XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Напишем уравнение Остроградского для фунниббонала Дирихле В этом случае )' (х,убх,рбб1) =рг+б12. Поэтому у„б = 2р = 2и' б ~' = 2б) = 22„'б Д = О, и мы приходим к уравнению Лапласа дг дг — + — = О. д.г д,г Таким образом, экстремалями функционала Дирихле являются гармонические в области Р функции )ХП). так как бн = О на границе дР области .Р в силу фиксированных зна 1ений функции и(х,р). Значит, бб 2. ЗАДА НИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИНАМИ 2.5. Канонический вид уравнений Эйлера Функционалу ,г(у) = )'(х,у,у') ах, а (2.26) где у(х) = (у1(х)г ..., у„(х)) — сладкая вектор-функция, а функция ~ дважды непрерывно дифференцируема, отвечает система уравнений Эйлера — — 1 =Ог г=1,п.
ах (2.27) Эта система, вообще говоря, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка. Такую систему можно свести к системе ОДУ первого порядка введением дополнительных переменных. Введем новые переменные яг = у,', г = 1, п. Тогда 1"', = Г", ., и 1г,г г г мы получаем следующую систему 2н уравнений первого порядка, эквивалентную исходной системе (2.27): — — 1' =О, г=1,н; г г, и, (2.28) Егул — г = 1, п. дх Полученная система ОДУ не является нормальной, и поэтому с ней неудобно работать.
Пусть р,=~„, л=1,н. (2.29) Определитель,иатрицм Гессе (матрицы частных производных второго порядка) интееранта ( по переменным у,' совпадает с якобианом 0(р!,",р.) Гг(у~г... ул) 67 2.5. Канонический вид уравнений Эйлера Если этот определитель отличен от нуля, то, согласно теореме об обратной функции (У), система уравнений р, = ~„', ! = 1, пе определяет совокупность старых переменных у,, 'как функцию новых р~.' у,' = 6,, (х, у, р), ! = 1, и.
(2.30) Рассмотрим функцию и Н(х,у,р) = — )'(х,у,Ь(х,у,р)) + ~~ 6;(х,у,р)р,, (2.31) где 6 = (61, ..., 6н), Эту функцию называют функцией Галеильтпона данного функционала (2.26), а переменные х, у, р, связанные со старыми переменными х, у, у' соотношениями (2.29) или (2.30), каноническими переменными данного функционала. Из определения функции Гамильтона следует,что г1Н = — Ч+ ) р,г1у,'+ > 3111р! = 1=! 1=! Л и и и 1хе1х я~~ 1 1!У! я~~ 1 ~ 11уг + я~ РАЧ1+ ~~ У1йрь (2 32) 1=1 е=! 1=1 1=1 В силу равенств (2.29) третье и четвертое слагаемые в правой части равенства (2.32) взаимно уничтожаются. Поэтому и и е!Н = — 1 е!х — ~~> ~~ йд;+ ~~ у,нр,.
1=-1 1=1 (2.33) Значит, для частных производных функции Гамильтона по ее переменным х, у, р справедливы следующие равенства: Отсюда 1я = — Н„', у,'. = Нр . Так как, согласно введенным обозначениям, 1,' = Д, = р, и яе = у.;', из системы ОДУ (2.28) пои лучаем следующую нормальную систему ОДУ, эквивалентную 68 г. зддА чи С рикСировднными ГрАницАми системе уравнений Эйлера (2.27): ду; дН дх др,' $= 1,п; (2.34) др, дЕŠ— — 1 = 1,п.
дх ду,' , ду, — =~ Н' — '+'~,'Н' — ', дх, "' дх, "' дх' ~=! ~=1 (2.35) так как — = О. Подставляя выражения для производных Н, ОН / дк у* и ЕЕ' из системы (2.34) в соотношение 12.35), получим, что дН1дх = О. Значит, вдоль каждой зкстремали Н постоянна. Таким образом, если интегрант явно не зависит от независимого переменного х., то функция Гамильтона является первым интегралом системы уравнений Эйлера. Замечание 2.2. В общем случае верно тождество дН дН дх дх ' где слева стоит полная производная функции Гамильтона в силу системы (2.34). Систему (2.34) называют канонической формой уравнений Эйлера функционала (2.26). Как известно, первым интегралом системы ОДУ называют функцию, сохраняющую постоянное значение вдоль каждой интегральной кривой этой системы.
