XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если кто-нибудь найдет решение предложенной задачи и сообщит об этом мне, то я объявлю ему публично заслуженную хвалу". Вскоре были даны три решения задачи И. Бернулли: первое принадлежало Якову Бернулли, второе Лопиталю, третье появилось в английском научном журнале без подписи автора, но И. Бернулли без труда узнал в авторе Исаака Ньютона по его альвиным когтям".
Вот задача, предложенная И. Бернулли. Пример 1.2 (задача о брахистохроне). В вертикальной плоскости через две данные точки О и В, не лежащие на одной вертикали, провести кривую (т.е. найти ее уравнение), двигаясь по которой, материальная точка под действием силы тяжести переместится из верхней точки в нижнк1ю за кратчайшее время (рис. 1.2). Ту же задачу можно сформулировать и так: как спроектировать крышу дома, чтобы капли дождя скатывались с конька крыши за наименьший промежуток времени.
Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О х Предположим, что начальная скорость падающей точки равна нулю, а силы трения отсутствук>т. К моменту, когда расстояние от начального положения точки Ув--------------- О по вертикальной оси Оу прямоугольной системы координат Оху будет равно у, точка потеряет потенциальную энергию, которая уменьшится на тду (т — масса точки, д -- ускорение свободного падения). Кинетическая энергия при этом увеличится на тев/2 (и -- скорость точки).
В силу закона сохранения энергии (ведь трение отсутствует) имеем тн — тду = О, откуда е = . '2ду. Далее, предполагая, что траектория движения есть кривая у = у(я), причем у(я) - гладкая функция, определенная на отрезке [а, 6), получаем й. вТ~-(у) ь й Ж где в1в дифференциал длины дуги кривой; ~ время. Поэтому вУ2ддгН= Ь11+ (У')зпт,, и мы приходим к уравнению ~л+(в)' ~У2дуу 1.1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам 19 Из этого уравнения находим время, необходимое для перехода из точки О в точку В; (1А) Известные координаты начальной и конечной точек дают кра- евые условия для функции д(х): д(О) =О, д(5) =д„. (1.5) Таким образом., нужно найти гладкую функцию д(х), для которой б — ~ шш при краевых условиях (1.5). Пример 1.3 (задача о преломлении света). Согласно принципу Ферма, луч света, выходящий из точки А и попадающий в точку В, избирает путь, время перехода по которому является наименьшим.
В однородной среде скорость света постоянна, а свет распространяется по прямым. Если же среда неоднородна, то скорость света изменяется от точки к точке, а траектории лучей света уже не будут прямыми. Пусть средой является атмосфера. Поскольку плотность воздуха зависит от высоты д над уровнем моря, то правомерно предположить, что и скорость света О зависит от д и выражается с помощью известной функции О(д). Определим траекторию луча света из данной точки А в данную точку В. В вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В, выберем прямоугольную систему координат так, что ось Ох горизонтальна и расположена на уровне моря.
Нам известны координаты А(п, дл) и В(5, дн). Считаем, что луч света распространяется по кривой, являющейся графиком гладкой функции д(х), определенной на отрезке (а, 6) (рис. 1.3). и'я При сделанных предположениях имеем н(д) = —, где еЬ = Ж' =ят+Ю'я яея я ~ я яу «я я я=И ) 20 1. ОСНОВНЫЕ НОНЯТИЯ У ув О а Рис. 1.3 Ь х Поэтому и время, необходимое для перехода света из точки А в точку В, выражается интегралом: ь агд ь')' 2 п(у) а (1.6) Задача состоит в определении такой гладкой функции у = у(и), удовлетворяющей условиям у(а) = уд, у(б) = ув, что интеграл (1.6) получает наименьшее значение.
Сравнив (1.6) и (1.4), отметим, что задача о брахистохроне частный случай зада ти о преломлении света. Этот факт, подмеченный впервые И. Бернулли, представляет собой так называемую оптико-механическую аналогию'. Смл Куранеа Г., Гильберп~ Д. (Здесь н далее в подстрочных библиографических ссьыках указаны фамилии авторов работ, приведенных в списке литературы в конце книги.) Пример 1.4 (задача о минимальной поверхности вращения). Пусть требуется в плоскости хОу соединить точки А(а, уд) и В(6, ун) кривой так, чтобы боковая поверхность тела, полученного от вращения этой кривой вокруг оси Ох, имела наименьшую площадь (рис.
