XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому представление (5.1) в этой точке имеет вид 126 5. ДОСТАТОЧНЫЕ' УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА откуда следует,что б2,У[у, бд] [[бу[[" бз,7[д,бу] > О. Так как бу можно выбирать произвольно, заключаем, что квадратичный функционал б,7[д,бу] неотрицательно определен: б~ з [у, бу] > О. ~ Замечание 5.1. Неотрицательная определенность второй вариации является условием необходимым, но не достаточным для экстремума функционала. Это верно даже в случае функций одного переменного [Н]. Говорят, что нвадратпичный функционал С[у], определенный в нормированном пространстве, сильно положигпелен, если можно указать такое число К > О., что для любого у выполняется неравенство С[у] > К [[у[[ . В конечномерном слу- 2 чае квадратичный функционал представляет собой квадратичную форму, а сильная положительность квадратичного функционала равносильна его положительной определенности (в качестве К можно взять наименьшее из собственных значений матрицы квадратичной формы).
Но в бесконечномерном случае это уже не так. Теорема 5.2. Если у дважды дифференцируемого функционала,7[у], определенного в нормированном пространстве, первая вариация в точке у' равна нулю, а вторая вариация в этой точке сильно положительна, то функционал д[у] имеет в точке у* минимум. ф Обсудим приведенные результаты в случае простейшей задачи о арианионного исчисления. Вычислим вторую вариацию функционала ь з [у] = Дх, .у., у') дх, 127 ьп, Слабый акса рамум у~бубу~ /М =1 бб,бу~ У„бу'бб' б а ~б бба ббббб -';Уб",буббб'-';бди ббу) бб -'; бббаб,б, ббу) где о())бу()~,б)/'лбу!)с б -+ () при ))бу))сб -+ О.
Представление (5.2) показывает, что б'баб~ =-1 бб~~ббу)'уиб~', бубу'-'-Уй, Яуб'бб* б б) а Используя интегрирование по частям и краевые условия для вариации бу, получаем 2 ~„",,бубу'Йх = ~„"„д((бд) ) = а а ь ь -1( — „би)(буб' бы = — 1 (,— б,", ) (буб'б*, что позволяет записать соотношение (5.3) в следующем виде: б б/убуЯ = ) (аббу)'б Р(бу ) )б ., а (5А) заданного на множестве функций у Е С (а, 61, удовлетворяющих краевым условиям у(а) =ум у(6) = ря. Вариация функции бу для такого функционала удовлетворяет однородным краевым условиям бу(а) = бу(5) = О. Считаем, что интегрант 7 функционала ,7[у) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией.
Тогда, согласно формуле Тейлора, имеем 128 б. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА где 1( я ~~ и я 2~ "" 1 "Я)' 2 "" (х Замечание 5.2. Если мала функция бу', то мала и бу, так как, с учетом краевого условия бу(а) = О., бу(х) = бу'1г) Ж и, в силу теоремы об оценке интеграла, а )бу(х)! ( (бу'(й))Ж ( гпах)бу'(й))(б — а). ~а,а) а Обратное неверно, так как малость функции не означает, что мала производная 1пример: 61х) = ев1п1х/е)). Это говорит о том, что в представлении 15.4) второй вариации основную роль играет слагаемое Р(бу')~.
Знак второй вариации зависит от знака указанного слагаемого. Теорема 5.3. Если квадратичный функционал заданный на линейном пространстве функций 6 Е С [а, б), удовлетворяющих однородным краевым условиям 6(а) = 61б) = О, неотрицательно определен, а функция Р непрерывна, то Р1х) > > О всюду на отрезке ~а, б1 ~ Предположим, что непрерывная функция Р(х) не является неотрицательной на всем отрезке (о, б]. Тогда можно выбрать точку хе е 1а, б) и некоторую ее окрестность 1хе — т, хе + т) Е Е ~а, б1, в котоРой выполниетсЯ неРавенство Р(х) < Р1хе)/2 < О. 129 бя, Слабый экстремум Если функция 6 Е С1[о,б) тождественно не равна нулю, но равна нулю вне интервала (хб — т, хе+ т), то | Р(х)(6')2йх < О, а так как функция 6' непрерывна и отлична от нуля хотя бы в одной точке.
