XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Остается учесть второе краевое условие: 6 = С~ (Π— япО), ун = С1(1 — совО). (2.7) Делим первое уравнение на второе (в предположении ун ф 0), избавляясь от неизвестной постоянной С1 .. Π— япО 6 = — = А > О. 1 — сов О ун (2.8) Отметим, что для циклоид из рассматриваемого семейства точки, соответствующие значениям параметра О = 2~т, являются точками возврата.
Но экстремали не должны содержать таких точек. Поэтому в нашем случае параметр О должен меняться в пределах интервала (О, 2я). Можно показать, что Заменяем параметр д — 2пи = О и учитываем периодичность тригонометрических функций; 56 2. ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ О вЂ” в1вО функция у = ' на этом интервале монотонно возрастает.
1 — сов О Значит, уравнение (2.8) на этом интервале имеет единственное решение Ое. Это решение позволяет определить постоянную лв С1 по формуле С1 = ' в . Найденное значение С1 выделя- 1 — сов Оо ет из семейства экстремалей (2.6) ту единственную экстремаль, которая удовлетворяет краевым условиям. Пример 2.8. Рассмотрим вариационную задачу .7(у) = (ув+ р'2) 1Ь вЂ” + ех1г, у(0) = 1, у(1) = е. о Уравнение Эйлера для функционала в поставленной задаче имеет вид 2ув — 2И = О. Это однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решая котоРое, нахоДим еДинственнУю экстРемал1е УДовлетвоРЯюЩУю краевым условиям: р(ж) = е з Убедимся, что найденная экстремаль является точкой локального экстремума функционала и тем самым дает решение вариационной задачи.
Вычислим приращение функционала в точке у = еи для произвольной допустимой вариации бу в нормированном пространстве С (а,о)., которая., напомним, должна удовлетворять условиям бу(0) = бр(1) = 0: оз=з[ю+Ь)-зЬ)=|(Ь+Ь)'+Ь+Ь1'-у'-ю")~ = о 1 =|(2уЬ.,'. Я Г) .~2~БУ 4-)бУ) ) Ь = О 1 (2е*бу+ (бр)2+ 2е"бд'+ (бд')2) )Ь. 2 2 О 57 2.2. Функционалы от нескольких функций Так как то 0 если [)ду))с~ у= О.
Значит, на функции у(ж) = е* заданный функционал достигает строгого слабого минимума. 2.2. Функционалы от нескольких функций Пусть интегрант, д)унниионала зависит от двух функций переменного и, т.е. функционал имеет вид (2.9) о [дь д21 = |(Х~ у1 ~уъ ум уз) 4л~ а где )' дважды непрерывно дифференцируемая функция пяти переменных.
В качестве области определения функционала рассмотрим пары функций у1 и уз из класса С [а, Ь), удовлетворяющие краевым условиям у) (а) = д) ь у1(Ь) = упь уз(а) = дзь уз(Ь) = у22. (2.10) Дог)устимые вариации ду1 и ду2 для функций д1 и у2 должны быть класса С1[а, Ь) и удовлетворять краевым условиям ду) (а) = = дуз(а) = ду1(Ь) = дуз[Ь) = О, так как допустимые функции У)(Х) И У2(т) ИМЕЮТ На КОНЦаХ ОтРЕЗКа [Ов Ь) фИКСИРОВаННЫЕ знатения. Для произвольных допустимых вариаций дд) и дув положим )р(оно2) = /[у) + о1ду), у2+ оаду21. Очевидно, что если пара функций у) и уа доставляет экстремум функционалу /[уму21, то функция )р(оно2) двух переменных 58 2.
ЗАДАВИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ имеет экстремум в точке (О> О). В этом случае должны выполняться необходимые условия экстремума: д>Р = О. а>=аг — — 0 а> =ав=в Используя формулу Лейбница дифференцирования определенного интеграла по параметру [Ъ'1], получаем 6 — = / (~„', ду> + ~„' ду',) е1х = О, ,=;=0 а — 1г,оуг+ 1 с)уг) егх — О.