1.4). 1.1. Задачи, приводлпвче к вариациопиым проблемам 21 Как и выше, предполагаем, что искомая кривая является графиком гладкой функции у(ж), определенной на отрезке [а, 6]. Вспомнив формулу для площади Я боковой поверхности тела вращения [1Ъ'], получим задачу Я = 2л уеЬ = 2х у 1+ (у')вйх — > ппп (1.7) с краевыми условиями у(а) = ул, у(6) = ун. Пример 1.5 (задача о геодезических линиях). На поверхности, заданной в прямоугольной системе координат Охуя уравнением у(х, у, е) = О, проведем кривую, соединяющую две точки А и В этой поверхности и имеющую наименьшую длину (рис. 1.5).
Рис. 1.5 Наименьшие по длине линии между двумя точками некоторой поверхности являются ееодезическими линиями, этой поверхности. Например, геодезическими линиями плоскости являются прямые, геодезическими линиями на сфере -. дуги большого круга. 22 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Предположим, что поверхность у(х,у.,г) = О является гладкой, а искомая кривая может быть задана уравнениями у = у(х), г = е(х), х Е [а, 6), с помощью гладких функций у(х) и е(х). Тогда ес длина А равна: А = е1хг+ е1уг+ сиз = 1+ (у')з+ (г')'е1х. (1.8) Задача свелась к определению таких гладких на отрезке [а, Ь) функций у = у(х) и г = г(х)., что Р(х., У1х), г(х) ) = О, У(хо) = Уо, У(х1) = Ум 4хо) = го 4х~) = г1 а интеграл (1.8) принимает минимальное значение. Оригинальность сформулированных задач — в том, что неизвестными в них являются функции, которые должны сделать значение интеграла наименьшим.
1.2. Основные определения Пусть задано некоторое множество М функций. Функционалом д на М называют отобраяжение д: М вЂ” ~ К множества М в множество К действительных чисел. Функции из области определения М данного функционала будем называть допустимыми функциями. Приведем некоторые типичные примеры функционалов; — на множестве М всех функций, определенных на отрезке [О., Ц, можно задать функционал формулой о [у) = у(О); на множестве М = С [а, 61, интеграл П2.
Огненные определения представляющий собой длину кривой р = р(х), х Е [и, 61, задает функционал: — на том же множестве М = С' [а, б] можно определить функционал с помощью формулы ьЛтеГГл. ь лелл'( ел* а (отношение интегралов представляет собой абсциссу центра масс кривой и = у(х) [У1)). Замечание 1.1. Уже по приведенным примерам видно, что интеграл, с помощью которого задается функционал, может быть достаточно сложным. Упрощая запись, в таких интегралах в подынтегральном выражении опускают аргументы неизвестной функции. Так, например, один из указанных выше интегралов записывают следующим образом: Г Л+ЬТ е а Мы и в дальнейшем будем придерживаться этого правила, а подробную запись будем использовать лишь в отдельных случаях, когда требуется подчеркнуть характер функциональной зависимости.
Область определения М функционала может иметь различную структуру. Будем предполагать, что М вЂ” нормированное пространство, норму произвольного элемента х в нем будем обозначать ~~х~~. Если в данном нормированном пространстве рассматриваются различные нормы., то их будем различать добавлением индекса, например ~~х~~,. Приведем примеры. 24 Е ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Пример 1.6. а. Банахово пространство С [а, Ь] функций Т'(ж), непрерывных на отрезке [а., Ь], норма в котором определяется формулой Ис — — ~~йасН б. Банахово пространство С' [а, Ь] функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь].
Норму в этом пространстве можно определить так: [[Лс —— 1пах1[У(и) [+ К(ж) [) в. Гильбертово пространство Ба[а,Ь] функций, суммируемыт, с квадратом на отрезке [а, Ь]. Нормой в этом пространстве яаяяется [[Пс, = При изучении функционалов вводят ряд понятий., аналогичных соответствующим понятиям для функций: непрерывность, дифференцируемостги экстремум и др. Если функционал,У[у] задан на линейном пространстве Б и представляет собой линейную форму (линейную функцию) на этом пространстве, т.е. для любых рп уя С А и любых оп аа С К 3[о у +о2и2] = о1,7[ц1]+ 2д[и2], то функционал называют линейным.
Пример 1.7. Функционалы Мй = 11Ю ди, Те[11] = 11(о) 25 К2. Основные определения линейные, а функционал таковым не является. ф Сложность вариационного исчисления, да и ряда других примыкающих математических дисициплин, состоит в том, что функции, сопоставляющие аргументу некоторое значение, сами рассматриваются как аргументы других отображений - функционалов. При этом характер зависимости, которую функция представляет, не является существенным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