Выберем функцию 6 указанного типа так, чтобы этот интеграл оставался отрицательным, а первое слагаемое ь Я6 в подынтегральном выра- 6 (х) женин функционала С[6) давало как можно меньший интеграл. О ха-6 хо" 6 Пусть 6'(х) = 1 при хе + о/3 < < х < ха + 26/3 при общем ограничении [6'(х) [ < 1 (рис. 5.1). Рис. 5.1 Тогда [6(х)[ < [6'(6)[сИ = [6'(6)[с16 < [6'(с)[сИ < 2б хо — 6 хо — 6 < [9[62 дх < 8Ме~, хо — 6 где М максимальное значение функции Я на отрезке [а, 6).
Но в то же время ха->6 | р(, )(1о)2 с р( )ф)2 а хо — 6 хо+26/3 хо-~-26/3 < Р(х)(6')'дх < дх = — Сб, ха66/3 а-О613 130 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА где С = — Р(хе) |б > О не зависит от б. В результате получаем, что С[6) < — Сб+ 8Мбз. Нетрудно увидеть, что независимо от значений М и С при достаточно малом б будет выполняться неравенство С[6[ < О, которое противоречит условию теоремы. ~ Теорема 5.4.
Если функционал Т[р) в простейшей задаче вариационного исчисления достигает на функции у(х) минимума., то выполняется условие Лсзсандра |„"ч (х,у(х),у'(х)) > О. (5 5) < Согласно теореме 5.1, для точки экстремииа р выполняется соотношение бз,У[1д,бу] > О, которое в силу представления (5.4) можно записать в виде Согласно теореме 5.3, Р(х) > О всюду на отрезке [а, Ь). Учиты- вая вид функции Р(х), получаем (5.5). ~ д дх (Р6') с,)6 О 6(а) 6(Ь) О (5.5) Эта задача имеет очевидное решение 6(х) с— е О, но могут суще- ствовать и нетривиальные решения. Итак, при исследовании функционала на экстремум важнейшую роль играет поведение его второй вариации, являющейся квадратичным функционалом. Рассмотрим квадратичный функционал (5.4) на функциях 6, для которых 6(а) = 6(Ь) = = О.
Как было показано, необходимым условием неотрицательной определенности этого функционала является неравенство Р(х) > О, х Е [а, Ь). Запишем для функционала (5.4) уравнение Эйлера. В совокупности с краевыми условиями получим краевую задачу для обыкновенного диФференциального уравнения: 5. Ь Слабый экстремум определенного на множестве функций 6 Е С [а.,б], для которых 6(а) = 6(5) = О, необходимо и достаточно, чтобы на этом отрезке не было точек, сопряженных точке и.
ф Итак, чтобы проверить квадратичный функционал на положительную определенность, нужно исследовать краевую задачу (5.6) и выяснить, имеет ли она нетривиальные решения. Отсутствие нетривиальных решений означает, что квадратичный функционал положительно определен. Вернемся к простейшей задаче вариационного исчисления /[у] = 1(х,у,у')е1х, а у(а) = у„, у(5) = уь: (5 7) где 1 — дважды дифференцируемая функция: у с С [а, 6]. После выявления функций, удовлетворяющих необходимому условию экстремума функционала, т.е.
экстремилей, дальнейшее исследование этих функций связано с анализом на них второй вариапии ь сэ[у бл = 1 (е(Бе' ~ лерг)А„ а (5.8) Рассмотрим ненулевое решение 6(х) краевой задачи (5.6). Если точка х Е (и, 5] такова, что 6,(х) = О, в то время как 6(х) г- О при а ( х ( х, то точку х назовем сопрлэкенной точке а. Итак, точки а и 5 сопряженные, осли краевая задача (5.6) имеет решение, не обращалощееся в нуль на (а, Ь).
Отсутствие на полуинтервале (а, 5] точек, сопряженных точке а, означает, что задача (5.6) не имеет ненулевых решений. Теорема 5.5. Пусть функции Р(х) и Я(х) непрерывны на отрезке [а,б] и Р(х) ) О, х Е [а,б]. Тогда для положительной определенности функционала ь 132 5. ДОСТЛТО'1НЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА являющейся квадратичным функционалом.