Для того чтобы данная гладкая функция была первым интегралом системы ОДУ, необходимо и достаточно, чтобы полная производная этой функции в силу системы ОДУ тождественно равнялась нулю [Ч1П). В некоторых частных случаях можно указать первые интегралы системы (2.34), а значит, и системы (2.28). Пусть интегрант Е = Е (у, у ) не зависит от х явно. Тогда и функция Гамильтона не зависит от х явно.
Значит, Вопросы и задачи Теперь поставим вопрос о том, при каких условиях данная функция Ф(у,р), нс зависящая явно от ж, является первым интегралом системы (2.34). Вычислим полную производную функции Ф по и в силу системы (2.34)) т=Е(Ф'„, У1+Ф„', Р',] =ЬФ„',И„'., — Ф„',НЭ. г=1 г=! Выражение и [Ф, Н] = ~(Ф„' Х„' — Ф„' Н„') г=1 называют скобкой Пуассоиа функций Ф и Х. Таким обра- зом, )4Ф вЂ” = [Ф, Н], и мы доказали следующее утверждение.
Теорема 2.5. Дифференцируемая функция Ф(у,р) является первым интегралом системы (2.34) тогда и только тогда, когда [Фг Н] =О. Вопросы и задачи 2.1. Найдите все экстремали функционала 1[у], удовлетворяющие заданным краевым условиям: гг)г2 ')гь)=1))г) — )~ у)а)= Р[-,)=г; о 1 г) г)гг) = ) ))г')1 г-гг г) г, гг(г) = г, г)Ц = г; о 2 ) г)г) = ~)г)у')' — гуу' — г')гк, у( ) =гг, г(г ) = 0; 70 2.
ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИНАМИ г) 1(р] = (у')~е'"и да), р(0) = О, у(1) = — 4; ~г/8 д) Х(О = 1 (16~ ~-О') -~ 2у(~ 2х+ 16 ))л, О (8) 8' к/2 ') 1(р/=1 (з* р +г"р '~О 'и-* '» и))~, т/4 у(о) = о, р() о, ' (2) ) х(О = 1 ( Ьт ~- ПРО')1) ~, Р(О = ~, ю(О = 5.: 2 ) ХО) -1 ((р ) — *'р' — Ш ч) ~к, 1(О) = О, Ю = --',; О 1 и) 1[у] = Оду'сХх, у(0) = О, д(1) =2; О 1 «) ЛУ) = ) М '. 1,) М У(0) = О, РО) = — 2 О 2.2. Среди плоских кривых, соединяющих две точки (Ф1, р() и (ж2, д2), найдите ту, которая при вращении вокруг оси Ох образует поверхность наименьшей площади (см. пример 1.4). 2.3. Покажите, что функционал 6 а где р(ж) Е С1'(а,б], д(ж), г(ж) Н С(а,б], не имеет экстремумов.
71 Вопросы и задачи 2.5. Найдите функции у((х), У2(х) Е Сг(а,()], на которых может достигаться экстремум заданного функционала при заданных краевых условиях: гг/2 а) 1(уг,у2] = (у',У2 — дгд2)гКх, у((0) =О, уг(я/2) =1, о У2(0) = О, У2(я/2) = — 1: б) г)г,г ) = | ( (из '(г))' -г 'и 1 ) з* г (г) = г, 1 уг(3) = 1пЗ+ 1, у2(1) = О, У2(3) = 0; гггг2 | 2 | 2 ((у) ) + (У2) + Зугу2) Г(Хг у) (0) = О, о у2(0) = О, У2(гг/2) = — 1; В) з (д),У2] = уг(я/2) = и/4 (2У, — 4У2 + (У2) — (у',) ) йхг уг(0) = О, о 1, У2(0) = О, У2(я/4) = 1; Г) 1(У(гд2] = У1(х/4) = | ((д',) +(у2) +2У1)г(хг У1(0) = 1, у,(1) = 3/2, о У2(1) д) 2(рггд2] = д,(0) = 1 2.4. Покажите,.
что для всякого дифференциального уравнения уп = ~р(х,угу') с дважды непрерывно дифференцируемой правой частью г)з(х,у,уг) можно найти такую функцию /(х,у,у'), что решения этого уравнения будут зкстремалями ь функционала ) /(х, у, у') г(х. а 73 Вопросы и задачи -) г(.) =/М)'-(~Зг) ., .(и) ='(о) ="(и) =, 0 у()г) = уп(зг) = яЬл, у'(чг) = сйзг+ 1.