дагг >= г=о а Эти соотношения выполняются в том числе и для произвольных бесконечно диффсренцируемых функций дуг и дуг с нулевыми значениями в точках а и У. Согласно лемме ДюбуаРеймона, получаем следующие необходимые условия экстремума г1>ункиионало,: — — =О, д ах " (2.11) — — = О. >1х 00 Эти необходимые условия экстремума функционала нетрудно обобщить на случай интегранта, зависящего от и функций. Теорема 2.3. Если функционал ,1[у!»...уо] = г>(х>уг» ° ° ° уп>у[»'''уа)дх» >2.12) а где 1 дважды непрерывно дифференцируемая функция, достигает экстремума на системе функций уд, ..., У„Е С [а> У], то 59 2.2. Функционалы от иеокольких функций Любое гладкое решение системы уравнений (2.13) (системы уравнений Эйлера) называют экстпремаллми функционала (2.12).
Как и выше, термином иэкстремальк мы будем называть не только систему функций у1(х), ..., У„(х), являющуюся решением системы уравнений Эйлера, но и кривую в К'~1, которая описывается уравнениями у1 = у1(х), ..., уо = уо(х) (т.е. график вектор-Функции). Пример 2.9. Найдем экстремали функционала В соответствии с теоремой 2.3 записываем систему уравнений Эйлера: < 2у~' — 2уз+4у~ =- О, — 2уз — 2у~ = О. (2.14) Из второго уравнения находим у1 = — уз и подставляем это выражение для у1 в первое: Уз +2У2+У2=0. Это однородное линейное дифференциальное уравнение с по- стоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид Уз(х) = С1япх+Сзхяпх+Сзсовх+Сяхсовх. (2.15) Значит, У1(х) = — (С~ + С4) япх + (2С2 — Сз) сов хв — Сзхвшх — Сзх сов х.
(2.16) Соотношения (2.15) и (2.16) описывают все экстремали рассматриваемого функционала. эта система Функций является решением системы дифференциальных уравнений (2.13) бО 2. ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ 2.3. Функционалы с производными высшего порядка Пусть функция ф(х,у,.у',у",...,У("~) непрерывно дифференцируема п+ 2 раза. Рассмотрим функционал 7[у) = 1(х, у, у', у",.", у'"') дх а (2.17) на множестве функций у(х) Е С" [а,Ь], удовлетворяющих краевым условиям у(а) =ую, у'(а) =уы, " у" ' (а) =У1п (п — Ц (2.18) У(6) У201 У (6) У2н 1 У (Ь) У2,п — 1 В этом случае допустимой вариацией является любая функция бу Е С" [а, Ь1, удовлетворяющая однородным краевым условиям с бу(а) =О, бу (а) =О, ..., бу(п ~)(а) =О; (2.19) бу(6) = О, бу'(Ь) = О, ..., бу(п О (Ь) = О.
Пусть функция у(х) доставляет экстремум функционалу ,1[у). Выбрав произвольно допустимую вариацию бу и зафиксировав ее, рассмотрим функцию р(о) =,7[у+ обу) = г( + б ~+ б ~ и+ б и (и)+ б(п)) и и а ь ~р'(о) = — ф(х, у+ обу, у'+ обу', уи+ обу",..., У(п) + обу(п) ) с1х, и где бу(ь~ = (бу)ОО . й-я производная вариации бу. Функция у2(о) в точке о = О имеет экстремум, и поскольку она дифференцируема в этой точке, то ~р'(о) = О при о = О [1Ц. Но 2.а. Функцнонв//ы е производныыи высшего порядки 61 где частные производные функции / под интегралом справа вычисляются в точке (х, 1/(х) + оиру(х), у'(х) + оду'(х), ..., у(а)(х) +себу(а)(х)). Поэтому где частные производные функции / вычисляются в точке ) х, у(х), (/'(х), ув(х), ...., у(")(х)).