Здесь Р=Р(х) = — ~~~,„,(х,у(х),у~(х)), с,1 = Я~(х) = — (~,",„(х, у(х), у'(х)) — — 7'„"„(х, у(х)., у'(х)) ) . Уравнение Эйлера д — (Р5у') — с,су = О ах квадратичного функционала бз,7[у,й~] (5.8) называют уравнением Якоби исходного функционала 7[у] задачи (5.7). Точку х С (а, Ь) называют сопряженной точке а в смысле функционала,У[у], если эта точка является сопряженной точке а в смысле квадратичного функционала бзд[у,ду]. Теорема 5.6 (досгпаточные условия слабого минимума).
Функция у Е С~[а,й] доставляет слабый экстремум функционалу 7[у] в простейшей задаче вариационного исчисления (5.7), если одновременно выполняются условия: 1) функция у(х) является экстремалью функционала 7[у]; 2) для этой функции выполняется усиленное условие Ле- жандра Р(х) = — ~„"„(х, у(х), у'(х)) > О, х Е (а, 6); 3) на интервале (а., 6) нет точек, сопряженных точке а в смысле Функционала Уу] (усиленное условие Якоби). 7[у] =,Пх,у,у') ~х, а (5.9) Функционалы от нескольких функций.
Все сказанное выше естественным образом переносится на общий случай функционалов, зависящих от нескольких функций. На линейном пространстве С' ([а, 6], Ба ) непрерывно дифференцируемых вектор-функций рассмотрим функционал бн. Слабый экстремум где функция у' дважды непрерывно дифференцируема; у(х) = = (у)(х), уа[х) ..., уа(х)).
Если приращение скл[у, бу] рассматриваемого функционала э[у], соответствующее вариации функпии бу = (бр~, ..., бра), имеет вид Ы[у,бу] = /[у+ бу] — 1[у] = АУ[у,бу]+ бз,у[у,бу]+ о(]]бу]]~си), где б21[у,бу] — — квадратичный функционал на пространстве вектор-функций бу„то функционал /[у] будем называть дважды дифференцируемым, а функционал бв/[у,бу] --- второй вариацией функционала,7[у] в точке у.
При фиксированных концах вариация бу должна удовлетворять условиям бу(а) = бу® = О. Будем также считать, что интегрант ~ является дважды дифференцируемой функцией. Используя, как и в одномерном случае, формулу Тейлора, получаем выражение для второй вариации функционала: )р р 3)р,рр)= — ~(рр~„"„рр .|-2ррт~„рр рррт~„,яр) )р а где у„"„, уя',я, уя',я, - матрицы Гессе интегранта у, отвечая>щие соответствующим переменнь1м. Как и в одномерном случае, можно применить правило интегрирования по частям. В результате получим р'р)рлр)=~)рр'Р)рр') рррэрр )р", )р1р) а где 2 ""' 2( "" йх "") В общем случае основную роль во второй вариации также играет слагаемое бр'Р(бу') .
Запишем систему уравнений 134 5. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Эйлера для квадратичного функционала, используя матричную зались: — (» (»')') — 1;)»'=О (5.11) (в правой части уравнения стоит нулевой столбец соответствующей высоты). Систему (5.11) называют системой Яхоби функционала,»(у) . При фиксированной вектор-функции у элементы матриц Р и О в представлении (5.10) зависят только от х„так как они не зависят от компонент вектор-функции ду. Поэтому система ,Якоби (5.11) это система линейных дифференциальных уравнений порядка не выше двух относительно компонент вектор- функции Ь, удовлетворяющая теореме существования и единственности в каждой точке х, для которой 1»АР(х) ф О. Рассмотрим решения Ь, системы (5.11), удовлетворяющие НаЧаЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ»2;(а) = О, »2'(а) = Е„ГДЕ ЕМ Е2, ..., Еп СтаидПРтНЬт, 611эиС В Кп (т.Е. У ВЕКтОРа Е; ОтЛИЧНа От НУЛЯ лишь 1-я компонента, которая равна единице).
Значения этих решений в точке х линейно независимы, если эта точка доста- ТОЧНО бЛИЗКа К ТОЧКЕ а, т.Е. ЬЬ(Х) = 11Е1(61(Х), ..., »2п(Х)) ф О. Здесь использована блочная структура записи: ( ) 611(Х) 612(Х) ... 61п(Х) п 621(Х) 622(Х) ... 62п (х) »2„(х) йп1(х) 11п'(Х) " »1пп(Х) где Ь, = (йн, 6,з, ..., 6,„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
