XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 25
Текст из файла (страница 25)
196 а ВАРидционныБ мьтоды Условия (6.32) и (6.59) фактически представляют собой основные соотношения в принципе максимума Понтрягина. Полная формулировка этого принципа будет изложена далее (см. 7). Если на управление и(с) нет никаких ограничений,. то необходимым условием максимума функции Понтрягина Н является обращение в нуль производных этой функции по управлениям, что и отражено в уравнениях (6.33). По если на управление и наложены нестрогие ограничения (т.е. сс замкнуто), то максимум функции Понтрягина может достигаться как внутри сс (тогда выполняются равенства (6.33) ), так и с выходом на границу.
Это значит, что уравнения (6.33) в случае замкнутой области П следует заменить более общим условием условием максимума функции Н по управлениям. Именно эта идея, высказанная в 1956 г. Л.С. Понтрягиным*, и послужила основой всех дальнейших работ., связанных с развитием принципа максимума.
Обоснование этой идеи было дано много позже**. Вопросы и задачи 6.1. Запишите ск«лную систему необходимых условий для задачи Лагранжа в форме Понтрягина с подвижными концами 11 и 1з: н с Ях, сСс — «ех$г, х=ср(х)+С(х)и, х(11) =х, хссг) =х . с 1=1 1 Здесь х=(хс, ...,хн); и=(ис,..., сл,); ср(х) = (срс(х),..., срл(х)); С(х) матрица типа и х г; х, х известные векторы начального и конечного состояний.
"Смл Болтянский В.Г., Гоякрелидге Р.В., Понтрягин Л.С. '"Смл Понтрлгин Л.С., Болтянский В.Г., Гаякрелидге Р.В., Мисиенко В.Ф. Вопросы и зада ги 197 6.2. Найдите зкстремали в следующих задачах Лагранжа: и/2 а) и2)й — 'бех1г, х1=х2, хо= — хг+и, х)(0) =1; о т,)2 б) 1 'ббб),(б))г бб б,=,,б.=-ь,б,; о ) о 1 г) ~х +и )й-+ехогб х=х+и, х(1) =1. о 6.3. Найдито кратчайший путь между точками А( — 3, О) и В(3, 2) на плоскости при условии, что вдоль этого пути выполняется неравенство х +у > 4.
7. ПРИНЦИП МАКСИМУМА В 1956 г.,Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко предложили метод, который обобщил методы классического вариационного исчисления в свучае задач, в которых управляющие воздействия описываются кусочно непрерывными функциями, а множество значений этих функций принадлежит замкнутому ограниченному множеству. В основу этого метода был положен так называемый принцип максимума.
Принцип максимума дает необходимые условия оптимальности, которые позволяют выделить из множества допустимых процессов некоторое подмножество процессов, вподозрительных" на оптимальность. В этом смысле метод решения задач оптимального управления на основе принципа максимума аналогичен методам исследования функций одного или нескольких переменных, при которых отбираются точки, удовлетворяющие необходимым условиям, а затем каждая из отобранных точек анализируется, например, с помощью достаточных условий. В рамках теории оптимального управления необходимые условия хороши тогда, когда с их помощью удается выделить небольшое количество процессов, которые могут быть оптимальными. Принцип максимума для широкого круга задач дает возможность определить единственную траекторию, которая может быть оптимальной. Если в конкретной задаче из каких- либо соображений (например, из содержательного смысла этой задачи) известно, что оптимальное управление существует, то выделение единственной траектории, „подозрительной" на оптимальность, дает решение задачи.
Первое доказательство принципа максимума двл Р.В. Гамкрелидзе для линесЪньсх задач оптимального упрссвлепия. Он построил полную теорию линейных систем управления и до- 199 7. Ь Лнтоноиннн система управления казал достаточность принципа максимума для таких систем. Таким образом, для линейных задач оптимального управления принцип максимума — необходимое и достаточное условие оптимальности. В общем нелинейном случае принцип максимума доказал В.Г.
Болтянский, который построил и основы нелинейной теории оптимального управления. 7.1. Автономная система управления. <Формулировка принципа максимума В этом разделе мы сформулируем принцип максимума для задачи оптимального управления в предположении, что фазовые оераничения отсутствуют, т.е. для системы с законом движения (7.1) х =,1'(х,и), т где фазовый вектор х(т) = (х~ (т), ..., хп(т)) может принимать любые значения из Кп. т Считаем, что на вектаор управления и1т) =1и1(т)....., и, (т)) наложены ограничения и Е Л С~1~,1я], иЯ Е У, 1Е ~1~,1я]., (7.2) где У вЂ” произвольное множество в К' (в частности, оно может быть замкнутым и ограниченным), а вектор-функция т у(х,и) = (1'(х,и), ..., 1" (х,и)) непрерывна по совокупности всех переменных и непрерывно дифференцируема по части переменных х ~У].