Предположим, что р(х) Е С2а[о,(/]. Тогда, используя интегрирование по частям и краевые условия, получаем Подставляем полученные соотношения в 12.20)( Г (у' — — у', + у'а+...+( — 1)" у'(„/)()уйх=О. (//, ((', „Ю а 62 2. ВЛДЛЧИ С ФИКСИРОВЛННЫЛ1И ГРЛНИЦЛГИИ Это равенство верно, в частности, для любой бесконечно дифференцируемой функции ду(ж) с нулевыми значениями на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, согласно лемме,Лагранжо„ откуда, меняя порядок слагаемых, получаем ~п — 1 + ( — 1) — ~.„' + ('„' = О. (2.21) Уравнение (2.21) называют уравнением Эйлера — Пуассона, а его 2н раз непрерывно дифференцируемые решения —— энсгпремаллми функционала у[у].
Итак, доказано следующее утверждение. Теорема 2.4. Если функционал /[у] вида (2.17), определенный на множестве функций из С"[а,Ь], удовлетворяющих краевым условиям (2.18), достигает экстремума на некоторой функции у(ж) Е Сия [а, Ь], то эта функция является экстремалью функционала Л[у]. Замечание 2.1. Теорема 2.4 в частном случае п = 1 отличается от доказанной ранее теоремы 2.1 тем., что на функцию у(л), на которой функционал достигает экстремума, накладывается дополнительное требование гладкости у(са) Е С~[а..Ь]. Ослабления требований в теореме 2.1 удается достичь с помощью леммы Дюбуа-реймана, которая в доказательстве теоремы 2.4 не используется. Пример 2.10. Найдем экстремали функционала 2.4. Функционалы От функций мнОгих нЕремннных 63 Записываем уравнение Эйлера — Пуассона 2ту + 2д 2хз О Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и специальной правой частью ~УП1].
Решая его, получаем тд(х) = х +Сте*+Сзе "+ (Сте~~ + Сте "'~ ) соа — х+ Л 2 3 + (Сае"т ~ + Сее и'е ) зттт — х. 2 Каждая функция этого семейства является экстремалью дан- ного функционала. 2.4. с1зункционалы от функций многих переменных 1[и) = ~(х,д,я,~„я )т1хе1д., (2.22) где Р --. область, удовлетворяющая условию (Р 0 дР) С С; т" —. дважды неттрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. В качестве области определения этого функционала возьмем подмножество тех функций из М, которые на границе области Р имеют заданное значение: (2.23) Перейдем к обсуждению фдакционалое, определенных на множествах функций многих переменных.
Рассмотрим, например, множество М функций н(х,д) от двух переменных., которые дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой области С с ет~. Истжедуем задачу об экстремуме функционала 64 2. ЗАДАЧИ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИНАМИ Допустимаими вариан(ями в этом случае будут функции бх(х у) Е Сз(С), обращающиеся в нуль на границе дР обла~~у сти Р. Как и для функционала (2.1), необходимое условие экстремума, можно записать в форме о,7(х,бх] = О. (2.24) В данном случае первая вариация, д оэ'[х,бг] = —,Ух+ оде] до о=в функционала записывается в форме Р Р где р и (1 обозначают соотвегственно г и е .
Так как — 1('Б) = "БЯ+эгдР, — ~~вал) — ду ~~+ дх " дх " ' ду то Г ) (еь";(эд(~*~у= В ) ( — (гэ (+ —.((,'Б ()и*я — О( — ~- — )Б а.ф. ь В В Используя Формулу Грина (Р~,~о~я =))~( — )ьф, дЯ дР ВВ В получаем Г Я вЂ” '((ь(+ — '(е,() -,=~ *((;,-(,:(= . ,/ (дх г ду В ВВ 2.4. Функционалы ог функций многих переменных ))ббббб-ббб)б бб= — ))~б, "б )б*б бб и необходимое условие экстремума принимает вид Поскольку первый сомножитель под знаком интеграла непрерывен, а вариация произвольна, то, согласно замечанию 1.4, функция н(х, у) является решением дифференциального уравнения в частных производных Дур д~о +д 1=Об х 'у (2 25) которое называют уравнением Остроерадсноео, а любое гладкое решение этого уравнения — энспгремалью функционала (2.22). Пример 2.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
