XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Точки экстремума функционала нужно искать среди таких функций, которые на участках гладкости являются экстрсмалями этого функционала. Точка С(с, ус) является подвижной, а ее координаты связаны соотношением ус = ~р(с). Поэтому, как и в случае отражения экстремалей, имеем 61 = (/д + (р~ — д/)®)~~) ддс — (/э+ (у~ — у~)(/э)~ ) дс. Необходимое условие экстремума а,У = 0 на функциях указан- ного вида записывается следующим образом: (условие преломления). В развернутом виде его можно записать так: Тд (с, ~р(с), у~(с — О)) + (р~(с) — у~(с — О)) ()д)~ ~ (с, р(с), д/(с — О)) = = Тз(с, р(с),у'(с+О)) + (~р(с) — у(с+О)) Цз)д (сдр(с),у(с+О)).
Чтобы решить зада ду о преломлении, нужно найти экстре- мали исследуемого функционала в областях Рд и Рз, решая два уравнения Эйлера для интегрантов д д и /з. Среди этих экстре- малей в областях Рд и Ря надо выбрать те пары уд (х) и уз(и), которые удовлетворяют краевым условиям уд(а) = у,д, уд(с) = ~р(с)., уя(с) = ~р(с), уэ(б) = ун и условию преломления (3.21).
Экстремум функционала может достигаться только на таких функциях. Выясним физический смысл условия преломления, рассмотрев функционал вида (3.1б), в котором функция А(и, у) имеет З.З. Экстремлли с угловыми точками Вводя, как и в случае отражения экстремалей, обозначения Д, ~32,.
а и проводя аналогичные преобразования, получаем сов(ст —,Зг ) Аэ (с, ~р(с)) сов(о — 1о2) Аг(с,~р(с)) ' вш(я/2 — (гт — Д) ) Ао (с, гр(с) ) или вш(ягг2 — (о — ®) Аг(с,гр(с)) Распространение света описывается функционалом (3.20), для которого 1 1 А~(х,у) = , Аз(х,у) = о (х,у)' 02(Х>у) и условие преломления в этом случае преобразуется к следую- щему: в|п(гг/2 — (гт — Д) ) гг (с, го(с) ) вш(х/2 — (гт — ®) ся(с,гр(с)) Это соотношение представляет собой закон Снеллиуса преломления света, согласно которому отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения света в двух средах.
В задачах на отражение и преломление экстремалей наличие точки излома у графика функции, на которой достигается экстремум, вытекает из постановки задачи. Но даже в задачах с гладким интегрантом в отсутствие каких-либо дополнительных условий функционал может не иметь экстремумов в классе линию разрыва у = гр(х). Обозначив А(х,у) = Аг(х,у) в Лг и А(х,у) = Ав(х,у) в Лв и использовав (3.17)., можем записать условие преломления в виде 92 3. оАРИА11ООННЬ1~ ЗАДА Ч11 С ПОДоо~ННЬ1МО РРАНОЦАМ11 непрерывно дифференцируемых функций, а решение вариационной задачи следует искать в более широком классе функций, например среди функций, графики которых могут иметь точки излома. Пример 3.4. Исследуем на экстремум функционал (3.22) при краевых условиях у(0) = О, у(2) = 1. Так кяк интегрянт неотрицятелен, то .7[9] ) 0 на любой допустимой функции у(х).
Любая функция у(х)., для которой /[у] = О, может рассматриваться как точка экстремума функционала, даже если она не является непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, 2]. В качестве такой функции можно взять, например, х, 0 <х< 1; У.( ) = 1, 1 <х< 2. Такая функция не является единственной. Подходит любая кусочно линейнзл функция, производная которой принимает лишь два значения . —. 0 и 1 (за исключением одной или нескольких точек излома).
Если функция у(х) непрерывно дифференцируема на отрезке [О, 2], то функция у'(х) непрерывна на этом отрезке и поэтому не может принимать лишь два значения: 0 и 1. Следовательно, в интеграле (3.22) непрерывная неотрицательная подынтегральная функция отлична от нуля хотя бы в одной точке. Значит, для непрерывно дифференцируемой функции у(х) имеем,У[у] > О. В то же время можно показать, что в любой окрестности функции у„(х) (по норме [[ [[п~) имеются гладкие функции, значение функционала на которых, в силу его непрерывности, мало отличается от значения функционала на 3.3.
Экстрсмили с услоиыми точками функции у,(л), т.е. от значения О. Таким образом, значение 0 является точной нижней гранью значений функционала, и это значение не достигается в классе непрерывно диффсренцируемых функций. Укажем условия, которым должны удовлетворять точки экстремума функционала (3.1), если его область определения— множество кусочно гладких функций на отрезке )а, О).
Мы называем функцию кусочно гладной на промежутке Т, если она непрерывна на этом промежутке, имеет на нем непрерывную производную всюду., кроме, возможно, конечного числа точек, в которых функция имеет конечные непрерывные односторонние производные. Во-первых, каждый гладкий участок функции, являющейся точкой экстремума, должен удовлетворять уравнению Эйлера (т.е. быть экстремалью). Во-вторых, исходя из необходимого условия экстремума функционала, можно заключить, что в каждой угловой точке и, функции, являющейся точкой экстремума, выполняются следующие условия Вейержтрасса — Эрдмана: Эти условия в совокупности с требованием непрерывности функции у(и, — 0) = у(ж„+ 0) позволяют найти координаты угловых точек, если они есть. Пример 3.5. Рассмотрим функционал и условия Вейерштрасса Эрдмана для него. Второе условие Г =Г с — О с-)-О принимает вид 2у'(с — 0) = 2у'(с+ 0), т.е.