Как и раньше, управления., удовлетворяющие (7.2), будем называть допустимыми, а пару (х(т), и(т)), в которой х(т) есть решение системы (7.1) при заданном и(т), допустимым процессом. Краевые условия задачи зададим следующим образом: 200 7. ПРИНЦИП МАКСИМУМА Требуется найти такое допустимое управление и(~), которое переводит систему (объект) из фазового состоян я х(ь1) = х' в фазовое состояние х(7г) = х, причем соответствующий допустимый процесс (х(ь), и(1)) доставляет минимум функционалу (7.4) где функция 7 удовлетворяет тем же условиям.
что и вектор- функция у. Будем предполагать, что интервал времена управления 1г — 1~ произвольный. Это предположение означает, что каждому допустимому процессу, при котором система переходит из состояния х в состояние х, соответствуют свои моменты времени 11 и 1а. Поставленная таким образом задача это задача с фиксированными концами (точки х и х фиксированы) и свободным временем. Как и ранее, управление и'(ь), дающее решение поставленной задачи, будем называть оптимальным вправлением, соответствующую траекторию х'(ь) .
-. оптимальной траекторией, а процесс (х*(Х), и*(Х)) оптимальным процесс.ом. Экстремальная задача (7.1) — (7.4) по форме похожа на задачу Лагранжа (6.16) — (6.18), но отличается от нее наличием ограничения на управление и(Х) Е Г и расширением класса допустимых функций. При этом не требуется, чтобы существовали частные производные функций ) о, ..., 7" по переменным ид. Остановимся на некоторых простейших свойствах оптимальных управлений и траекторий, непосредственно вытекающих из постановки задачи. Прежде всего, из автономности системы (7.1) и интегронта функционала (7.4) следует, что свойства управлений не изменяются при сдвиге вдоль оси ь (рис. 7.1).
Другими словами, если управление и(~), 1 Е ~1м 1.), переводит систему из состояния х' в состояние х~, а целевой 201 7.В Аптономяая система управления Функционал на соответствующем допустимом процессе принимает значение 1, то при любом 6 управление и(1 — 6), 1 Е ~, и0-ь] Е [1~ + 6, 12+ 6], также переводит систему из состояния х1 в состояние х ., а целевой функ- с, с,+6 ционал при этом также будет Рис. 7.1 иметь значение 1. Это означает, что решение задачи нс единственно. Но мы можем из оптимальных управлений выбирать такое, для которого 1~ имеет фиксированное положение, а точка 82 свободно перемещается по оси времени.
Далее будем считать, что 11 фиксировано, а ~2 свободно меняется. Пусть х~, ..., х" конечный набор точек фазового пространства, для которых существует набор таких управлений игф, ..., иьЯ, что управление и.,® переводит систему из состояния х' в состояние х' и дает целевому функционалу значение 1;, 1 = 2., 6. Тогда существует управление и(г), переводящее систему из состояния х' в состояние х и дающее целевому Функционалу значение 1 = 12 +... + 1ь.
Действительно, так как управления можно сдвигать вдоль оси времени, то можно считать, что интервалы времени управлений и,(п) примыкают друг к другу, так что управление и, (г), г = 2, 6, задано на отрезке [8, м1;], причем 1~ < 12 < ... < Ц (рис. 7.2). Тогда управление и(г), на интервале [Ц м 1,] совпадающее с и,;(г) Рис. 7.2 202 7. ПРИНЦИП МЛИСИМ: МА и в целом заданное на отрезке [1~, 1ь], переводит систему из состояния х' в состояние хя и придает функционалу значение 12+...
+ 1ы Отметим, что указанная операция „объединения" управлений невозможна в классе непрерывных управлений, так как в точках стыка 1, объединенное управление и(~) может иметь точки разрыва первого рода (см. рис. 7.2). Если и'(1), 1Е [гб ~я], оптимальное управление, то любой его участок [гы т2], 11 < т~ < тя < 1в, также является оптимальным управлением. То жс верно для оптимальных траекторий. Пусть х*(~) — соответствующая и*(г) оптимальная траектория., х*(11) = х1, х'(~з) = х1. Рассмотрим произвольный участок [гм гз] С [8~, 1з], и пусть х' = х*[г1), х = х'(гя). Утверждается, что интеграл имеет наименьшее значение среди всех допустимых управлений, переводящих систему из положения х' в положение х .
Пусть значения целевого функционала для управления и*(г) на участках [1ч, г1], [гм тз], [г2, 1з] есть соответственно 1м 1яз 1з. Тогда управление и*(г) на всем отрезке [~м ~з] придает целевому функционалу значение 1 = 11 + 1е + Хз. Если управление и' (1) не является оптимальным на [гм 1з], то существует управление п(1), переводящее систему из положения х в положение х и придающее целевому функционалу значение 1„< 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
