1,п. г=гг (6.35) Итак, метод Лагранжа, широко используемый в решении вариационных задач, позволяет получить необходимыс условия экстремума для задачи Лагранжа в форме Понтрягина. которую называют еамильгпоноеой системой.
Чтобы получить полную систему условий, к (6.32) нужно добавить вторую группу уравнений Эйлера -- алгебраические уравнения (6.23), которые с учетом (6.31) можно преобразовать к виду 176 а ВАРилциОнные метОды Эти условия дают возможность найти решение зада ги в классе гладкая функций ж,(1), 1 = 1, и, и непрерывных функций и.Я, й' = 1, г. Подвести итог раздела можно так: если функции, входящие в постановку экстремальной задачи, обладают достаточной гладкостью, то для решения задачи можно использовать подход, основанный на введении множителей Лагранжа.
6.3. Некоторые задачи с ограничениями в классическом вариационном исчислении 1[у~ = 1(яцу,у )дж — «ех1г (6.36) с дважды непрерывно дифференцируемым интегрантом 1' в классе непрерывно дифференцируемых функций у(гс), удовле- творяющих условию у(ж) > ~р(х), т Е [жы ж.), 16.37) где ~р Е С'[жг, хг1 Введением функции и(ж) = у'(х) эту задачу можно свести к задаче Лагранзка в форме Понтрягина с фазо- выми ограничениями (6.37); 1[у,и) = 1(ж,у,и) дж — «ех1г, у' = и. я« Однако для наглядности вариационного подхода остановимся на исходной формулировке (6.36), (6.37). Для задач оптимального управления характерно наличие ограничений на допустимые функции, т.е.
фазовых ограничений и ограничений, на управление. Некоторые задачи с такими ограничениями удается решать с помощью методов вариационного исчисления. Рассмотрим задачу 6.3. Некоторые элдлчн с ограничениями 177 Равенство у = ~р(х) определяет границу множества, внутри которого не могут нахо- А у = у(х) диться значения функции, доставляющей экстремум функционалу (рис.
6.4). Наличие ограничений (6.37) приводит к необходимости некоторой кор- Рнс. 6.4 ректировки вывода необходимых условий экстремума функционала. Основное условие - - уравнение Эйлера —. выводилось в предположении, что функции могут свободно варьироваться, т.е. если у допустимая функция, то допустимыми являются также любые функции у+ бу при бу, достаточно малых по норме. Для вариаций функции у(х), удовлетворяющих неравенству Ву ) 0 на отрезке [хм хч), допустимыми функциями являются и функция у+ бу, и функция у — ду. При наличии ограничений (6.37) в случае функции у(х), выходящей на границу множества возможных значений (см. рис. 6.4), допустимой является любая функция у(х) + бу(х) при бу(х) ) 0 на отрезке ~а, 6), но функция у(х) — бу(х) уже не будет допустимой, так как будет принимать значения, не удовлетворяющие ограничениям.
Значит, при наличии ограничений указанного типа вместо произвольной вариации надо рассмотреть односторонние вариации, которые определяются функциями Ву(х) одного знака на интервале (а, б). Такие вариации позволяют получить решение задачи в случае, когда экстремум достигается на функции, не являющейся экетремалью. Заменим в задаче (6.36), (6.37) зависимое переменное у на переменное я согласно уравнению у = ха+ ~р(х). Тогда у = = 2Ы + р'(х) и функционал относительно я принимает вид 178 6. ВАРИАЦИОННЫГ МЕТОДЫ Функция я(х) уже не подчиняется каким-либо ограничениям, а границе области в исходной задаче соответствует я = О.
Так как в задаче для функции я(х) ограничений нет, эта функция, будучи шочной, экстремума функционала, должна удовлетворять уравнению Эйлера — Ф',, — Ф', = О. Ио Ф'„= ~'у, '+ ),(у')', = 2я('„'+ 2я'~,',, Ф', = ('„' (р')',. = 2я~ о — Ф, = 2г Т", + 2я — )' Йх ' я Йх Следовательно, — Ф, — Ф = 2я — ~, — 2я(' . дх ' ' дх " Уравнение Эйлера для переменного х свелось к следующему уравнению для переменного у: 2я( — ф — ~'„') = О., т.е.
распадается на два уравнения: первое я = О, которому удовлетворяет функция р = ~р(х); второе -. — уравнение Эйлера для исходного функционала (6.36). Итак, экстремум функционала (6.36) при наличии ограничений (6.37) может достигаться на функциях, график которых состоит из участков границы множества допустимых значений и дуг экстремалей (в частном случае участок границы может стянуться в точку). Для полного решения задачи нужно также найти условия сопряжения участков экстремалей с участками границы множества допустимых значений. Пусть экстремум функционала 179 6.о.
Некоторые задачи с ограиичеиилыи (6.36) достигается на составной функции у(х) и точка а есть точка сопряжения экстре- мали с функцией 9 =(р(х), график которой ограничивает множество допустимых значений (рис. 6.5). Для определенности считаем, что экстрсмали соответствует участок слева от точки а.
Тогда Рис. 6.5 а иг ~Ы вЂ” ( 1(,.(*)з(ь))~*~ ( 1(*,е(ы),а( ))а. т.1 а Приращение функционала, соответствующее вариации бу(х), будет состоять из двух частей: приращения на экстремали а-еаа Ь1( = ~(х, у+ ду, у'+ ду') (1х — ~(х, у, у') (1х и приращения на участке функции у = (р(х) ас = ) 1 (* е(*) е'(ь)) а - ) 7 ( : е(*) е'( )) а = а-еаа а аЕаа = — ) у(*,е( )е('))е*=-Л е(),е("))( + "я ) а 511 = (~ — (у' — (р')~„' ) ба., а=а Вариация функционала также распадается на два слагаемых, соответствующих вариации экстремали и пограничной функции. Слагаемое о1ы соответствую)цее экстремали, можно вычислить по обычной формуле вариации с подвижным правым концом, перемещающимся вдоль кривой у = (р(х)) (см.
3.2): 180 б. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ а слагаемое б1а, соответствующее пограничной функции, рав- но: б1з — — — 1(а, ~р(а), ~р~(а)) ба. Так как на функции д(х) достигается экстремум, то сумма б11 + б1а должна равняться нулю, откуда, в силу произвольности ба и с учетом равенства д(а) = у(а), получаем (1(х,д,д) — 1(х,д, р') — (д' — Р)('„') =О. (638) Преобразуем разность 1'(х, д, д') — 1'(х, д., ~р') с помощью х=а теоремы (формулы) Лагранжа (1Ц: )(х,д,у') — 1(х,д, р') = (д' — ~р')~„' (х,д.,а) х=а х.=а где д некоторое число между ~р'(а) и д'(а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