означает равенство односторонних производных в любой точке. Значит, все точки экстремума функционала, даже в классе кусочно гладких 94 3. ВЛРИАЦИОННЫЕ ЗАДА ЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ функций, не имеют угловых точек и являются непрерывно дифференцируемыми функциями. Напомним, что условие ~,",„, у- .О является достаточным для того, чтобы экстремзли функционала были дважды дифференцируемыми (см. теорему 2.2). В этом случае экстремаль не имеет угловых точек, и рассмотренный функционал — тому пример (для него 1'",, = 2 для любых ля значений аргументов функции 1). Вопросы и задачи 3.1.
Запишите условия трансверсальности на правом конце в вариационной задаче 1(р) = А(и,у) 1+(у') сЕл — +ехСг, у(а) = р, у(Ь) =~р(Ь), функционал которой определен на множестве непрерывно диффсренцируемых функций. Предполагается., что значения а., у~ фиксированы, А(х,~р(х)) ф О, а ~р(и) непрерывно дифференцируема. 3.2. Докажите общую формулу (3.14) вариации функционала, зависящего от нескольких функций, в задаче с подвижными границами. 3.3. Запишите условие трансверсальности на левом конце в вариационной задаче 1~у, з) = А(л, у. я) 1+ (у')з+ (з')е дх — ~ ех1г.
я(а) = ~р(а,у(а)), у(Ь) = ум я(Ь) = яь, функционал которой определен на множестве кусочно гладких функций, Ь, 1а, яь фиксированы., у(и,у) непрерывно дифференцируема и А(х,у,~р(л,р)) ~ О. Вопросы и залечи 3.4. Выведите формулу для первой вариации функционала 1~у) = 1(х, у, у, уп) с1х а в задаче со свободными концами (предполагается, что у Е е С2~а,б]). 3.5. Получите условия трансверсальности на правом конце в вариационной задаче ь 1~у, х) = Г(х, у, х, у', с') дх — + ехьг, у(а) =уа, г(а) =ха, г(б) =(р(б,у(б)), функционал которой определен на множестве пар кусочно глад- ких функций, а, у„, яа фиксированы. 3.6.
Получите условия трансверсальности на правом конце в вариационной задаче ~(а)=1с(*,да)н* . а, а()=а., р(ьа(ц)=о, а функционал которой определен на множестве кусочно гладких вектор-функций, а, уа Е )Ь(" фиксированы. 3.7. Найдите экстремэли в следующих вариационных задачах с правым подвижным концом: а) (1~')зсйе — э ех$1, у(0) = О, у(б)+б+1 = 0; о 1 ~ (а)г б) 1 и ~,;, „(0) =О, у(б)=б-и; у о 96 3. ВА1РИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЪ|МИ ГРАНИЦАМИ о ))(рр- '(р'('(р* а, р(р(=", 1 рр.(>( ( ~((,р'('- (р ., р(о(=: 0 р( ) (рр р(р('рр(р* р., р(о( = р, р(о(=-р; 0 ((',хоррор(р('о р., р(о(=о,р(о(рррр=о. О 3.8. Используя методы вариационного исчисления, найдите расстояние от начала координат до плоской кривой х у = 1.
3.9. Используя методы вариационного исчисления, найдито кратчайшее расстояние между двумя кривыми на плоскости: а) у = х~ и у = х — 5; б) у = х~+ 2 и у = х. 3.10. Выясните, имеет ли функционал задачи р(р(=('(Р р-р' — (р'('Орж, р((=р., р(р(=р а экстремали с угловыми точками. 3.11. В вариационной задаче .,(„( = Р (, (, ( ( р а найдите экстремали функционала с угловыми точками. 4. ЗАДА'ЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 4.1. Основные типы задач на условный экстремум Рассмотренные ранее задачи характеризовались тем, что их решения должны были удовлетворять некоторым условиям на границе области интегрирования (краевым условиям). Однако во многих важных приложениях вариационного исчисления на решение задачи накладывая>тся некоторые дополнительные условия.
В этой связи вспомним задачу Дидоны 1см. пример 1.1). Контур (т.е. ремень из бычьей шкуры), которым охватывался участок земли, имел вполне определенную длину. Это значит, что функция, дающая решение задачи Дидоны, должна удовлетворять не только краевым условиям, но и дополнительному условию: длина графика функции фиксирована.
Приведем общую формулировку задачи, в которой на допустимые функции накладываются дополнительные условия так называемые условия связи. Пусть требуется найти экстремум функционала ,7[у) = ~(и,у,у')с~и, у = (ум у2, ..., у ), (4.1) а который мы будем называть целевым функционалом, на множестве функций у(и) из класса С'(~а.о1,1г Я) непрерывно дифференцируемых вектор функций, удовлетворяющих краевым условиям у(а) = ум у(6) = у2 (4.2) 98 4. ЗЛДЛЧИ НЛ УС.ЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ и некоторым соотношениям (утловиям связи), которые могут выражаться дифференциальными уравнениями д,(и, у,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