2.7. Напишите уравнение Остроградского для следующих функционалов: 2.8. Пусть функции Ф(т,,у,р) и Н(л,у,р) таковы, что Фи у- О, Н( у- О. Докажите, что если Н вЂ” — функция Гамильтона вариационной задачи, то вдоль любой интегральной кривой системы уравнений Эйлера выполняется равенство — = — + ~Ф, Н). дФ дФ 3.
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА'ЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 3.1. Задача с подвижными концами Рассмотрим задачу об экстремуме функционала ,7~у] = ~'(х, у, у') дх, (3.1) областью определения которого является класс функций С [а, б]. Она отличается от задач, рассмотренных ранее, тем, что на допустимые функции нет ограни- У чений в виде краевых условий. С геометрической точки зрения В,' такая задача состоит в определении кривой, являющейся гра- А фиком функции, концы которой расположены на вертикальных прямых х = о... х = б (рис.
3.1) Рис. 3.1 и для которой соответствующее Наряду с рассмотренными вориоционнсями зас)очами, в которых допустимые функции были определены на фиксированном отрезке ~а, б], причем концевые точки А(а, ул) и В(б, ун) графика функции были закреплены, часто необходимо решать и иные зада си, в которых экстремум функционала, заданного интегралом, ищется среди функций, определенных на разных промежутках, причем значения этих функций на концах промежутка не являются фиксированными. Для таких задач можно использовать ранее полученные результаты (см. 2). ЗЛ. Задана в подвижными концамн Ы(г,др! = ( (У„'Бу.;.(„',Бу)И в (3.2) Если функция р(х) доставляет экстремум функционалу 1[у), то первая вариация функционала на этой функции равна нулю 1см.
теорему 1.2). Зна амит, для любой функции бр Е С((а, 6) Г (~„'бу+ ~„',бу') дх = О. а (3.3) Отметим, что это равенство верно в том числе и для беско- нечно дифференцируемых функций с нулевыми значениями на концах отрезка (а, б]. Значит, согласно лемме Дюбуа-реймона, функция р(х) является решением уравнения Эйлера ! — — =О, Р Р (3.4) т.е. является экстрсмалью рассматриваемого функционала. Однако условие (3.3) в задаче с подвижными концами сильнее условий леммы Дюбуа-Реймона и позволяет получить дополнительные необходимые условия на функцию, доставляющую экстремум функционалу.
Если функционал У(у1 не является вырожденным, т.е. его интегрант удовлетворяет условию ~"... ф О, значение функционала является экстремальным. Такого рода задачу мы будем называть вариационной задачей с подвижными концами. Будем считать, что интеераньч рассматриваемого функционала, — — дважды непрерывно дифференцируемая функция. Отметим, что допустимой вариацией в данном случае является любая функция ву(х) Е С('(а, 61. Как и выше., используя формулу Тейлора, убеждаемся, что первая вариация функционала (3.1) может быть представлена следующим образом (см. 12.3) ); 76 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С НОДВИЖНЫРИИ ГРАНИЦАсИИ то, согласно теореме 2.2, экстремаль является дважды непрерывно дифференцируемой функцией.
В этом случае в силу правила интегрирования по частям хъ ~х'=1''сс,' — „— у,')ь4*~-Сь а [»'„' — — 1,,',,)буях+„', буЯ вЂ”,1'., бу(а). (3.5) х А Интеграл в правой части (3.5) на экстремали обращается в нуль. Поэтому, если у(х) доставляет экстремум функционалу ,У[у1, то уу, бу(5) — ~„', бу(п) = О. (3.6) х=.б х=а Так как бр(п) и бу(5) в рассматриваемой задаче могут меняться совершенно независимо, заключаем, что последнее равенство равносильно с чедующим двум; (З.Т) Итак, точки экстремума функционала,1[у) в задаче с подвижными концами удовлетворяют уравнению Эйлера (3.4) и, кроме того, двум дополнительным условиям (З.Т), которые называют естесгпвенными краевыми условиями. Чтобы найти эти точки, нужно среди решений уравнения Эйлера (экстремалей функционала) выделить те, которые удовлетворяют естественным краевым условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
